【正文】 ???????????????????35000012020000000001000000200000010?????????????nnA的逆矩陣。 （ 3）若把該例條件 ? ? BABA ??? 2 換成 ? ? BABA ??? 2 時(shí)，結(jié)論仍然成立，請(qǐng)讀者試之。） 解法 1 HEd efA ??????????????????????? 2000000100200020002 由于 E 與 H 可交換，且.,3,2,0 ??? lH l 于是 ? ? ? ? ? ? ? ? mHEHEmEHECHEA mmmmiimmiimmm 110 222222???? ??????? ? ???????????????????????????????? ??mmmmmmmm mm200020202000000200200020002 11 解法 2 因?yàn)?????????? ???22222000202202AAA ?????????? ???3323232000202302AAA ?????????? ???4434342000202402AAA 觀察這些矩陣的規(guī)律，可推測(cè) ????????????mkkmmkA200020202 1 此結(jié)論是否正確，還須用數(shù)學(xué)歸納法證明，為此，假設(shè) km? 時(shí)成立，即 ????????????kkkkkkA200020202 1 當(dāng) 1??km 時(shí)， ? ????????????? ?????????????????????????????112111200020102200020102200020202kkkkkkkkkkkkAAA 故 1??km 時(shí)結(jié)論亦成立，于是上述結(jié)果正確。 計(jì)算 1?n 階行列式 ? ? ? ?? ? ? ?1111111111???????naaanaaanaaaDnnnnnnn??????????? 分析 該行列式與范德蒙行列式的形式不同，但若把最后一行依次與前面各行交換到第一行，新的最后一行再依次與前面各行交換到第二行，這樣繼續(xù)下去，共經(jīng)過(guò)交換 ? ?21?nn 次后可得一范德蒙行列式。 （ 2）一般地，若導(dǎo)出的遞推關(guān)系式 ? ?0,21 ??? ?? ?? nnn DaDD ，可先將其轉(zhuǎn)化為 ? ?211 ??? ??? nnnn pDDqpDD ，進(jìn)行遞推得 ? ? ? ?qpnfpDDqpDD nnn ,1221 記作???? ?? ? 其中 qp, 為 一 元 二 次 方 程02 ??? ??xx 的兩根，然后，再利用 ? ?qpnfpDD nn ,1 ?? ? 依次遞推求出 nD 。 解 （ 1） 10 計(jì)算 5 階行列式 01122103210113222113132115??????D 解 42415355 2103101122213132150005010321011322211313211rrrrrrrD??????????? 展開(kāi)按 1 7 0112271310510310112027103105 4 ???????????? 展開(kāi)按 c 注（ 1）和降價(jià)法計(jì)算行列式時(shí)，一般應(yīng)先利用行列式的性質(zhì)，將某一行或某一列化得零元素較多后，再按該行或該列展開(kāi)。 計(jì)算 2249132513232213211xxD??? 解 顯而易見(jiàn)，當(dāng) 12 2 ??x ，即 1??x 時(shí)， 4D 中第一、二行對(duì)應(yīng)元素相等，此時(shí) 04?D ，即 4D 有因子 ? ?? ?11 ?? xx 。 解 所給行列式中，第一行元素除了 12a （即 21?p ）以外其余都 為零，而第二行元素中除了 23a （即 32?p ）以外其余都為零，繼續(xù)分析第三行、第四行?第 n 行，可知在 n!項(xiàng)中只一項(xiàng) 1,12312 nnn aaaa ?? 不為零，且它的列標(biāo)排列 2 3? n 1 的逆序數(shù)為 n－ 1，于是 ? ? ? ? !11 11,123121 naaaaD nnnnnn ??? ???? ? 計(jì)算 n 階行列式 nnnnnnnbababababababababaD?????????????????2122212111 解 當(dāng) 1?n 時(shí)， 111 baD ?? 當(dāng) 2?n 時(shí)， ? ?? ?12212 bbaaD ??? 當(dāng) 3?n 時(shí)， 0?nD 綜上可得 ? ?? ?????????????3,02,1,122111nnbbaanbaD n 注 （ 1）由該例可見(jiàn)，對(duì)一般的 n階列式，其值可能隨價(jià)數(shù) n 的改變而變化，應(yīng)注意討論。xaaaxaaaxD n???????? （ 2）mxxxxmxxxxmxDnnnn???????????212121 分析 這兩個(gè)行列式中，每行元素的和均相等，因此可把第 n,2? 列都加到第 1 列上去。 計(jì)算 n 階對(duì)角行列式 baabbaabbaabbaD n?????111??? 解 ? ? ???11 nn DbarD 展開(kāi)按 ? ? 2111101?? ???????nn abDDbabaabbaabbaabbaabab???（即為遞推公式） 因?yàn)?2221 , babaDbaD ????? 由以上關(guān)系或得 ? ? ? ? nnnnnn baDDbaDDbaDD ??????? ???? 