【正文】 ???????? ??????? , ∴ nA ? ?22nnnbbb?? ?. ② 當(dāng) 2b? 時(shí) , 2n nA?. ∴ ? ?2 ,222 , 2nnnnnb b ba bb? ? ??? ? ???? 解法 4: 由 1 ,ab? 知 11 22nnnnbaa an??? ??0? , 11221 nnnana nba????? 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 26 11 2 1nna b b a ???? 令1 1,n nnAAab??, 當(dāng) 2n? 時(shí) , 112nnAAbb ??? ∴1 12nnAAbb? ??. ∴ ? ?112n n n nA A A Ab??? ? ?. ∴ 數(shù)列 ? ?1nnAA? ? 是首項(xiàng)為2122AAb??,公比為 2b 的等比數(shù)列 . ∴ 11 212 2 2n nnn nAA b b b?? ???? ? ?????. ∴ ? ? ? ? ? ?1 2 1 3 2 1n n nA A A A A A A A ?? ? ? ? ? ? ? ? 21231 2 2 2nnb b b b?? ? ? ? ?. ① 當(dāng) 2b? 時(shí) ,12121nnbbAb??????????????? ? ?22nnnbbb?? ?. ② 當(dāng) 2b? 時(shí) , 2n nA?. ∴ ? ?2 ,222 , 2nnnnnb b ba bb? ? ??? ? ???? 解法 5: ∵ 1 ,ab? 11 22nnnnbaa an??? ??? ?2n? , ∴ 212 1 2 22 2 2 2ba ba ab??? ? ? ?, 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 27 323 222 3 32 3 2 22ba ba a bb??? ? ? ??. 猜想 : 1 2 2 12 2 2nn n n n nnba b b b? ? ? ?? ? ? ? ?. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立 . (ⅰ )當(dāng) 1n? 時(shí) , 左邊 ? 1ab? ,右邊111 b bb????, 等式成立 . (ⅱ )假設(shè) ? ?1n k k??時(shí) ,猜想成立 ,即1 2 2 12 2 2kk k k k kkba b b b? ? ? ?? ? ? ? ?, 當(dāng) 1nk??時(shí) , ? ?? ?1 12 1 2kk k k b aa ak? ?? ? ? ? ? ?1 2 2 11 2 2 112 2 222 2 2kk k k kkk k k kk b k bb b bkb kb b b? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? 11112 2 2kk k k kkbb b b????? ? ? ? ?. 故 1nk??時(shí) ,猜想也成立 . 由 (ⅰ )、 (ⅱ )知，對(duì)任意 n? N* ， 1 2 2 12 2 2nn n n n nnba b b b? ? ? ?? ? ? ? ?. 解法 6: 由 1 ,ab? 知 11 22nnnnbaa an??? ??0? , 11221 nnnana nba????? 11 1 2 ( 1) 1nnna b n b n a???? ① 當(dāng) 2b? 時(shí) , 可得 11 1 2 2 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 1 )nnna b n n b a b n????? ? ???? ? ??? 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 28 記 11( 2)n nA a b n?? ? 則： 122nnnAAnb ??? ? 321 1 2 1nn nAAAAA A A A ?? ? ? ? ? ? ?212 2 1 2 2( 2 ) 2 3 nb b b b n b???? ? ? ? ?? 112 2 [ 1 2 3 ( 1 ) ]( 2 ) ( 2 3 4 )nnnb b n b??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? 2(2 )nnn b b? ? ? 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )n n nnnn ba n b b n b n b b?? ? ?? ? ?； ? ( 2)2 nnnnn b ba b ?? ? ② 當(dāng) 2b? 時(shí) , 2n nA?. ∴ ? ?2 ,222 , 2nnnnnb b ba bb? ? ??? ? ???? 解法 7：211)1(2 1111??????? ????nanabnabanannnnn 令 naA nn ?，則 21 1?? ? ?n nn AbAA 當(dāng) 2?b 時(shí)：則??????nA1 是首項(xiàng)為等差數(shù)列 21 公差為 21 ? 221)1(211 nnAn ????? ? nAn 2? ? 2?na 當(dāng) 2b? 時(shí)： 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 29 1111 1112( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 )( 2 )2nn n nnn n nnbAA A b AbAA b b A b A bbA???? ??????? ? ? ? ? ???? 11112 ( 2 ) 2 2 ( 2 )nnnnb A Abb A b A b????? ? ?? ? ? ? ? ( 2)nnAAb????????是首項(xiàng)為 11 ( 2) 2A bAb ??? ，公比為 2b 的等比數(shù)列 ? 1()( 2 ) 2 2 2 nnnnn A b b bAb ????? ? 2 ( 2 )n n nnnA b A b b? ? ? ? ( 2)2 nnnnbbA b?? ? ? ( 2)2 nnnnb nba b?? ? 第二問（證明不等式： 對(duì)于一切正整數(shù) n , 11 12nn nba????） （本小題滿分 6分） (3)證法 1 (國標(biāo) ): 當(dāng) 2b? 時(shí) , (欲證 ? ? 112 122n nn n n nn b b ba b???? ? ??,只需證 11 2122n n nnnbbnb b???? ????? ???)， ? ?11 22 2nnnn bb b?? ????? ?? ?1 1 1 2 12 2 2n n n n nb b b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 2 2 2 1 1 12 2 2 2 2n n n n n n n n nb b b b b? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 212 2 222 2 2n n nnnn n nb b bb b b b????? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? 12 2 2 2 2n n n nb n b?? ? ? ? ? , 所 以 ? ? 112 122n nn n n nn b b ba b ???? ? ?? 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 30 當(dāng) 2b? 時(shí) , 11212nn nba??? ? ?. 綜上所述 , 11 12nn nba????. 證法 2: 當(dāng) 2b? 時(shí) , 欲證 11 2 2 3 2 1 1 12 2 2 2 2nnn n n n n n nn b ba b b b b?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?, 只需證 ? ?1 1 2 2 11 1 2 2 22 nn n n n nnbn b b b b? ? ? ? ????? ? ? ? ? ????? . 事實(shí)上， ? ?1 1 2 2 11 1 2 2 22n n n n nnb b b b? ? ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? ?1 1 2 2 11 2 2 22n n n n nnb b b b? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?1 2 2 12 2 2n n n nb b b? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 1 1122 2 2n n nnnb b b?????? ? ? ?????? ?1 2 2 12 2 2n n n nb b b? ? ? ?? ? ? ? 2 2 1 11 2 1222 2 2n n nn n nnnb b bbb??? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 2 1 11 2 1122 2 2 2 22 2 2n n nn n nnnb b bbb??? ? ??? ? ? ? nnb? 當(dāng) 2b? 時(shí) , 11212nn nba??? ? ?. 綜上所述 , 11 12nn nba????. 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 31 分