【正文】 別是 ( )． A． 46,45,56 B． 46,45,53 C． 47,45,56 D． 45,47,53 解析 樣本共 30 個，中位 數(shù)為 45＋ 472 ＝ 46；顯然樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的為45，故眾數(shù)為 45；極差為 68－ 12＝ 56，故選 A. 答案 A 2． (20xx煙臺四校聯(lián)考 )據(jù)悉 20xx 年山東省高考要將體育成績作為參考，為此，濟南市為了了解今年高中畢業(yè)生的體能狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個班進行鉛球測試，成績在 m(精確到 m)以上的為合格．把所得數(shù)據(jù)進行整理后，分成 6 組，并畫出頻率分布直方圖的一部分如圖所示．已知從左到右前 5 個小組對應(yīng)矩形的高分別為 ， ,，且第 6小組的頻數(shù)是 7. (1)求這次鉛球測試成績合格的人數(shù)； (2)若由直方圖來估計這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，指出該中位數(shù)在第幾組內(nèi)，并說明理 由． 解 (1)由題易知，第 6 小組的頻率為 1－ (＋ ＋ ＋ ＋ ) 1＝， ∴ 此次測試的總?cè)藬?shù)為 ＝ 50. ∴ 這次鉛球測試成績合格的人數(shù)為 ( 1＋ 1＋ 1) 50＝ 36. (2)直方圖中中位數(shù)兩側(cè)的矩形面積和相等，即頻率和相等，前三組的頻率和為，前四組 的頻率和為 ， ∴ 中位數(shù)位于第 4 組內(nèi)． 考向三 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 【例 3】 ?甲乙二人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖． (1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差； (2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價． [審題視點 ] (1)先通過圖象統(tǒng)計出甲、乙二人的成績； (2)利用公式求出平均數(shù)、方差，再分析兩人的成績，作出評價． 解 (1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試 的成績分別為 甲： 10 分， 13 分， 12 分， 14 分， 16 分； 乙： 13 分， 14 分， 12 分， 12 分， 14 分 . x 甲 ＝ 10＋ 13＋ 12＋ 14＋ 165 ＝ 13， x 乙 ＝ 13＋ 14＋ 12＋ 12＋ 145 ＝ 13， s2甲 ＝ 15[(10－ 13)2＋ (13－ 13)2＋ (12－ 13)2＋ (14－ 13)2＋ (16－ 13)2]＝ 4， s2乙 ＝ 15[(13－ 13)2＋ (14－ 13)2＋ (12－ 13)2＋ (12－ 13)2＋ (14－ 13)2]＝ . (2)由 s2甲 ＞ s2乙 可知乙的成績較穩(wěn)定． 從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高． (1)用樣本估計總體時，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似．實際應(yīng)用中，當(dāng)所得數(shù)據(jù)平均數(shù)不相等時，需先分析 平均水平，再計算標(biāo)準(zhǔn)差 (方差 )分析穩(wěn)定情況． (2)若給出圖形，一方面可以由圖形得到相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，再計算平均數(shù)、方差(標(biāo)準(zhǔn)差 )；另一方面，可以從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況，大致判斷平均數(shù)的范圍，并利用數(shù)據(jù)的波動性大小反映方差 (標(biāo)準(zhǔn)差 )的大小． 【訓(xùn)練 3】 (20xx臨沂模擬 )甲校有 3 600 名學(xué)生，乙校有 5 400 名學(xué)生，丙校有 1 800名學(xué)生．為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個容量為 90 的樣本，應(yīng)該在這三 校分別抽取的學(xué)生人數(shù)是 ( )． A． 30,30,30 B． 30,45,15 C． 20,30,10 D． 30,50,10 解析 抽取比例是 903 600＋ 5 400＋ 1 800＝ 1120，故三校分別抽取的學(xué)生人數(shù)為 3 600 1120＝ 30,5 400 1120＝ 45,1 800 1120＝ 15. 答案 B 3 ． 10 名 工 人 某 天 生 產(chǎn) 同 一 零 件 ， 生 產(chǎn) 的 件 數(shù) 分 別 是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，則這一天 10 名工人生產(chǎn)的零件的中位數(shù)是( )． A． 14 B． 