【正文】 ?③ 由圖像可知直線 DO 方程為 11yyxx? ???????④ 聯(lián)立③④可得點(diǎn) G坐標(biāo) 110 1 0 1 0 1 0 1( , )xyx x y y x x y y? ? ? ??? 可得直線 AG方程 20 1 0 0 1 1 0 1 1 0220 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1x x y y y y x y x yyxx x x y y x x x x y y x??? ? ? ?? ? ???? ? ? ????????⑤ 聯(lián)立①⑤可得交點(diǎn) H 的橫坐標(biāo) 220 1 0 0 1 1 0 1 0 1 12 2 2 2 2 20 1 0 1 0 1 0 121H x x x y y x y y x y xx x x y y x x y y? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 設(shè)點(diǎn) B、 C 的橫坐標(biāo)為 Bx 、 Cx ， B、 C的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 x中 ， 聯(lián)立①②可得關(guān)于 x 的一元二次方程： 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 12 2 2 2 2 20 1 0 1 0 1 0( 2 ) 2 ( )2 1 0x x y y x x y y y x x x y y x y x y y x x x xx y y y y y x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?由韋達(dá)定 理可得 220 1 0 0 1 1 0 1 0 1 12 2 2 2 2 20 1 0 1 0 1 0 12 ( )21BC x x x y y x y y x y xxx x x y y x x y y? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 即 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 12 2 2 2 2 20 1 0 1 0 1 0 12 2 1BCx x x x x y y x y y x y xx x x y y x x y y? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?中 點(diǎn) H與 B、 C中點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，又都在切線方程①上，它們的縱坐標(biāo)也相等，即兩點(diǎn)重合為一點(diǎn)，所以 H 為線段 BC 的中點(diǎn)，所以 | | | |BH CH? . 在有心圓錐曲線 221xy????（ 0 , 0? ? ? ??? 或 、 異 號(hào)）中， 13 當(dāng) 0 , 0? ? ? ?? ? ?且 時(shí)，方程表示圓； 當(dāng) 0 , 0? ? ? ?? ? ?且 時(shí)，方程表示橢圓； 當(dāng) ? 、 ? 異號(hào)時(shí)，方程表示雙曲線 . 定理 1對(duì)圓、橢圓、雙曲線三種情況做了統(tǒng)一的證明 . 定理 2： 如圖 3，拋物線 2 2 ( 0)y px p??是△ ABC 的內(nèi)切拋物線，分別與 BC、 AB、 AC 相切于點(diǎn) D、 E、 F，過點(diǎn) D 作 x 軸的平行線與 EF 交于點(diǎn) G，直線 AG 交 BC于點(diǎn) H，則有 | | | |BH CH? . 證明： 設(shè)點(diǎn) A坐標(biāo)為 00( , )xy ，點(diǎn) D 坐標(biāo)為 11( , )xy ， 則有 2112y px? ，過點(diǎn) D 的 切 線 方 程 為 ： 11()y y p x x????? ① 由引理 2可知過點(diǎn) A的兩切線方程為 2 2 20 0 0 0[ ( ) ] ( 2 ) ( 2 )y y p x x y px y px? ? ? ? ???② 切點(diǎn)弦 EF 的方程為 00()y y p x x?????③ 聯(lián)立 100()yyy y p x x??? ??? 可求得點(diǎn) G 坐標(biāo)為： 0101( , )yy xyp ?， 進(jìn)而可得直線 AG方程為： 20 1 0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 1()22p y y p x y p x y y yyxp x y y p x y y? ? ????????④ 聯(lián)立①④可得點(diǎn) H的橫坐標(biāo)： 2 2 2 2 2 2 2 21 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1( 2 2 ) [ 4 2 ( ) 2 ] [ ( ) 2 2 ] 0p y p x y y x p x x p x y y x y y x y y y x p x y x x y y p x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 20 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1220 0 1 12 2 2 20 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1220 1 0 12222 .2 2 2Hpx y y px y y y p x x px y yxp x py y pypx y y px y y y p x x px y yp x p x py y? ? ? ????? ? ? ???? 