【正文】 ? 25．已知 A= ?????? ?117 13 ，求其特征值與特征向量 . 特征值 4, 10????， 4?? 的特征向量 (1, 1)Tk ? , 10?? 的特征向量 (1, 7)Tk ? A= ??????? ?21 12 ，求 An. 1 3 1 312 1 3 1 3nnnA ????? ?????? 四、證明題（本大題共 1 小題， 6 分） 27．設 ? 為 Ax=0 的非零解， ? 為 Ax=b(b? 0)的解，證明 ? 與 ? 線性無關 . 31 證明： 1212122221 2 1 1()00kkA k k Ak A k Akkkk k k k??? ? ?????? ? ?? ? ? ? ? ?α β 0α β 00α β0bb0α β 0 α 0 所以 ? 與 ? 線性無關。錯選、多選或未選均無分。錯選、多選或未選均無分。 1． 3 階行列式 jia =011101110???中元素 21a 的代數(shù)余了式 21A =（ ） A． 2 B． 1 C． 1 D． 2 2．設矩陣 A=??????????22211211aaaa ， B=?????????? ??121112221121aaaaaa ， P1=??????????0110 ， P2=??????????1101 ，則必有 （ ） A． P1P2A=B B． P2P1A=B C． AP1P2=B D． AP2P1=B 3．設 n 階可逆矩陣 A、 B、 C 滿足 ABC=E，則 B1=（ ） A． A1C1 B． C1A1 C． AC D． CA 4．設 3 階矩陣 A=????????????????000100010，則 A2 的秩為（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 5．設 4321 , ???? 是一個 4 維向量組，若已知 4? 可以表為 321 , ???的線性組合，且表示法惟一，則向量組 4321 , ???? 的秩為 23 （ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 6．設向量組 4321 , ???? 線性相關 ，則向量組中（ ） A． 必有一個向量可以表為其余向量的線性組合 B．必有兩個向量可以表為其余向量的線性組合 C．必有三個向量可以表為其余向量的線性組合 D．每一個向量都可以表為其余向量的線性組合 7．設 321 , ??? 是齊次線性方程組 Ax=0 的一個基礎解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎解系的是（ ） A． 2121 , ???? ? B． 133221 , ?????? ??? C． 2121 , ???? ? D． 133221 , ?????? ??? 8．若 2 階矩陣 A 相似于矩陣 B=???????????3202 ， E 為 2 階單位矩陣，則與矩陣 EA 相似的矩陣是（ ） A．??????????4101 B．????????????4101 C．????????????4201 D．?????????????4201 9．設實對稱矩陣 A=??????????????????120240002，則 3 元二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx的規(guī)范形為（ ） A． 232221 zzz ?? B． 232221 zzz ?? C． 2221 zz ? D． 2221 zz ? 10．若 3 階實對稱矩陣 A=（ ija ）是正定矩陣，則 A 的正慣性指數(shù)為（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 二、填空題 (本大題共 10小題，每小題 2分 ， 共 20分 ) 請在每小題的空格中填上正確答案。 四、證明題（本大題共 1小題， 6分） 27. 證 明 ： 若 向 量 組, 3232121121 ?? ???????????? ?????? nn 而線性無關 1?? nn ?? +? n，則 向量組 為奇數(shù)線性無關的充要條件是 nn??? , 21 ? 。 )3,1,0,2(1 ??? )1,1,2,3(2 ???? )9,5,6,5(3 ???? )5,3,4,4(4 ???? 求向量組的秩，并給出一個極大線性無關組。 A= ?????? 40 01與矩陣 B= ?????? xa b3相似，則 x=_____________。 的秩為)2,1,1,0(),0,1,0,1(),2,0,1,1( 321 ???? ??? _____________。 A=（ 1， 3， 1）， B=（ 2， 1），則 ATB=____________________。 一、單項選擇題 (本大題共 10小題，每小題 2分，共 20分 ) 在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的 括號內(nèi)。 A=????????????????3030002aa 的三個特征值分別為 1， 2， 5，求正的常數(shù) a 的值及可逆矩陣 P，使 P1AP=????????????????500020001。 B=（ 2， 1， 3）， C=（ 1， 2， 3），求（ 1） A=BTC；（ 2） A2。錯填、不填均無分。 