20xx高考數(shù)學文人教a版一輪復習學案：選修4—5-第2課時-不等式的證明-【含解析】-全文預覽
【正文】 =12[(b+c)+(a+c)+(a+b)]1b+c+1a+c+1a+b3≥12b+c1cc=b+ca1+(b1)當x1時,f(x)|2x|x等價于x2+2x22,解得x51.綜上,x0或x51.所以不等式f(x)|2x|x的解集為(∞,0)∪(51,+∞).(2)證明f(x)=x2+2|x1|=x2+2x2,x≥1,x22x+2,x1,易得f(x)的最小值為1,即a+b+c=M=1.因為a,b,c∈R+,所以a2+c2b≥2acb,b2+a2c≥2abc,c2+b2a≥2bca,所以a2+c2b+b2+a2c+c2+b2a≥acb+abc+abc+bca+acb+bca≥2a+2b+2c=2,當且僅當a=b=c=13時,等號成立.例3(1)解由絕對值三角不等式得f(x)+f(2x)=|xa|+|2xa|≥|xa+2xa|=|22a|,若關(guān)于x的不等式f(x)+f(2x)3恒成立,則|2a2|3,即2a23或2a23,解得a52或a12,所以實數(shù)a的取值范圍為aa12或a52.(2)證明要證1af(a2b)f(b),即證|a2ba|a|ab|,即證|ab1||ab|.又因為0a1,|b|1,所以a21,b21,所以|ab1|2|ab|2=(a2b22ab+1)(a22ab+b2)=a2b2a2+1b2=a2(b21)(b21)=(a21)(b21)0,所以|ab1||ab|,故所證不等式成立.對點訓練3證明要證a2+1a22≥a+1a2,只需證a2+1a2+2≥a+1a+2.因為a0,故只需證a2+1a2+22≥a+1a+22,即a2+1a2+4a2+1a2+4≥a2+2+1a2+22a+1a+2,只需證2a2+1a2≥2a+1a,只需證4a2+1a2≥2a2+2+1a2,即證a2+1a2≥2,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立.例4(1)解由f(x)+f(x+1)≥4得|x1|+|x|≥4,當x1時,得2x1≥4,即x≥52。(2)若a+b+c+m=0,證明:a2+b2+c22b+4c+2≥0.解題心得利用柯西不等式證明不等式時,一定要滿足柯西不等式的形式,這往往需要對要證明的不等式的一端的代數(shù)進行變形,以滿足柯西不等式的形式.對點訓練6(2020山西太原二模,23)已知a,b,c為正實數(shù).(1)若a+b+c= 1,證
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