16 C． 15 D． 17 解析 將這組數(shù)據(jù)從小到大排列得 10,12,14,14,15,15,16,17,17,15＋ 152 ＝ 15. 答案 C 4． (20xx山東 )采用系統(tǒng)抽樣方法從 960 人中抽取 32 人做問卷調(diào)查．為此將他們隨機編號為 1,2， ? ， 960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為 32 人中，編號落入?yún)^(qū)間 [1,450]的人做問卷 A，編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷 B，其余的人做問卷 ，做問卷 B 的人數(shù)為( )． A． 7 B． 9 C． 10 D． 15 解析 從 960 人中用系 統(tǒng)抽樣方法抽取 32 人，則每 30 人抽取一人，因為第一組抽到的號碼為 9，則第二組抽到的號碼為 39，第 n 組抽到的號碼為 an＝ 9＋30(n－ 1)＝ 30n－ 21，由 451≤ 30n－ 21≤ 750，得 23615 ≤ n≤ 25710 ，所以 n＝ 16,17， ? ，25，共有 25－ 16＋ 1＝ 10 人，選 C. 答案 C 2． (20xx天津 )某地區(qū)有小學(xué) 150 所，中學(xué) 75 所，大學(xué) 25 所．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取 30 所學(xué)校對學(xué)生進行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取 ________所學(xué)校，中學(xué)中抽取 ________所學(xué)校． 解析 根據(jù)分層抽樣的特 點求解．從小學(xué)中抽取 30 150150＋ 75＋ 25＝ 18 所學(xué)校；從中學(xué)中抽取 30 75150＋ 75＋ 25＝ 9 所學(xué)校． 答案 18 9 考向二 頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用 【例 2】 ?某班同學(xué)利用國慶節(jié)進行社會實踐，對 [25,55]歲的人群隨機抽取 n人進行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念，稱為 “ 低碳族 ” ，否則稱為 “ 非低碳族 ” ，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖： 組數(shù) 分組 低碳族的人數(shù) 占本組的頻率 第一組 [25,30) 120 第二組 [30,35) 195 p 第三組 [35,40) 100 第四組 [40,45) a 第五組 [45,50) 30 第六組 [50,55] 15 續(xù)表 (1)補全頻率分布直方圖； (2)求 n， a， p 的值． [審題視點 ] (1)要補全頻率分布直方圖，關(guān)鍵是計算出第二組的頻率； (2)靈活運用關(guān)系式： 頻率組距 組距＝頻率 ， 頻數(shù)樣本容量 ＝頻率求解． 解 (1)第二組的頻率為 1－ (＋ ＋ ＋ ＋ ) 5＝ ，所以小長方形的高為 ＝ ． (2)第一組的人數(shù)為 ＝ 200，頻率為 5＝ ， 所以 n＝ ＝ 1 000. 由 (1)知，第二組的頻率為 ，所以第二組的 人數(shù)為 1 000 ＝ 300，所以 p＝ 195300＝ 5＝ ，所以第四組的人數(shù)為 1 000 ＝ 150，所以 a＝ 150 ＝ 60. (1)繪制頻率分布直方圖時需注意： ① 制作好頻率分布表后可以利用各組的頻率之和是否為 1 來檢驗該表是否正確； ② 頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率組距 ，而不是頻率． (2)由頻率分布直方圖進行相關(guān)計算時，需掌 握下列關(guān)系式： 頻率組距 組距＝頻率． 【訓(xùn)練 2】 (20xx徐州模擬 )從某小學(xué)隨機抽取 100 名同學(xué)，這些同學(xué)身高都不低于 100 厘米，將他們的身高 (單位：厘米 )數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖 (如圖 )．現(xiàn)用分層抽樣的方法從身高在 [120,130)， [130,140)， [140,150]三組學(xué) 生中，選取 18 人參加一項活動，則從身高在 [140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為________． 解析 由 (＋ ＋ ＋ ＋ a) 10＝ 1，得 a＝ ，因此[120,130)， [130,140)， [140,150]三組學(xué)生人數(shù)分別為： 100＝ 30, 100 ＝ 20, 100＝ 10，所以，從身高在 [140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為1030＋ 20＋ 10 18＝ 3. 答案 3 A 級 基礎(chǔ)演練 (時間： 30 分鐘 滿分： 55 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 20 分 ) 1.