【正文】 知，得Δ SAB、Δ SBC都是正三角形 .∴ BC＝ AB＝ a,SA＝ SC＝ a,又 SO⊥ AC， BO⊥ AC，∴∠ SOB就是二面角 S— AC— B的平面角 .又∵ SA＝ AB＝ a,SC＝ BC＝ a,AC＝ AC,∴Δ ACS≌Δ ACB. ∴ SO＝ BO＝ 22 SOB中，∵ SB＝ a,∴∠ SOB＝ 90176。． 圖 944 解析：∵ AD是等腰△ ABC底邊 BC上的高線，∴ AD⊥ BD， AD⊥ DC，∴ ∠ BDC是二面角 BADC的平面角，∵ 平面 ABD⊥平面 ACD，∴ ∠ BDC=90176。 C． 45176。 設(shè)正方體棱長為 1，則AB AC1 12 3? ?， ， BC?1，所以tg BA C? ?1 22，而??O BAC1，故 tg BOC? ????2 221 222 22( )，即cos2 211 19? ? ? ? ?BOC tg BOC， sin sin2 89 23 2? ? ? ? ?BOC BOC 32 ABCDABCD?111 1中，BC CD DD? ? ?22 142 51， ， ，則CBD1 1 1和所成角的大小為 ______________。 的對角線 EF39。由異面直線所成的角的 定義可知，過 P點與 a′ ,b′成 30176。 ∴ AC與 BD所成的角為 90176。 證明二：由（ I）知， 1ACBD 面? ， CABD 1?? ， 當(dāng) 11 ?CCCD 時，平行六面體的六個面是全等的菱形 .同 CABD 1? 的證法可得 CABC 11 ? ， 又 1BCBD? ，所以 BDCCA 11 面? 。 B1D1＝ B1N 解析：（ 1）證：首先易證 AC? DQ，再證 EO? DQ（ O 為 AC 與BD 的交點）在矩形 BDD1B1中，可證 ? EDO與 ? BDQ 都是直角三A B F E C D P N M P A B C D A1 B1 C1 D1 Q E O N 20 角形，由此易證 EO? DQ，故 DQ? 面 EAC 得證； （ 2）若 BP 與面 EAC 平行，則可得 BP//EO，在三角形 BPD 中， O 是 BD 中點，則 E也應(yīng)是PD中點，但 PD=21 DD1=a，而 ED=DO=21 BD= 221 a，故 E不是 PD中點，因此 BP 與面 EAC不平行； （ 3）易知， BP? AC，要使 AM? BP，則 M 一定在與 BP 垂直的平面上，取 BB1中點 N，易證 BP? 面 NAC，故 M 應(yīng)在線段 NC 上。點 M 在 AC 上移動，點 N 在 BF 上移動，若 CM=x ,BN=y, ).2,0( ?? yx （ 1）求 MN 的長 (用 x,y 表示 )；（ 2）求 MN 長的最小值，該最小值是否是異面直線 AC， BF 之間的距離。 (2)求證 :MN? AB。又 46?? BGAG ，所以由余弦定理有 31464621)46()46(c o s 22 ???????? 。 ，正方形 ABCD、 ABEF 的邊長都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。d=VPBEF= , ∴ d=1 d= 即點 B到平面 PEF的距離為 。 由 ABCD 邊 長為 2， ∴AC=2 ， GO= ， GC= ， ∵PC⊥面 ABCD， ∴PC⊥AC， ∴△OHG∽△PCG， ∴ , 由 PC=2， PG= ∴OH= = 即點 B 到平面 PEF 的距離為 。 解析： 由 BD∥EF可證 DB∥平面 PEF，則 點 B到平面 PEF 的距離轉(zhuǎn)化為直線與平面 PEF 的距離。 設(shè)平面 QEM 與 PB交于 F，平面 QEH 與 PA 交于 G，平面 MQH 與 PC 交于 N，連接 EF、MF、 GH、 GQ、 NH、 NM，可證明 QMNHEFPG 是長方體。 238. 三棱錐 P— ABC 的三條側(cè)棱 PA、 PB、 PC兩兩垂直，底面 ABC 上一點 Q 到側(cè)面 PAB、側(cè)面 PBC、側(cè)面 PAC 的距離依次為 2， 3， 6。D39。 A B D C E F H 圖 2－ 35 P A C B E O 圖 2－ 36 C P A D B B C D A 14 證明：∵ PA⊥ PB， PB⊥ PC， ∴ PA⊥平面 PBC， BC? 