設(shè)點(diǎn) B、 C 的橫坐標(biāo)為 Bx 、 Cx ， B、 C的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 x中 ， 聯(lián)立①②可得關(guān)于 x 的一元二次方程： 由韋達(dá)定理可得 2 2 2 20 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1220 0 1 12 ( 2 )22BC p x y y p x y p x y y y y p x xxx p x p y y p y? ? ? ??? ?? 即 2 2 2 20 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1220 0 1 1 22 2 2BCx x p x y y p x y p x y y y y p x xx p x p y y p y? ? ? ? ??? ??中 點(diǎn) H與 B、 C中點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，又都在切線方程①上，則它們的縱坐標(biāo)也相等，這兩點(diǎn)是同一點(diǎn)，所以 H 為線段 BC 的中點(diǎn)，故 | | | |BH CH? . 定理 1和定理 2是證明這一類與三角形內(nèi)切圓和旁切圓問題的方法 14 參考文獻(xiàn)： [1]鄭崇友 .幾何學(xué)引論（第二版） .北京 .高等教育出版社， 2021 年 [2]俞亞華 .求解圓錐曲線最值問題的基本策略 .寧波大學(xué)學(xué)報(bào)， 2021 年， 02期 [3]張榮昌 .巧用圓錐曲線的定義求最值 .河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)， 2021 年， 03 期 [4]宋貴聰 .圓錐曲線中一類最值問題的解法 .咸寧學(xué)院學(xué)報(bào)， 2021 年， 06 期 [5]王成喜 .圓錐曲線中最值問題的類型與解法 .科技信息， 2021 年， 35期 內(nèi)部資料 ， 請(qǐng)勿外傳！ 9JWKf wvGt YM*Jgamp。 由橢圓的定義 221 62 PFPFaPF ???? 221 66 PFPAPAPFPAPF ???????? 由? ? ? ? 21012 2222 ??????? AFPFPA 知 22 2 ???? PFPA （當(dāng) P 在 2AF 延長(zhǎng)線上的 2P 處時(shí)，取右“ =” ，當(dāng) P 在 2AF的反向延長(zhǎng)線的 1P 處時(shí)，取左“ =”） 即 2PFPA? 的最大值、最小值分別為 2 ， 2? ，于是 PAPF ?1 的最大值 為26? ，最小值為 26? 。設(shè)切線的方程為 tyx ??2 ，代入橢圓方程可得0422 22 ???? ttxx ，令 ? ? 0484 22 ???? tt 得 22??t ，即兩切線的方程為 0222 ??? yx ，它們的距離為524?d，而 5?AB ，故22524521m a x ???S 。 所以， h 的最小值為 1. 小結(jié) ： 利用圓錐曲線的性質(zhì)求最值是一種技巧性較強(qiáng)的特殊方法， 但思路清晰，過程簡(jiǎn)捷，可以避繁就簡(jiǎn)，化難為易。 例 6 已知橢圓 )0(1:22221 ???? babyaxC的右頂點(diǎn)為 )0,1(A ，過 1C 的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為 1. （ 1） 求橢圓 1C 的方程 （ 2） 設(shè)點(diǎn) P在拋物線 )(: 22 RhhxyC ??? 上， 2C 在點(diǎn) P處的切線與 1C 交于點(diǎn) M,N.當(dāng)線段 AP的中點(diǎn)與 MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求 h的最小值。AA 與雙曲線右支的交點(diǎn)，即點(diǎn) M為點(diǎn) ?????? 2,523時(shí)， MFMA 53?取最小值 39。A 。 反思：當(dāng)整體面積不好求時(shí)，可將其劃分為能直接求解的若干個(gè)面積之和。這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉(zhuǎn)拋物面的道理。 圓柱形的容器在同樣容器的要求下，它的表面積最小 也就是容器所用的材料最少，在裝入物品后尤其是液體，對(duì)罐內(nèi)壁各部分的受力大小情況也比較平均，而在高度和寬度（即車的允許高度和車的寬度）都有限制的情況下，其橫截面作成橢圓形就可以達(dá)到既節(jié)省了罐體材料，也保證了容積，由利用了有限的 “空間 ”和保證了罐體的穩(wěn)定性。 標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，參數(shù) 的幾何意義，是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，掌握不同形式方程 的 幾 何 性 質(zhì) （ 如 下 表）： 其中 為 拋 物 線 上 7 定理 1 拋物線的過 焦點(diǎn)的所有弦中，以拋物線的通經(jīng)為最短 。 定理 2 當(dāng) 半實(shí)軸長(zhǎng) =半虛軸長(zhǎng)（ 即 a=b， ）時(shí)，雙曲線稱為等軸雙曲線，漸近線方程為 y=? x， 其標(biāo)準(zhǔn)方程為 x^2y^2=C，其中 C≠0； 離心率 e= 2 拋物線的性質(zhì) 定義 1 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) 和一條直線 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線焦點(diǎn)，直線 叫做拋物線準(zhǔn)線。 