【正文】 1()( ) ,( ) ( )j nkjn k j n k kjkxx xlxx x x x x????? ????????而 )()()( xRxLxfnn ??因此對(duì)于定積分 ?? ba dxxffI )()(? ?? ba nn dxxRxL )]()([有 ?? ba dxxffI )()(? ??? bankkk dxxlxf0)()( ?? ba n dxxR )(???nkkk xfA0)( ?? ba n dxxR )(令 ???nkkkn xfAfI0)()(?? ba nn dxxRIR )()(?? ba dxxffI )()()()()( nn IRfIfI ??即有 ?? ba kk dxxlA )(其中 dxxxxxbakjnj jkj? ???? ???0n階 NewtonCotes求積公式 NewtonCotes公式的余項(xiàng) (誤差 ) )()( fIfI n??? ba kk dxxlA )( dxxxxxbakjnj jkj? ???? ???0:的計(jì)算kA注意是等距節(jié)點(diǎn) thax ??假設(shè) ],[ bax ?由 ],0[ nt ?可知kAdxxxxxbakjnj jkj? ???? ???0dthhjkhjtnkjnj??????????????? ? ????00 )()(dtjtknkh nkjnjkn? ???????????00)()!(!)1(dtjtknknabnkjnjkn? ?????????????00)()!(!)1()()()(? nkk CabA ??????nkkkn xfAfI0)()( ????nkknk xfCab0)( )()(所以 NewtonCotes公式化為 () a,bnkC C o t e s稱 為 系 數(shù) , 獨(dú) 立 于 區(qū) 間 [] 和 被 積 函 數(shù) ,只 與 等 分 區(qū) 間 數(shù) n 有 關(guān) ， 從 而 與 求 積 問(wèn) 題 本 身 沒(méi) 有 關(guān) 系 .NowtonCotes型求積公式的誤差分析 定理 NewtonCotes求積公式的余項(xiàng)可表示為： ( ) [ , ] ,n+1（ 1 ） 對(duì) n 為 奇 數(shù) 的 情 形 ， 設(shè) 函 數(shù) 則f x C a b?2 ( 1 )R [ ] ( ) [ , ]n ，nnnf r h f a b??????01r ( 1 ) ( )( 1 ) !nn ndn ? ? ? ?? ? ?? ?其中 ( ) [ , ] ,f x C a b? n+2（ 2 ） 對(duì) n 為 偶 數(shù) 的 情 形 ， 設(shè) 函 數(shù) 則3 ( 2 )R [ ] ( ) [ , ]n ，nnnf r h f a b??????其中 201r ( 1 ) ( )( 2 ) !nn ndn ? ? ? ?? ? ?? ?低階 NewtonCotes公式及其余項(xiàng) 在 NewtonCotes公式中 ,n=1,2,4時(shí)的公式是最常用也 最重要三個(gè)公式 ,稱為低階公式 (1). 梯形公式及其余項(xiàng) abhbxaxn ????? ,1 10則取dtt? ??? 10 )1()1(0CCotes系數(shù)為 21?dtt?? 10)1(1C 21?求積公式為 )(1 fI ????10)1( )()(kkk xfCab)]()([2 10 xfxfab ???)]()([2 bfafab ???)(1 fI即上式稱為 梯形求積公式 ,也稱 兩點(diǎn)公式 ，記為 0 1 01234)]()([2 )( bfafab ???)(1 fIT ?梯形公式的余項(xiàng)為 )()( 1IRTR ? ?? ba dxxR )(1dxbxaxfTR ba? ????? ))((2 )()( ?dxbxaxf ba? ????? ))((2 )(?],[ ba??第二積分 中值定理 6)(2)( 3abf ????? ?( 1)1()( ) ( )( 1 ) ! ，與 有 關(guān)nnnfR x xnx? ????? ?)(12 )(3?fab ?????2312)(|)(| MabTR ??|)(|m a x ],[2 xfM bax ??? ?梯形公式具有 1次代數(shù)精度 故 (2). Simpson公式及其余項(xiàng) 2,2,2 210abhbxabxaxn ??????? 則取Cotes系數(shù)為 dtttC ? ??? 20)2(0 )2)(1(41 61?dtttC ? ??? 20)2(1 )2(2 1 64?dtttC ? ?? 20)2(2 )1(41 61?求積公式為 )(2 fI ????20)2( )()(kkk xfCab)](61)(64)(61)[( 210 xfxfxfab ????)]()2(4)([6 bfbafafab ?????)(2 fI 0 1 01234上式稱為 Simpson求積公式 ，也稱 三點(diǎn)公式或拋物線公式 記為 )(2 fIS ?Simpson公式的余項(xiàng)為 )()( 2IRSR ? ?? ba dxxR )(2)()2(1 8 0 )4(4 ?fabab ????Simpson公式具有 3次代數(shù)精度 (3). Cotes公式及其余項(xiàng) 4,4,1,0,4abhkkhaxnk?????? ?