平面 PBC ∴ BC⊥ PA ∵ PH⊥平面 ABC， BC? 平面 ABC ∴ BC⊥ PH ∴ BC⊥平面 PAH， AH? 平面 PAH ∴ AH⊥ BC，同理 BH⊥ AC， CH⊥ AB， 因此 H 是△ ABC 的垂心。 8 解析： Rt△ PAB、 Rt△ PAC、 Rt△ ABC、 Rt△ ADP。在這里，定義可以雙向使用，即直線 a垂直于平面α內(nèi)的任何直線，則 a⊥α，反之，若 a⊥α，則 a垂直于平面α內(nèi)的任何直線。 2－ 35： 在空間四邊形 ABCD中，已知 BC＝ AC， AD＝ BD，引 BE⊥ CD， E為垂足， 13 作 AH⊥ BE于 H，求證： AH⊥平面 BCD。 解析：易證 BD//平面 AHF， BG//平面 AHF， ∴平面 BDG//平面 AHF。 同理： MG∥平面 ACD， MG∩ MN＝ M， ∴平面 MNG∥平面 ACD （ 2）分析：因為△ MNG所在的平面與△ ACD所在的平面相互平行，因此，求兩三角形的面積之比，實則求這兩個三角形的對應(yīng)邊之比。 點評 :證面面平行，通常轉(zhuǎn)化為證線面平行，而證線面平行又轉(zhuǎn)化為證線線平行，所以關(guān)鍵是證線線平行。 ∵ b//α， b? 平面 ABN，平面 ABN∩α＝ OQ， ∴ b// OQ，又 O 為 AB 有中點，∴ Q 為 AN的中點。 證 明：（ 1）∵截面 EFGH 是一個矩形， ∴ EF//GH，又 GH? 平面 BCD ∴ EF//平面 BCD，而 EF? 平面 ACD，面 ACD∩面 BCD＝ CD ∴ EF// CD，∴ CD//平面 EFGH 解：（ 2）則（ 1）知 EF// CD，同理 AB//FG， 由異面直線所成角的定義知∠ EFG 即為所求的角。 已知：如圖： a//α ,a//β ,α∩β＝ b，求證： a//b 解析： 本題可利用線面平行的性質(zhì)定理來證明線線平行。 解析： 23 a 221. 如圖 2－ 63，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ。 點評 : 此題是線線，線面，面面垂直轉(zhuǎn)化典型題，多解題，對溝通知識和方法，開拓解題思路是有益的。 證法 1:如圖 2－ 57：在α內(nèi)取一點 P，作 PA⊥β于 A， PB⊥γ于 B， 則 PA⊥ a， PB⊥ a，又 PA? α， PB? α， PA∩ PB＝ P，∴ a⊥α。 解析： （ 1）若該點在兩個平面的交線上，則命題是錯誤的， 如圖 2－ 55，正方體 AC1中，平面 AC⊥平面 AD1，平面 AC∩平面AD1＝ AD， 在 AD上取點 A，連結(jié) AB1，則 AB1⊥ AD，即過棱上一點 A的直線AB1 與棱垂直，但 AB1與平面 ABCD不垂直，其錯誤的原因是 AB1沒有保證在平面 ADD1A1內(nèi)，可以看出：線在面內(nèi)這一條件的重要性； （ 2）該命題注意了直線在平面內(nèi)，但不能保證這兩條直線都與棱垂直，如圖 2－ 56，在正方體 AC1中，平面 AD1⊥平面 AC， AD1? 平面 ADD1A1， AB? 平面 ABCD，且 AB⊥ AD1，即 AB與 AD1相互垂直，但 AD1與平面 ABCD不垂直； （ 3）如圖 2－ 56：正方體 AC1中，平面 ADD1A1⊥平面 ABCD， AD1?平面 ADD1A1， AC? 平面 ABCD， AD1與 AC所成的角為 60，即 AD1與 AC不垂直 解：由上面的分析知，命題⑴、⑵、⑶都是假命題。 綜上所述， b 與α必相交。 證明（ 1）：連結(jié) BD，令 BD∩ AC＝ F。 由 AF//BG，知 MCAMNBFNNGAN ?? ，故 MN//CG， MN? 平面 BCE， CG? 平面 BCE，于是MN//平面 BCE。 。 求證：α＋β＋γ＝π 解析：作如圖的輔助線 則∠ AB1C 為 AB1 與 A1D 所成的角∠ AB1C＝α ∵ AB?// A1B1?// C1D1 ∴ BC1//AD1，故∠ D1AC 為 AC 與 BC1所成的角∠ D1AC＝β ∵ AA1?// DD1?