【正文】 3） 式中 Q正定（或正半定）厄米特或?qū)崒?duì)稱(chēng)陣 R為正定厄米特或?qū)崒?duì)稱(chēng)陣 圖 31 最優(yōu)控制 LQR控制原理圖 方程右端第二項(xiàng)是考慮到控制能量的損耗而引進(jìn)的，矩陣 Q 和 R 確定了誤差和能量損耗的相對(duì)重要性。因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，使系統(tǒng) 穩(wěn)定。 Uc=ctrb(A,B)。[ 1?nCACAC 的秩等于 n。 （ 2） 狀態(tài)的能觀性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由系統(tǒng)的輸出反應(yīng)出來(lái)。否則，系統(tǒng)就是不完全能控的，或簡(jiǎn)稱(chēng)不能控。能空性和能觀性正是分別分析 u（ t）對(duì)狀態(tài) x（ t）的控制能力以及 y（ t）對(duì)狀態(tài) x（ t）的反應(yīng)能力。 14 實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下表 22 所示： 表 22 直線一級(jí)倒立擺模型相關(guān)參數(shù) 字母 代表的對(duì)象 實(shí)際數(shù)據(jù) M 小車(chē)質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車(chē)摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 I 擺桿慣量 *m*m 把表 22 中的參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。 注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義 如 圖 22 示方向。 本章將應(yīng)用 Newton 法建立直線一級(jí)倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型，利用分析力學(xué)方法中的 Lagrange 方程推導(dǎo)直線二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型。這里面包括輸出信號(hào)的精確檢測(cè)、輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取、數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。 8 第四章本章是介紹利用固高教學(xué)產(chǎn)品 Matlab/Simulink 實(shí)時(shí)控制軟件以及固高科技有限公司生產(chǎn)的直線一級(jí)倒立擺 GLIP2020來(lái)驗(yàn)證第三章設(shè)計(jì)的 LQR控制器是否成功，借助該軟件利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)直線一級(jí)倒立擺的實(shí)物系統(tǒng)的控制，給出實(shí)物系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)和受干擾時(shí)各狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線，以表明設(shè)計(jì)的控制器對(duì)實(shí)物系統(tǒng)的控制是否有效。具體如下： 第一章為緒論，簡(jiǎn)單介紹倒立擺的分類(lèi)、特性、控制目標(biāo)等以及倒立擺系統(tǒng)發(fā)展及研究現(xiàn)狀。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于倒立擺起擺問(wèn)題的控制方法有很多種，主要包括能量控制、擬人控制等。倒立擺的起擺問(wèn)題指的是將擺桿從豎直向下的狀態(tài)變?yōu)樨Q直向上的狀態(tài)的過(guò)程。之后，李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的實(shí)驗(yàn)室對(duì)四級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了研究，再次利用“變論域自適應(yīng)模糊控制理論”成功的 實(shí)現(xiàn)了其實(shí)物的穩(wěn)定控制。 1994 年，張明廉教授在前人研究成果的基礎(chǔ)之上，結(jié)合智能控制與傳統(tǒng)控制的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種新的控制理論，即“擬人智能控制理論”，借助倒立擺系統(tǒng)裝置，采用 單電機(jī)驅(qū)動(dòng)的控制方式，對(duì)三級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，成功的完成了三級(jí)倒立擺的實(shí)物控制。 1993 年， Bouslama 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自主學(xué)習(xí)能力，用簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 來(lái)學(xué)習(xí)模糊控制器的輸入輸出數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制。 Deris 在傳統(tǒng) PID 控制的基礎(chǔ)上，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自主學(xué)習(xí)能力來(lái)整定 PID 控制器參數(shù)。這些智能控制現(xiàn)已越來(lái)越廣泛的被人們應(yīng)用于倒立擺這樣復(fù)雜系統(tǒng)的控制。在 Wiklund 的研究基礎(chǔ)之上，借助環(huán)形一級(jí)倒立擺穩(wěn)定控制的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)環(huán)形二級(jí)倒立擺成進(jìn)行了研究，實(shí)現(xiàn)了對(duì)其穩(wěn)定控制。 八十年代后期，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，自動(dòng)控制理論技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)也得到了迅速的發(fā)展，人們提出了多種控制方法來(lái)解決倒立擺系統(tǒng)中的非線性特征。 