(20xx安徽 )甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶 5 次，兩人成績的條 形統(tǒng)計圖如圖所示，則 ( )． A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差 解析 由題意可知，甲的成績?yōu)?4,5,6,7,8，乙的成績?yōu)?5,5,5,6,、乙的成績的平均數(shù)均為 6， A 錯；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為 6,5， B 錯；甲、乙的成績的方差分別為 15 [(4－ 6)2＋ (5－ 6)2＋ (6－ 6)2＋ (7－ 6)2＋ (8－ 6)2]＝ 2， 15 [(5－ 6)2＋ (5－ 6)2＋ (5－ 6)2＋ (6－ 6)2＋ (9－ 6)2]＝ 125 ， C 對；甲、乙的成績的極差均為 4， D 錯． 答案 C 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 5． (20xx10＝ . B 級 能力突破 (時間： 30 分鐘 滿分： 45 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 1． (20xx北京西城一模 )某年級 120 名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?13秒與 18 秒之間．將測試結(jié)果分成 5 組： [13,14)， [14,15)， [15,16)， [16,17)， [17,18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．如果從左到右的 5 個小矩形的面積之比為1∶ 3∶ 7∶ 6∶ 3，那么成績在 [16,18]的學(xué)生人數(shù)是 ____________． 解析 成績在 [16,18]的學(xué)生的人數(shù)所占比例為 6＋ 31＋ 3＋ 7＋ 6＋ 3＝ 920，所以成績在 [16,18]的學(xué)生人數(shù)為 120 920＝ 54. 答案 54 三、解答題 (共 25 分 ) 5． (12 分 )汽車行業(yè)是碳排放量比較大的行業(yè)之一，歐盟規(guī)定，從 20xx 年開始，對 CO2排放量超過 130 g/km 的 MI 型新車進行懲罰 (視為排放量超標(biāo) )，某檢測單位對甲、乙兩類 MI 型品牌的新車各抽取了 5 輛進行 CO2排放量檢測，記錄如下 (單位： g/km)： 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x Y 160 經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)，乙類品 牌車 CO2排放量的均值為 x 乙 ＝ 120 g/km. (1)求甲類品牌汽車的排放量的平均值及方差； (2)若乙類品牌汽車比甲類品牌汽車 CO2的排放量穩(wěn)定性好，求 x 的取值范圍． 解 (1)甲類品牌汽車的 CO2排放量的平均值 x 甲 ＝ 80＋ 110＋ 120＋ 140＋ 1505 ＝120(g/km)， 甲類品牌汽車的 CO2排放量的方差 s2甲 ＝ ?80－ 120?2＋ ?110－ 120?2＋ ?120－ 120?2＋ ?140－ 120?2＋ ?150－ 120?25 ＝ 600. (2)由題意知乙類品牌汽車的 CO2 排放量的平均值 x 乙 ＝ 100＋ 120＋ x＋ y＋ 1605＝ 120(g/km)，得 x＋ y＝ 220，故 y＝ 220－ x，所以乙類品牌汽車的 CO2排放量的方差 s2乙 ＝ ?100－ 120?2＋ ?120－ 120?2＋ ?x－ 120?2＋ ?220－ x－ 120?2＋ ?160－ 120?25 ， 因為乙類品牌汽車比甲類品牌汽車 CO2的排放量穩(wěn)定性好，所以 s2乙 s2甲 ，解得90x130. 6． (13 分 )已知某單位有 50 名職工，現(xiàn)要從中抽取 10 名 職工，將全體職工隨機按 1～ 50 編號，并按編號順序 平均分成 10 組，按各組內(nèi)抽取的編號依次增加 5 進行 系統(tǒng)抽樣． (1) 若第 5 組抽出的號碼為 22，寫出所有被抽出職工 (2) 的號碼； (2)分別統(tǒng)計這 10 名職工的體重 (單位：公斤 )，獲得體重數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，求該樣本的方差； (3)在 (2)的條件下，從這 10 名職工中隨機抽取兩名體重不輕于 73 公斤 (≥ 73公斤 )的職工，求體 重為 76 公斤的職工被抽取到的概率． 解 (1)由題意，第 5 組抽出的號碼為 22. 因為 k＋ 5 (5－ 1)＝ 22，所以第 1 組抽出的號碼應(yīng)該為 2，抽出的 10 名職工的號碼分別為 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)因為 10 名職工的平均體重為 x ＝ 110(81＋ 70＋ 73＋ 76＋ 78＋ 79＋ 62＋ 65＋ 67＋ 59)＝ 71， 所以樣本方差為： s2＝ 110(102＋ 12＋ 22＋ 52＋ 72＋ 82＋ 92＋ 62＋ 42＋ 122)＝ 52. (3)從 10 名職工中