【正文】 nN? .將集合 { , * } { , * }nnx x a n N x x b n N? ? ? ?中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列 1 2 3, , , , ,nc c c c （ 1）寫出 1 2 3 4, , ,c c c c ； （ 2）求證：在數(shù)列 {}nc 中，但不在數(shù)列 {}nb 中的項恰為 2 4 2, , , ,na a a ； （ 3）求數(shù)列 {}nc 的通項公式 . 【思路點撥】本題考查數(shù)列有關(guān)知識，利用兩個等差數(shù)列，組合成一個新的數(shù)列，進(jìn)而考察新數(shù)列性質(zhì)，以及求其通項公式，緊緊圍繞新數(shù)列的構(gòu)成特點是解決本題的關(guān)鍵。 22， 解得1 54b?. 所以 ??nb 是以 54 為首項， 2 為公比的等比數(shù)列，其 通項公式為： 135 2 5 24 nnnb ??? ? ? ?. (Ⅱ )數(shù)列 ??nb 的前 n 項各 ? ? 25 12 54S 5 21 2 4n nn ??? ? ? ?? ，即 25S 5 24 nn ?? ? ?. 所以1 55S 42??， 11 25S524 25 52S4nnnn???? ?????. 因此數(shù)列 5S 4n???????是以 52 為首項，公比 為 2 的等比數(shù)列 . 3． （ 2020a 當(dāng) 0r? ， 1r?? 時，由已知 0a? ，所以 *0( )na n N??， 于是由 21( 1)nna r a???? ，可得 21 ( 1)nna ra ?? ??*()nN? ， 12, , , na a a? 成等比數(shù)列， 綜上，數(shù)列 ??na 的通項公式為2, 1,( 1 ) , 2 .n nanar r a n?? ??? ????? ⑵對于任意的 m? N*，且 2m? ， 1ma? ， ma ， 2ma? 成等差數(shù)列 .證明 如下 ： 當(dāng) 0r? 時，由⑴知， , 1,0, ana n???? ?? ∴對于任意的 m? N*， ， 且 2m? ， 1ma? ， ma ， 2ma? 成等差數(shù)列 . 當(dāng) 0r? ， 1r?? 時，∵ 2 1 2k k k ks s a a? ? ?? ? ?， 11k ks s a???? . 若存在 *kN? ，使得使得 12,k k ks s s??成等差數(shù)列，則 122k k ks s s????， ∴ 122 2 2k k k ks a a s??? ? ?，即 212kkaa???? ， 由⑴知， 12, , , na a a 的公比 12r? ?? ，于是對于任意的 m? N*， ， 且 2m? ， 1 2mmaa? ?? ，從而 2 4mmaa? ? ， ∴ 122m m ma a a????，即 12,m m ma a a??成等差數(shù)列 . 綜上，對于任意的 *,mN? 且 2m? 時，有 12,m m ma a a??成等差數(shù)列 . 2.（ 2020 T16)（本小題滿分 13 分，（ I）小問 7 分，（ II）小問 6 分 .） 設(shè) ??na 是公比為正數(shù)的等比數(shù)列 , 4,2 231 ??? aaa . (Ⅰ ) ??na 的通項公式 。Ｔ 17） 設(shè)等比數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ,已知2 6,a? 136 30,aa?? 求 na 和 nS . 【思路點撥】 解決本題的突破口是利用方程的思想建立關(guān)于 a1和公比 q的方程，求出 a1和 q，然后利用等比數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式求解即可 . 【精講精析】 設(shè) ??na 的公比為 q,由題設(shè)得 121166 30aqa a q??? ??? 解得 1 32aq??? ??或 1 23aq??? ??， 當(dāng) 1 3, 2aq??時， 13 2 , 3 (2 1)nnnnaS?? ? ? ? ? 當(dāng) 1 2, 3aq??時， 12 3 , 3 1nnnnaS?? ? ? ?. 4.（ 2020 T18） 設(shè) {}na 是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列， iA 是邊長為1,iiaa? 的矩形的面積（ 1,2,i? ），則 {}nA 為等比數(shù)列的充要條件是（ ） （ A） {}na 是等比數(shù)列 . （ B） 1 3 2 1, , , ,na a a ? 