6 動(dòng)點(diǎn) M(x， y)與定點(diǎn) F(c， 0)的距離和它到定直線 L: x=ca2的距離的比是常數(shù)， (ac0)時(shí)， M點(diǎn)的軌跡即為雙曲線。 雙曲線的性質(zhì) 定義 1 平面內(nèi) 一動(dòng)點(diǎn) P與兩個(gè)定點(diǎn) F1 ， F2 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線 . 即 ││PF 1 │ │P F2 ││=2a ，標(biāo)準(zhǔn)方程為 12222 ??byax 。我們把定值 e= ac (0e1)，叫做橢圓的離心率。 即： │PF 1 │+│P F2 │=2a 。橢圓，雙曲線和拋物線 這三種曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。 本文通過探討圓錐曲線在解析幾何下的分類及其性質(zhì)，重點(diǎn)研究圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用。如果這些行星運(yùn)行速度增大到某種程度，它們就會(huì)沿拋物線或雙曲線運(yùn)行。圓錐曲線一直是幾何學(xué)研究的重要課題之一，在我們的實(shí)際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線 。 1 圓錐曲線的性質(zhì)及推廣運(yùn)用 目 錄 1 引言 .............................................................. 4 2 圓錐曲線的分類，性質(zhì)及應(yīng)用 ........................................ 5 圓錐曲線的分類 .............................................. 5 圓錐曲線的性質(zhì) .............................................. 5 圓錐曲線在生活中的應(yīng)用 ...................................... 8 3圓錐曲線性質(zhì)的推廣應(yīng)用 ............................................ 9 利用圓錐曲線性質(zhì)求解圓錐曲線的最值 .......................... 9 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用 ......................... 11 數(shù)學(xué)問題在圓錐曲線中的推廣 ................................. 12 參考文獻(xiàn)： ......................................................... 14 致 謝 .............................................................. 14 2 圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用 摘要： 本文首先探究圓錐曲線在解析幾何下的分類，總結(jié)了三類非退化圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用，主要利用平面解析幾何的知識(shí)及數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)圓錐曲線的基本性質(zhì)及推廣性質(zhì)進(jìn)行了總結(jié)和證明，并將它在日常生活中的應(yīng)用和在解題中的應(yīng)用做了簡(jiǎn)要說明。 圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標(biāo)系，它們又與二次方程對(duì)應(yīng)，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。 我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌跡上運(yùn)行，太陽系其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。 因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式。因此從上述二次曲線的分類可知， 2I 的符號(hào)判別了曲線的類型，而 03?I 或 03?I 就判別了曲線的非退化或退化的情形。 橢圓的性質(zhì) 定義 1 平面內(nèi)與兩定點(diǎn) F1 、 F2 的距離的和等于常數(shù) 2a(2a| F1 F2 |)的動(dòng)點(diǎn) P的軌跡叫做橢圓。即到定點(diǎn)距離與到定直線的距離的比等于定值 e (0e1)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。 定理 3 設(shè)橢圓 12222 ??byax 與一 過交點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線交于 A， B,兩點(diǎn)，則│ AB│ 稱為通徑， │ AB│ = ab22 。 定義 2 雙曲線的第二定義，準(zhǔn)線方程及離心率。定直線為準(zhǔn)線，方程為 x=? ca2 定理 1 漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，即無限接近但不可以相交，當(dāng)焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)，雙曲線漸近線的方程是 y=?abx；當(dāng)焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)，