則取Cotes系數(shù)為 dtttttC )4)(3()2)(1(!44 1 40)4(0 ?????? ? 907?dtttttC )4)(3()2(!34 1 40)4(1 ?????? ? 9032?dtttttC )4)(3()1(!2!24 1 40)4(2 ?????? ? 9012?dtttttC )4)(2()1(!34 1 40)4(3 ?????? ? 9032?dtttttC )3)(2()1(!44 1 40)4(4 ?????? ? 907?求積公式為 )(4 fI ????40)4( )()(kkk xfCab)](907)(9032)(9012)(9032)(907)[( 43210 xfxfxfxfxfab ??????)](7)(32)(12)(32)(7[90 43210 xfxfxfxfxfab ??????上式稱為 Cotes求積公式 ，也稱 五點(diǎn)公式 記為 )(4 fIC ?Cotes公式的余項(xiàng)為 )()( 4IRCR ? ?? ba dxxR )(4 )()4(9 4 5 )(2 )6(6 ?fabab ????Cotes公式具有 5次代數(shù)精度 常用的 NC公式： 10203015( 4 )0 1 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 122 ( ) ( ) ( 4 ) ( ) 3 90 xxxxnhhf x dx f f fn S im ps onhhf x dx f f f f?????? ? ??? ? ? ???梯 形30405( 4 )0 1 2 30 1 2 3 47( 6 )3 ( 3 8 ) 33 ( ) ( 3 3 ) ( )8 804 ( ) 2 ( ) ( 7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )458 (945xxxxn S imps onhhf x dx f f f f fn C ot e shf x dx f x f x f x f x f xhf????? ? ? ? ??? ? ? ? ????) () , , ( ) ( 0, 1 , , ) i i ibah x a ih f f x i nn?? ? ? ? ?其 中 ： 常用的 NC公式 觀察這些公式的代數(shù)精度階數(shù)，自然會(huì)得出結(jié)論： 1. 梯形規(guī)則簡(jiǎn)單，有 1階代數(shù)精度； 2. 再增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，就是具有 3階代數(shù)精度的Simpson公式； 3. 而 Simpson38公式又增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，精度卻沒(méi)有提高。0( 1)1[ ] ( ) [ ]( ) ()1[ ] ( ) ( )( 1 ) !插 值 型 求 積 公 式bnann k kkbkkabnnaI f f x dx I R fI A f xA l x dxR f f x dxn??????? ? ???????? ???????????( 1 )0, [ ] 0( ) ( )nnnbkkakf n f x R ff x dx A f x????? ??若 為 次 數(shù) 的 多 項(xiàng) 式 則 ( )= 0, 從 而 此 時(shí) 也就是說(shuō)，當(dāng)被積函數(shù) f為次數(shù)不超過(guò) n 的多項(xiàng)式時(shí)，其相應(yīng)的插值型求積公式不是近似公式，而是準(zhǔn)確公式。 (3) 記數(shù)值積分公式為 0,ninnniiI A fI I R????? 即 特點(diǎn)： 把求積過(guò)程（極限過(guò)程）轉(zhuǎn)化為有限次的乘法與加法的代數(shù)運(yùn)算。 從 幾何上 看，就是計(jì)算 曲邊梯形面積 的近似值。第七章 微積分的數(shù)值計(jì)算方法 ? 傳統(tǒng)方法的困境 ? 數(shù)值積分的基本思想 ? 數(shù)值積分的一般形式 ? 代數(shù)精度問(wèn)題 求函數(shù) f(x) 在區(qū)間 [a,b] 上的定積分 ()baI f x d x? ?是微積分學(xué)中的基本問(wèn)題。 數(shù)值積分的基本思想 數(shù)值積分 是計(jì)算定積分的具有一定精度的近似值的各種計(jì)算方法。 正是由于權(quán)系數(shù)的構(gòu)造方法不同，從而決定了數(shù)值積分的不同方法。 最常用的一種方法是利用插值多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造數(shù)值求積公式 , 具體步驟如下 : 上取一組節(jié)點(diǎn)在積分區(qū)間 ],[ babxxxa n ????? ?10次插值多項(xiàng)式的作 nxf )(???nkkkn xlxfxL0)()()(為插值基函數(shù)其中： ),1,0)(( nkxl k ??不同的 插值方法 有不同的 基函數(shù) ,不同的