【正文】 的直線，與底面內(nèi)的 6條直線有公共點(diǎn)的都是 2條，所以，在 36對中不成異面直線的共有 6 2＝ 12對 .所以，六棱錐棱所在的 12條直線中，異面直線共有 3612＝ 24對 . 250. 分別和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是 ( ) 解析：本題考查兩條直線的位置關(guān)系，異面直線的概念，以及空間想象能力 . 解法一：設(shè)兩條異面直線分別為 l1， l2，則與它們分別相交的兩條直線有可能相交，如圖 1，也可能異面，如圖 2，它們不可能平行，這是由于：假設(shè)這兩條直線平行，則它們確定一個平面α，兩條平行線與兩條異面直線 l1與 l2的四個交點(diǎn)均在α內(nèi)，則兩異面直線 l1與 l2也在α內(nèi)，這是不可能的 .∴應(yīng)選 D. 解法二：利用排除法，容易發(fā)現(xiàn)，分別和兩條異面直線都相交的兩條直線可以是相交的位置關(guān)系，由于這點(diǎn)可以排除選擇選 A、 B、 D. 251. 已知兩平面α，β相交于直線 a，直線 b在β內(nèi)與直線 a相交于 A點(diǎn)，直線 c在平面α內(nèi)與直線 a平行，請用反證法論證 b,c為異面直線 . 解析：這題規(guī)定用反證法，提出與結(jié)論相反的假定后，要注意分可能的幾種情況討論 . 24 證：用反證法 . 假設(shè) b,c共面，則 b∥ c 或 b,c相交 . (1)若 b∥ c,∵ c∥ a, ∴ a∥ b這與 b∩ a＝ A的已知條件矛盾； (2)若 b∩ c＝ P,∵ b? β，∴ P∈β . 又∵ c? α，∴ P∈α . ∴ P∈α∩β而α∩β＝ a. ∴ P∈ a，這樣 c,a有了公共點(diǎn) P，這與 a∥ c的已知條件矛盾 . 綜上所述，假設(shè)不成立，所以 b、 c為異面直線 . 說明 本題如不指明用反證法，也可以考慮用平面直線的判定定理來證明 . 252. 如圖，在棱長為 a的正方體 ABCD— A1B1C1D1中，異面直線 AA1和 1BD 的中點(diǎn)分別是 E、F. (1)證明 EF是 AA1與 BD1的公垂線段； (2)求異面直線 AA1和 BD1間的距離 . 解析： (1)連接 ED EB， 則顯然 ED1＝ EB＝ 25 a 又 F 為 BD1之中點(diǎn) . ∴ EF⊥ BD1； 連接 FA1， FA. ∵ F 為正方體的中心， ∴ FA＝ FA1，又 E為 AA1之中點(diǎn)， 25 ∴ EF⊥ A1A. 故 EF為 AA1與 BD1的公垂線段 . (2)在 RtΔ EFD1中 EF＝ 2121 FDED ? ＝ aaa224345 22 ??. 故 AA1到 BD1間的距離是 a22 . 評析：今后學(xué)習(xí)了線面的位置關(guān)系之后，可以利用“轉(zhuǎn)化”的思想求 距離 . 253. 如圖所示，正三棱錐 S— ABC的側(cè)棱與底面的邊長相等，如果 E、 F分別為 SC、 AB的中點(diǎn)，求異面直線 EF與 SA所成的角 . 解析：計(jì)算 EF、 SA所成的角，可把 SA平移，使其角的頂點(diǎn)在 EF上 .為此取 SB之中點(diǎn) G，連 GE、 GF、 BE、 AE，由三角形中位線定理： GE＝ 21 BC， GF＝ 21 SA，且 GF∥ SA，所以∠ GFE就是 EF與 SA所成的角 .若設(shè)此正三棱錐棱長為 a，那么 GF＝ GE＝ 21 a,EA＝ EB＝ 23 a,EF＝22 )21( ABEA ? ＝ 22 a，因?yàn)棣?EGF為等腰直角三角形 .∠ EFG＝ 45176。 . 說明 異面直線所成角的求法： 利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或同時平移到某個特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上，通過證明所作的角就是所求的角或者補(bǔ)角，解三角形，可求 . 254. 