或 2 4 2, , , ,na a a 是等比數(shù)列 . （ C） 1 3 2 1, , , ,na a a ? 和 2 4 2, , , ,na a a 均是等比數(shù)列 . （ D） 1 3 2 1, , , ,na a a ? 和 2 4 2, , , ,na a a 均是等比數(shù)列，且公比相同 . 【思路點撥】 本題考查數(shù)列知識，通過等比數(shù)列的知識把矩形面積引入其中，只要抓住兩個等比數(shù)列的乘積所得數(shù)列依然是等比數(shù)列的結(jié)論就可迎刃而解 . 【精講精析】 答案選 D， n n n 1A a a ?? ，故 2 3 3 3 4 41 2 1 2 3 2a a a a a aa a a a a a? ? ?，只有 1 3 2 1, , , ,na a a ?和 2 4 2, , , ,na a a 同時滿足均是等比數(shù)列，且公比相同，才能保證 {}nA 為等比數(shù)列 . （ 2020 T13） 《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根 9 節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面 4 節(jié)的容積共為 3 升，下面 3節(jié)的容積共 4 升，則第 5 節(jié)的容積為 升 . 【思路點撥】 設(shè)出自上而下各節(jié)的容積構(gòu)成的等差數(shù)列，則該數(shù)列的前 4 項和為 3，后 3 項和為 4，而所求結(jié)果為第 5 項 . 【精講精析】 設(shè)自上而下各節(jié)的容積構(gòu)成的等差數(shù)列為 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , , .a a a a a a a a a 則 1 2 3 4 17 8 9 14 6 3 .3 2 1 4a a a a a da a a a d? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??解得 11322,766ad? ????? ??? 故51 a d? ? ? 【答案】 5. (2020Ｔ 8） 數(shù)列 ??na 的首項為 3， ??nb 為等差數(shù)列且1 ()n n nb a a n N ??? ? ?,若 3 102, 12bb?? ? ,則 8a? （ ） . （ A） 0 （ B） 3 (C) 8 （ D） 11 【思路點撥】 先求出數(shù)列 ??nb 的 首項和公差，再用累加法求 【精講精析】 選 B. 數(shù)列 ??nb 的公差 1 0 3 1 2 ( 2 =21 0 3 7bbd ? ????? ）， 首項 13 2 2 ? ? ? ? ?則 8 7 7,a a b?? 7 6 6,a a b?? 6 5 5,a a b?? ?? ， 2 1 1,a a b?? 將以上各式相加得， 8 1 7 6 5 1...a a b b b b? ? ? ? ? ?，∵ ??n 為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前 n 項和公式得7 6 5 1 7 ( 7 1 ).. . = 7 ( 6 ) 2 0 .2b b b b ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 810,aa??即 ??故 選 B. （ 2020 （Ⅱ）當(dāng)車流密度 x 為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛 /每小時） ( ) ( )f x x v x?? 可以達(dá)到最大，并求最大值（精確到 1 輛 /每小時） 【思路點撥】 (1)由車流密度不超過 20 輛 /千米時，車流速度為 60 千米 /小時，可得 0 20x?? 時， ( ) 60vx? ；又 20 200x?? 時，車流速度 v 是車流密度 x 的一次函數(shù)，設(shè) ()v x ax b??，利用 200x? 時 0v? 及 20x? 時 60v? 可求出 ,ab，據(jù)此可求 ()vx表達(dá)式 .（ 2） ()fx是關(guān)于 x 的分段函數(shù)，求出每段的最大值，再比較可得 ()fx的最大值 . 【精講精析】 （Ⅰ）由題意：當(dāng) 200 ??x 時， ? ? 60?xv ；當(dāng) 20200 ??x 時，設(shè) ? ? baxxv ?? ，顯然 ? ? baxxv ?? 在 ? ?200,20 是減函數(shù)，由已知得 ??? ?? ?? 