122211 ? 于是 ??????? ??? ?nnnnnn babDabaDD 1221 ?????????? ????? nnnnnnnn babbaababbaDa 1112211 ?? ? ????????????? bababa baan nnn,111 注（ 1）例題還可以按如下方法求解： 由遞推公式可得 ??? ?? ???? nnnnnnabDD baDD 11，由該方程組解得 nnnnnnn babbaaba baD ???????? ???? 1111 ?。原命題得證。 設(shè)???????????200020102A ,求 mA （ m 為自然數(shù)。 （ 2）在矩陣等式兩邊乘一個(gè)矩陣時(shí)，必須指明并嚴(yán)格區(qū)分是左乘還是右乘。 （ a）－ 7 （ b）－ 241 (c)245 (d)56 解 因?yàn)? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ????????????? 3,2,2,2,3,3d e t 321321321BA ? ? ?????? ????????????? ,3,83,8 321321321 ? ? ? ? 56928d e t3d e t8 ?????? BA 故應(yīng)選（ D）。0211111010111101BA 解 （ 1）用定義法求解 因?yàn)? 0120012000110110113101110011011010211111010111101d e t24231412 ????????????? rr rrrr rrA 而 3 階子式 2110011101??D 所以 3?rankA （ 2）用初等變換求秩。運(yùn)算中充分利用運(yùn)算規(guī)則，可簡(jiǎn)化運(yùn)算（如本例中利用了結(jié)合律），另外，在矩陣運(yùn)算中，對(duì)運(yùn)算結(jié)果是多少行多少列的矩陣，心中應(yīng)非常清楚，如該例中 T?? 是數(shù)。 證人 設(shè) A是秩為 r 的 nm? 矩陣，則 A與其標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)，于是存在 m 階可逆矩陣和 n階可逆矩陣 Q，使得 ??????? OO OEPAQ r 其中 rE 為 r 階單位矩陣，若記 iiE 為第 i 行第 i 列元素為 1，其余元素為零的 nm? 矩陣，顯然有 rrr EEEOO OE ?????????? ?2211于是 ???????? ???????? ri iiirir BQEPQOO OEPA1d e t11111 其中 11 ??? QEPB iii ，而由 ? ? ? ? 1)( 11 ??? ?? iiiii Er a n kQEPr a n kBr a n k 和 ? ? )()(1 iiii Br a n kQPBr a n kEr a n k ??? 知 ? ? riBr a n k i ,2,1,1 ??? 命題得證。 注 討論 n 個(gè) n 維向量的線性相關(guān)性時(shí)，可將其排成 n 階方陣，通過(guò)計(jì)算該方陣的行列式，即可判別向量組的線性相關(guān)性，這是用矩陣子式判別的特殊情形。 （ 2） 4? 不能由 321 , ??? 線性表示，用反證法：若 4? 可由 1? ， 32,?? 線性表示，即存在數(shù)組 321 , ??? 使 332214 ??????? ??? ，根據(jù)（ 1）的結(jié)論，可設(shè) 32111 ??? ll ?? ，則有 ? ? ? ? ? ? 332122113322322114 ?????????????? ???????? llll 即 4? 可由 32,?? 線性表示，從而 432 , ??? 線性相關(guān)，這與題設(shè)予盾，故 4? 不能由321 , ??? 線性表示。 2求下列向量組的 秩和最大無(wú)關(guān)組。 2設(shè)矩陣 ? ?RkkkA ?????????????3021101231 求 （ 1） A的零空間 ??AN 的基與維數(shù)； （ 2） A的列向量 4321 , ???? 生成的向量空間的基與維數(shù)。 當(dāng) 2?k 時(shí)， 3?rankA ，可求得 0?Ax 的基礎(chǔ)解系，也就是 ??AN 的基為 ? ?T1,1,0,3??? ，從而它的維數(shù)為 1。 解法 1 設(shè) 44332211 ????? kkkk ???? ，由向量相等的定義得 ???????????????????????11214321432143214321kkkkkkkkkkkkkkkk 解此線性方程組，得惟一解 ,41,41,45321 ???? kkk 414 ??k ，故 ? 在給定基下的坐標(biāo)為 ?????? ?? 41,41,41,45 解法 2 向量 ? 的 4 個(gè)分量可以理解為 ? 在 4R 的基 ? ? ? ? ? ? ? ?1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1 4321 ???? eeee 下的坐標(biāo)，容易求出由基4321 , eeee 到基 4321 , ???? 的過(guò)渡矩陣 ???????????????????1111111111111111C 設(shè) ? 在基 4321 , ???? 下的坐標(biāo)為 ? ?4321 , yyyy 則由坐標(biāo)變換公式求得 ??????????????????????????????????????????????????????4/14/14/14/5112141