在 1980 年， ，在系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近建立了二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，成功的完成了對(duì)二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。從對(duì)倒立擺的研究情況來(lái)看，大部分的研究都是基于倒立擺的穩(wěn)定控制。之后，人們對(duì)倒立擺進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，在最初的一級(jí)直線倒立擺的基礎(chǔ)上擴(kuò)展出很多種類(lèi)的倒立擺設(shè)備從類(lèi)型上分有直線型倒立擺系列、環(huán)形倒立擺系列、平面倒立擺系列和復(fù) 合型倒立擺系列。 這種被控量既有角度，又有位置，且它們之間又有關(guān)聯(lián)，具有非線性、時(shí)變、多變量耦合的性質(zhì)。當(dāng)沒(méi)有作用力時(shí)，擺桿處于垂直的穩(wěn)定的平衡位置 (豎直向下 )。平面倒立擺控制目的是系統(tǒng)受到干擾后，在 XY 平臺(tái)上擺桿能夠豎立穩(wěn)定而不倒，達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。 倒立擺控制目標(biāo) 倒立擺的控制問(wèn)題就是使擺桿盡快地達(dá)到一個(gè)平衡位置，并且使之沒(méi)有大的振蕩和過(guò)大的角度和速度。 (4) 開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定性 倒立擺的穩(wěn)定狀態(tài)只有兩個(gè)，即垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對(duì)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。但實(shí)際可以通過(guò)線性化得到系統(tǒng)的近似模型，對(duì)線性化之后的系統(tǒng)進(jìn)行控制，也可以不采用線性化處理，利用非線性控制理論直接對(duì)其進(jìn)行控制，由此倒立擺的非線性控制正成為一個(gè)研究的熱點(diǎn)。如圖 14 所示 (4) 復(fù)合倒立擺系列 復(fù)合倒立擺為一類(lèi)新型倒立擺如圖 13 所示，由運(yùn)動(dòng)本體和擺桿組件組成，其運(yùn)動(dòng)本體可以很方便的調(diào)整成三種模式，一種是（ 2）中所述的環(huán)形倒立擺，還可以把本體 翻轉(zhuǎn) 90 度，連桿豎直向下和豎直向上組成托擺和頂擺兩種形式 2 的倒立擺。直線倒立擺系列產(chǎn)品如圖 11 所示。特點(diǎn)是重心在上、支點(diǎn)在下，正是這個(gè)特點(diǎn)使 倒立擺是控制理論、機(jī)器人技術(shù)、計(jì)算機(jī)控制等多種技術(shù)、多個(gè)領(lǐng)域的有機(jī)結(jié)合，可以作為一個(gè)典型的控制對(duì)象對(duì)其進(jìn)行研究。先對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行能控性和能觀性分析，之后借助固高科技 Matlab 實(shí)時(shí)控制軟件實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，設(shè)計(jì) LQR控制器，并利用 LQR 控制方法對(duì)直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了 Simulink 在線實(shí)時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，調(diào)節(jié) LQR 參數(shù)，使之達(dá)到最佳穩(wěn)定調(diào)節(jié)狀態(tài)，通過(guò)在線對(duì)系統(tǒng)施加一定的擾動(dòng)，系統(tǒng)均能在很短的時(shí)間里恢復(fù)平衡，取得了較好的實(shí)時(shí)控制效果。 直線倒立擺系統(tǒng)的 LQR 控制器設(shè)計(jì)及仿真 摘 要 倒立擺系統(tǒng)是非線形、強(qiáng)耦合、多變量和自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)。本文以固高公司直線倒立擺為研究對(duì)象，利用 Newton 法建立直線一級(jí)倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型。 modeling； stability； LQR； Simulation 目 錄 第一章 緒 論 ............................................................................. 1 倒立擺系統(tǒng)概述 .................................................................... 1 倒立擺系統(tǒng)發(fā)展及研究現(xiàn)狀 ................................................. 4 本文的主要研究?jī)?nèi)容與章節(jié)安排 ......................................... 7 第二章 直線倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立 ................................. 9 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 ........................................... 9 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)能控性與能觀性分析 ...................... 15 本章小結(jié) ........................................................................... 177 第三章 直線倒立擺系統(tǒng) LQR 控制器設(shè)計(jì)與仿真 ........... 