2110的值為 _________. A= ???????? 32 21,則 |A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為_________. A= ????????? ?42 31,P= ???????? 10 11,則 AP3=_________. A,B 都是 3 階矩陣 ,且 |A|=2,B=2E,則 |A1B|=_________. 1,=(1,2,3),α 2=(3,1,2), α 3=(2,3,k)線性相關 ,則數(shù) k=_________. Ax=b 為 4 元線性方程組 ,r(A)=3, α 1, α 2, α 3 為該方程組的 3 個解 ,且 ,9753,4321311?????????????????????????????????? 則該線性方程組的通解是_________. 17. 已知 P 是 3 階正交矩 , 向量??????????????????????????? )P,P(,201,231則 內(nèi) 積_________. 2 是矩陣 A 的一個特征值 ,則矩陣 3A 必有一個特征值為_________. A= ???????? 30 21相似的對角矩陣為 _________. A= ????????? ?k2 21,若二次型 f=xTAx 正定 ,則實數(shù) k 的取值范圍是 _________. 三、計算題 (本大題共 6小題，每小題 9分，共 54分 ) D= .0120101221010210的值 9 22. 設 矩 陣 A= ,000012021B,100001010???????????????????????? ? 求 滿 足 矩 陣 方 程XAB=2E 的矩陣 X. ????????????????????????????????????????????????????k202,k62,311,1114321的秩為 2,求 k 的值 . .012b,121011322A ???????????????????????? (1)求 A1。 12 21 ??? kk=0，則 k=_________________________. 12. 設 A= ?????? 11 01， k 為 正 整 數(shù) ， 則Ak=_________________________. 13. 設 2 階 可逆矩陣 A 的 逆矩陣 A1= ?????? 43 21，則矩陣A=_________________________. ? =（ 6， 2， 0， 4）， ? =（ 3， 1， 5， 7），向量 ? 滿足 ??? 32 ?? ，則 ? =_________________________. 15. 設 A 是 mn 矩陣， Ax=0, 只有零解，則r(A)=_________________________. 21,?? 是齊次線性方程組 Ax=0 的兩個解，則 A（ 3 21 7??? ）=________. 17. 實 數(shù) 向 量空 間 V={ （ x1,x2,x3 ） |x1x2+x3=0} 的維 數(shù)是______________________. 18. 設 方 陣 A 有 一 個 特 征 值 為 0 ，則|A3|=________________________. 3 ?1? （ 1， 1， 3）， ?2? （ 2， 1， ? ）正交，則? =__________________. f(x1,x2,x3)= 3121232221 2224 xxxtxxxx ???? 是正定二次型，則 t 滿足_________. 三、計算題（本大題共 6小題，每小題 9分，共 54分） bacccbcabbaacba??????222222 A=?????????????16101512211?? ，對參數(shù) ? 討論矩陣 A 的秩 . ??????????100152131 X=????????????315241 ：???????????????21211? ，???????????????56522? ，?????????????11133? ，????????????????37214? 的一個極大線性無關組， 并將其余向量通過該極大線性無關組表示出來 . ???????????????????03204230532432143214321xxxxxxxxxxxx 的一個基礎解系及其通解 . ????????????? 3142281232 的特征值和特征向量 . 四、證明題（本大題共 1小題， 6分） 1? ， 2? ， …., k? 線性無關， 1j≤ k. 證明： 1? + j? ， 2? ， …, k? 線性無關 . 全國 2020 年 1 月自考線性代數(shù)（經(jīng)管類）參考答案 4 三、計算題 5 6 全國 2020 年 10 月自學考試 線性代 數(shù) (經(jīng)管類 )試題 課程代碼： 04184 說明 :在本卷中 ,AT表示矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣 ,A*表示矩陣 A的伴隨矩陣 ,E是單位矩陣 ,|A|表示方陣 A的行列式 ,r(A)表示矩A的秩 . 一、單項選擇題 (本大題共 10小題，每小題 2分 ,共 20分 ) 在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。 1 全國 2020 年 1 月自學考試 線性代