6020 0200 ba ba ，解得??????????320031ba 故函數(shù) ??xv 的表達(dá)式為 ??xv = ? ???????????.20200,20201,200,60xxx （Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得 ???xf ? ???????????.20200,20201,200,60xxxxx 當(dāng) 200 ??x 時， ??xf 為增函數(shù)，故當(dāng) 20?x 時，其最大值為 12020200 ?? ； 當(dāng) 20200 ??x 時， ? ? ? ? ? ?31 00 0022 00312 00312 ??????? ????? xxxxxf， 當(dāng)且僅當(dāng) xx ??200 ，即 100?x 時，等號成立 ． 所以，當(dāng) 100?x 時， ??xf 在區(qū)間 ? ?200,20 上取得最大值310000． 綜上，當(dāng) 100?x 時， ??xf 在區(qū)間 ? ?200,0 上取得最大值 3333310000 ? ， 即當(dāng)車流密度為 100 輛 /千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為 3333 輛 /小時 ． 考點 8 等差數(shù)列及其性質(zhì) 一、選擇題 1.（ 2020湖北高考文科四川高考理科重慶高考文科 T14） 設(shè) ()gx是定義在 R 上，以 1 為周期的函數(shù)，若函數(shù) ( ) ( )f x x g x?? 在區(qū)間 [0,1] 上的值域為 [ 2,5]? ，則 ()fx在區(qū)間 [0,3] 上的值域為 【思路點撥】 本題綜合考查了函數(shù)的周期性，函數(shù)的定義域和值域等相關(guān)性質(zhì)，利用已知函數(shù) ()gx是以 1 為周期的函數(shù)的特點，逐漸過渡求解。上海高考理科 6.（ 2020上海高考理科全國高考理科湖北高考理科四川高考理科 【 精 講 精 析 】 1 12( ) ( 0)xf x xx? ???，由已知函數(shù) 1()2y f x x???， 整 理 得( 2 ) 1 , 2 1 , 1 2 ,y x y x y y x y? ? ? ? ? ?即 兩邊同除以 ( 0)yy? ，得 1+2yx y? ，即1 12( ) ( 0)xf x xx? ???. 4.（ 2020全國高考文科重慶高考理科四川高考理科上海高考文科四川高考文科 （ A） ??12， （ B） ? ?23， （ C） ? ?2， 4 （ D） ? ?1， 4 【思路點撥】 解決本題的關(guān)鍵是掌握集合交并補的計算方法，易求{2,3}MN? , 進(jìn)而求出其補集為 ? ?1， 4 . 【精講精析】 選 D. { 2 , 3 } , ( ) { 1 , 4 }UM N M N? ? ?240。Ｔ 1） 已知? ? ? ? ? ?1,2,3,4,5,6,7,8, 1,3,5,7, 2,4,5,U A B? ?則? ?AB??240。 T2） 已知 ? ?2 1| l o g , 1 , | , 2U y y x x P y y xx??? ? ? ? ? ?????,則UP=240。湖北高考理科湖北高考文科Ｔ 1） 設(shè)集合 ? ?1,2,3,4U ? , ? ?1,2,3 ,M? ? ?2,3,4 ,N? 則U =（ MN）240。 T2） 若全集 UR? ，集合 { 1} { | 0}A x x x x? ? ?，則 UCA? 【思路點撥】 本題考查集合的并集和補集運算知識，此類題的易錯點是臨界點的取舍 . 【精講精析】 { 0 1}AUC x x? ? ?，全集為 UR? ，故集合 A 的補集應(yīng)該把臨界點 0和 1 去掉 . 5.（ 2020 T2)設(shè) ? ?02, 2 ???? xxxMRU ,則 ?MCU ( ) (A)? ?2,0 (B)? ?2,0 (C)? ? ? ?????? ,20, (D)? ? ? ?????? ,20, 【思路點撥】 先求出集合 M ,再求其補集 . 【精講精析】 選 ? ? ? ?02022 ?????? xxxxxxM 或,所以 ? ?2,0?MCU . 二、填空 題 7.（ 2020 T9） 若實數(shù) a,b 滿足 0, 0,ab??且 0ab? ，則稱 a 與b 互補，記 22( , )a b a b a b? ? ? ? ?，那么 ? ?,0ab? ? 是 a 與 b 互補的 【思路點撥】 尋求 ? ?,0ab? ? 和 a 與 b 互補之間的推出關(guān)系 . 【精講精析】 選 C. 當(dāng) ? ?,0ab? ? 時，即 22a b a b? ? ?∴ 2 2 2()a b a b? ? ? ，即 ab=0 ，又 a+b 0? ，故 a=0,b 0? 或 b=0,a 0?