188 線性二次最優(yōu)控制 LQR 基本原理及分析 ....................... 188 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng) LQR 控制器設(shè)計(jì)與仿真 ............... 199 本章小結(jié) .............................................................................. 23 第四章 直線倒立擺的實(shí)物穩(wěn)定控制 .................................... 24 直線一級(jí)倒立擺 LQR 實(shí)物穩(wěn)定控制 ................................. 24 本章小結(jié) ............................................................................ 299 結(jié)論與展望 ............................................................................... 300 附 錄 ........................................................................................ 311 參考文獻(xiàn) .................................................................................... 332 致 謝 ........................................................................................ 334 1 第一章 緒 論 倒立擺系統(tǒng)概述 倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、高階次、多變量、不穩(wěn)定的、非線性并強(qiáng)耦合系統(tǒng)。典型的有直線倒立擺，平面倒立擺，環(huán)形倒立擺和復(fù)合倒立擺等， 倒立擺系統(tǒng)是在運(yùn)動(dòng)模塊上裝有倒立擺裝置，正由于在相同的運(yùn)動(dòng)模塊上可以配置不同的倒立擺，所以倒立擺的種類(lèi)豐富 許多，按倒立擺的結(jié)構(gòu)來(lái)分，有以下類(lèi)型的倒立擺： (1) 直線倒立擺系列 直線倒立擺是在直線運(yùn)動(dòng)模塊上有擺體組件，直線運(yùn)動(dòng)模塊具有一個(gè)自由度，小車(chē)可以沿導(dǎo)軌水平運(yùn)動(dòng)，在小車(chē)上裝載不同的擺體組件，可以組成很多類(lèi)別的倒立擺，直線柔性倒立擺和一般直線倒立擺的不同之處在于，柔性倒立擺有兩個(gè)可以沿導(dǎo)軌滑動(dòng)的小車(chē)，并且在主動(dòng)小車(chē)和從動(dòng)小車(chē)之間增加了一個(gè)彈簧，作為柔性關(guān)節(jié)。 (3) 平面倒立擺系列 平面倒立擺是在可以做平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)模塊上裝有擺桿組件，平面運(yùn)動(dòng)模塊主要有兩類(lèi)：一類(lèi)是 XY 運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，另一類(lèi)是兩自由度 SCARA 機(jī)械臂；擺體組件也有一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)和四級(jí)很多種。 (1) 非線性 倒立擺雖 是一個(gè)典型的非線性復(fù)雜系統(tǒng)。 (3) 強(qiáng)耦合性 倒立擺的各級(jí)擺桿之間，以及擺桿和運(yùn)動(dòng)模塊之間都有很強(qiáng)的耦合關(guān)系，在倒立擺的控制中一般 都得先在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行解耦計(jì)算，次要的耦合量就可以忽略。 倒立擺的以上特性增加了倒立擺的控制難度，也正是由于倒立擺的這些特性，使其更具研究 價(jià)值和意義。旋轉(zhuǎn)倒立擺控制的目的是系統(tǒng)受到干擾后，擺桿在垂直位置倒立不倒。作用力平行于軌道的方向作用于小車(chē)，使小車(chē)上的軸在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，小車(chē)沿著水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)。由于本次實(shí)驗(yàn)裝置不能自動(dòng)擺起，需要人工來(lái)擺起，于是倒立擺剛開(kāi)始工作時(shí)， 需要人工扶持倒一定角度之后倒立擺能夠通過(guò)電機(jī)的調(diào)整達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。在二十世紀(jì)五十年代，美國(guó)麻省理工學(xué)院的控制理論專(zhuān)家就開(kāi)始了對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究、設(shè)計(jì)了一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)裝置，該裝置的原理與火箭助推器原理相一致。 倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定研究 對(duì)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定的研究主要是指設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，對(duì)倒立擺加上人為的控制使得倒立擺的擺桿能夠穩(wěn)定在豎直位置或者某一特定的角度范圍內(nèi)。 1976 年Mori 等首次提出將倒立擺系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近線性化，得到倒立擺系統(tǒng)近似的線性狀態(tài)方程，利用狀態(tài)空間法建立了控制倒立擺系統(tǒng)的 PID 控制器。與此同時(shí)， Wattes 根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制理論 LQR(Linear Quadratic Regulator)的特點(diǎn)設(shè)