// CC1，∴ A1C1//AC ∴∠ D1CA 即為 A1C1與 CD1所成的角∠ D1CA＝γ 在△ ACD1和△ ACB1中， AB1＝ CD1， B1C＝ D1A， AC＝ CA ∴△ ACD1≌△ CAB1，故∠ AB1C＝∠ AD1C，故∠ AD1C＝α 在△ AD1C 中，∠ AD1C＋∠ D1CA＋∠ D1AC＝π 即：α＋β＋γ＝π 210. 如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行。 sin∠ FAC＝ 67 72＝ 84 ∴ ? BDE的面積為 84平方單位 。 37 AC sin∠ FAC＝ 72， ∴ DBES? ＝ 21 BE 解析： 求 ? BDE的面積，看起來似乎與本節(jié)內(nèi)容 無關(guān)，事實上，已知 ? ACF的面積，若 ? BDE與 ? ACF的對應(yīng)邊有聯(lián)系的話，可以利用 ? ACF的面積求出 ? BDE的面積。 1 基礎(chǔ)題題庫三 立體幾何 201. ．已知過球面上 A、 B、 C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且 AB=BC=AC=2，求球的體積。(2)Ｖ＝ 3340 207. 如圖 2－ 33： 線段 PQ分別交兩個平行平面α、β于 A、 B兩點，線段 PD分別交α、β于 C、 D兩點，線段 QF分別交α、β于 F、 E兩點，若 PA＝ 9， AB＝ 12， BQ＝ 12， ? ACF的面積為 72， 求 ? BDE的面積。 AC 21 AF AC 209. 長方體 ABCD－ A1B1C1D1中， AB1與 A1D所成的角為α， AC 與 BC1所成的角為β， A1C1與 CD1 所成的角為γ。 解答 : 由直線 l 雖與平面 α內(nèi)無數(shù)條直線平行，但 l有可能在平面α內(nèi)，知 l不一定平行于α，從而排除 A 直線 a 在平面α外，包括兩種情況： a//α或 a與α相交，故 a與α不一定平行，從而排除 B 直線 a//b ， b? α只能說明 a 和 b 無公共點，但 a 可能在平面α內(nèi)，故 a不一定平行于α，從而排除 C a//b， b? α，那么 a? α或 a//α，故 a可能與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，從而選擇 D 點評 : 判定直線與平面平行時，要注意直線與平面平行的判定定理中的三個條件，缺一不可。 證明 : 連結(jié) AN并延長，交 BE延長張于 G，連結(jié) CG。 （ 2）求 ? ACE 的面積。故 b 不平行α。 解析：通過畫圖逐一計數(shù)，共得 12 種不同路線（從 B 到 C1，就有 3 種不同路線） 經(jīng)過一條邊，一條對角線的情況有 6 種， 1CBA ?? ， 11 CAA ?? ， 1CDA ?? 11 CBA ?? ， 1CCA ?? ， 11 CDA ?? C B A D F E A1 D1 C1 圖 2－ 22 B1 7 經(jīng)過三條邊的情況有 6 種： 11 CBBA ??? ， 1CCBA ??? ， 1CCDA ??? 11 CDDA ??? ， 111 CBAA ??? ， 111 CDAA ??? 217. 判定下列命題的真假 （ 1）兩個平面垂直，過其中一個平面內(nèi)一點作與它們的交線垂直的直線，必垂直于另一個平面； （ 2）兩個平面垂直，分別在這兩個平面內(nèi)且互相垂直的兩直線，一定分別與另一平面垂直； （ 3）兩平面垂直，分別在 這兩個平面內(nèi)的兩直線互相垂直。 解析： 此題需要作出輔助線，可有多種證明方法。 證法 4：如圖 2－ 60， 在β、γ內(nèi)分別取 M、 N分 別作α、β的交線 l和α、γ的交線 m的垂線 c， d，則 c⊥α， d⊥α， c//d， c//a，∴ a⊥α。的二面角，則 A 與 C之間的距離為 ___________。 ∵α⊥γ，∴ c⊥α， 又∵β⊥γ，∴ c⊥β， ∴α∥β 222. 求證：一條直線與兩個相交平面都平行，則這條直線與這兩個相交平面的交線平行。 223. 如圖 2－ 29：四面體 A－ BCD被一平面所截，截面 EFGH是一個矩形， （ 1）求證： CD//平面 EFGH； （ 2）求異面直線 AB、 CD 所成的角。 證明：連結(jié) AN，交平面α于點 Q，連結(jié) PQ， OQ。 解析： 要證明兩個平面平行，由面面平行的判定定理知，須在某一平