在空間四邊形 ABCD中， M、 N、 P、 Q分別是四邊上的點(diǎn)， 且滿足 MBAM ＝ NBCN ＝QDAQ 26 ＝ PDCP ＝ k. (1)求證： M、 N、 P、 Q共面 . (2)當(dāng)對角線 AC＝ a,BD＝ b，且 MNPQ是正方形時，求 AC、 BD所成的角及 k的值 (用 a,b表示 ) 解析： (1)∵ MBAM ＝QDAQ＝ k ∴ MQ∥ BD，且 MBAMAM? ＝ 1?kk ∴ BDMQ ＝ ABAM ＝ 1?kk ∴ MQ＝ 1?kk BD 又 NBCN ＝ PDCP ＝ k ∴ PN∥ BD，且 NBCNCN? ＝ 1?kk ∴ BDNP ＝ CBCN ＝ 1?kk 從而 NP＝ 1?kk BD ∴ MQ∥ NP， MQ， NP共面，從而 M、 N、 P、 Q四點(diǎn)共面 . (2)∵ MABM ＝ k1 ， NCBN ＝ k1 ∴ MABM ＝ NCBN ＝ k1 , MABMBM? ＝ 11?k ∴ MN∥ AC，又 NP∥ BD. ∴ MN與 NP所成的角等于 AC與 BD所成的角 . ∵ MNPQ是正方形，∴ ∠ MNP＝ 90176。 27 又 AC＝ a， BD＝ b， ACMN ＝ BABM ＝ 11?k ∴ MN＝ 11?k a 又 MQ＝ 11?k b,且 MQ＝ MN， 1?kk b＝ 11?k a，即 k＝ ba . 說明：公理 4是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點(diǎn) . ：直線 a和直線 b是異面直線，直線 c∥ a，直線 b與 c不相交，求證： b、 c是異面直線 . 證：因?yàn)?b,c不相交， b、 c的位置關(guān)系有 b∥ c 或 b、 c異面兩種可能 . 假設(shè) b∥ c,∵ c∥ a,∴ a∥ b，這與已知 a,b是異面直線矛盾 . 所以 b 與 c不能平行，又 b、 c不相交 所以 b,c是異面直線 . AB、 CD同時相交的兩條直線 AC、 BD 一定是異面直線，為什么 ? 證明：假設(shè) AC、 BD不異面，則它們都在某個平面α內(nèi)，這時 A、 B、 C、 D四點(diǎn)都在α上，由公理 1知 A、 B、 C、 D? α，這與已知 AB與 CD異面矛盾，所以 AC、 BD一定是異面直線 . 257. 如圖， ABCD— A1B1C1D1是正方體 ， B1E1＝ D1F1＝ 411BA ，則 BE1與 DF1所成角的余弦值是( ) C. 178 D. 23 28 解析：過 A點(diǎn)在平面 ABB1A1內(nèi)作 AF，使 A1F＝ D1F1，則 ADF1F是平行四邊形，∴ FA∥ DF1，再過 E1在平面 ABB1A1內(nèi)作 E1E∥ FA，則∠ BE1E即是 BE1與 DF1所成的角，由已知 BE1＝ DF1＝ 411BA ，ABCD— A1B1C1D1是正方體，∴ E1E＝ 417 A1B1， 又 DF1＝ AF＝ E1E， DF1＝ BE1. ∴ E1E＝ 417 A1B1， EB＝ 21 A1B1 在Δ BE1E中， cos∠ BE1E＝11221212 BEEE BEBEEE ?? ??＝ 1715 . ∴ 應(yīng)選 A. 258. 在棱長為 1的正方體 ABCD— A1B1C1D1中， M和 N分別為 A1B1和 BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與 CN所成角的余弦值是 ( ) A. 23 B. 1010 解析：由圖所示， AM與 CN是異面直線，過 N作平行于 AM的平行線 NP，交 AB于 P，由定義可知∠ PNC就是 AM與 CN所成的角 .因Δ PBC，Δ PBN，Δ CBN皆為直角三角形，且 BP＝ 41 ， 29 BN＝ 21 ， BC＝ 1，故 PN2＝ (41 )2+(21 )2＝ 165 ， CN2＝ (21 )2+12＝ 45 ， PC2＝ (41 )2+12＝ 1617 ，在Δ PCN中 cos∠ PNC＝ CNPN PCCNPN ? ??2 222 ，所以 cos∠ PNC＝ 52 ，因此應(yīng)選 D. 259. 已知異面直線 a與 b所成的角為 50176。的直線有且僅有 ( ) 解析： 過 P點(diǎn)分別作直線 a′∥ a,b′∥ b,則 a′與 b′的夾角為 50176。角的條數(shù)，就是所求的條數(shù) . 畫圖可知，過 P點(diǎn)與 a′、 b′成 30176。39。 ，用勾股定理得 EF39。 23 2 解析：易知ADBC1 1// ，故ACBD1 1與兩條體對角線相交，設(shè)交點(diǎn)為 O（如圖），則? ?B AOB或即為所成的角。 60? 解析：如圖所示，將BD1 1平移到AF1，則在?AFC1中 A F A C CFFA CFA C1 112 2 212 3 72 3 72 2 31260? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?； ； ，故co s ( ) 268. 根據(jù)敘述作圖，指出二面角 ??l??的平面角，并證明． （ 1）已知 ??∩ ??=l， A∈ l（圖 939）．在 ??內(nèi)作 PA⊥ l 于 A，在 ??內(nèi)作 QA⊥ l 于 A． 33 圖 939 （ 2）已知 ??∩ ??=l， A∈ ??， lA? （圖 940）．作 AP⊥ ??于 P，在 ??內(nèi)作 AQ⊥ l于 Q，連結(jié) PQ． 圖 940 （ 3）已知 ??∩ ??=l， ??A ， ??A ?（圖 941）．作 AP⊥ ??于 P， AQ⊥ ??于 Q， l∩平面 PAQ=H，連結(jié) PH、 QH． 解析： （ 1） PA ??， QA ??， PA⊥ l， QA⊥ l，∴ ∠ PAQ 為二面角的平面角． （ 2）∵ AP⊥ ??，∴ PQ為 AQ在平面 ??內(nèi)的射影，∵ AQ⊥ l，根據(jù)三垂線定理，有 PQ⊥ l，∴ ∠ AQP 為二面角的平面角（如圖答 935）． （ 3）∵ AP⊥ ??，∴ AP⊥ l，∵ AQ⊥ ??，∴ AQ⊥ l，∴ l⊥平面 PAQ，∵ PH B． 60176。 D． 30176。． 271. 下列命題中正確的是（ ）． A．平面 ??和 ??分別過兩條互相垂直的直線，則 ??⊥ ?? B．若平面 ??內(nèi)的一條直線垂直于平面 ??內(nèi)的兩條平行直線，則 ??⊥ ?? C．若平面 ??內(nèi)的一條直線垂直于平面 ??內(nèi)的兩條相交直線，則 ??⊥ ?? D．若平面 ??內(nèi)的一條直線垂直于平面 ??內(nèi)的無數(shù)條直線，則 ??⊥ ?? 解析： C． ??內(nèi)的直線 l 垂直 ??內(nèi)的相交直線 a、 b，則 l⊥ ??．∵ l ??，∴ ??⊥ ??． 35 272. 設(shè)兩個平面互相垂直，則（ ）． A．一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直于另一個平面 B．過交線上一點(diǎn)垂直于一個平面的直線必在另一個平面上 C．過交線上一點(diǎn)垂直 于交線的直線，必垂直于另一個平面 D．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線互相垂直 解析： B．如圖答 938，在正方體 1111 DCBAABCD ? 中，平面 DDAA11 ⊥平面 ABCD，其中DA1 平面 DDAA11 ，但 DA1 不垂直平面 ABCD，故 A不正確．點(diǎn) D在交線 AD上， ADDC ?1 ，但 DC1 不垂直平面 ABCD，故 C不正確． 1AD 平面 DDAA11 ， AC 平面 ABCD，但 1AD 與AC不垂直，故 D不正確． 273. 如圖 943，∠ AOB 是二面角 ??CD??的平面角， AE 是△ AOB的 OB 邊上的高，回答下列問題，并說明理由： （ 1） CD與平面 AOB 垂直嗎 ? （ 2）平面 AOB與 ??、 ??垂直嗎 ? （ 3） AE與平面 ??垂直嗎 ? 36 解析： （ 1）∵ ∠ AOB 是二面 角 ??CD??的平面角，∴ OB⊥ CD， OA⊥ CD，∴ CD⊥平面 AOB． （ 2）∵ CD⊥平面 AOB， CD ??，∴ ??⊥平面 AOB．同理 ??⊥平面 AOB． （ 3）∵ CD⊥平面 AOB，∵ AE? 平面 AOB，∴ CO⊥ AE，又∵ AE⊥ OB， CD∩ OB=O，∴ AE⊥平面 BCD，即 AE⊥ ??． 274. 如圖 944，以等腰直角三角形的斜邊 BC上的高 AD為折痕，使△ ABD和△ ACD折成相垂直的兩個面．求證： BD⊥ CD，∠ BAC=60176。即 BD⊥ DC．連結(jié) BC，設(shè) AD=a，則 BD=DC=AD=a， aAB 2? ， aAC 2? ， aBC 2? ，∴ △ ABC是正三角形，∴ ∠ BAC=60176。∠ ASC＝ 90176。 . 即平面 SAC⊥平面 ABC. 另證：過 S作 SO⊥平面 ABC，垂足是 O.∵ SA＝ SB＝ SC，∴ S在平面內(nèi)的射影是Δ ABC的外心，同前面的證明，可知Δ ABC是直角三角形，∴ O在斜邊 AC上 .又∵平面 SAC經(jīng)過 SO，∴平面SAC⊥平面 ABC 說明 證明“面面垂直”的常用方法是根據(jù)定義證明平面角是 9