【正文】 量a與b的夾角是（）p B、C、D、4ppp322高效課堂教學(xué)模式探討公開課(2（）2010年高考課標(biāo)全國卷）rr則a，b夾角的余弦值等于（）816168 C、D、A、B、65656565rra，b為平面向量，已知rrra=(4,3)，2a+b=(3,18)，答案：（1）C；（2）C；設(shè)計(jì)意圖：選用的兩道題中，一道題向量是非坐標(biāo)形式的，另一道題向量是坐標(biāo)形式的，通過練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)選用適當(dāng)?shù)墓浇忸}，鞏固所學(xué)知識(shí)。x2＋y2應(yīng)用四：平面向量的綜合運(yùn)用rrrsinb)，c=(1，例(2009 湖北理)已知向量a=(cosa，b=(cosb，sina)，0)．rr（1）求向量b+c的長(zhǎng)度的最大值；（2）設(shè)a= π4rrs，且a⊥(b+c)，求cosb的值．設(shè)計(jì)意圖：通過典例精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提高分析、解決問題的能力。本環(huán)節(jié)盡量留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較，互相學(xué)習(xí)，共同提高。思考題、設(shè)向量rrm=(cosq,sinq)和n=(2sinq,cosq),q206。向量作為一種運(yùn)算工具，其知識(shí)體系是從實(shí)際的物理問題中抽象出來的，它在解決幾何問題中的三點(diǎn)共線、垂直、求夾角和線段長(zhǎng)度、確定定比分點(diǎn)坐標(biāo)以及平移等問題中顯示出了它的易理解和易操作的特點(diǎn)。、向量的夾角，并能進(jìn)行相關(guān)的判斷和計(jì)算三、重、難點(diǎn)：【重點(diǎn)】 【難點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的應(yīng)用四、課時(shí)安排：2課時(shí)五、教學(xué)方案及其設(shè)計(jì)意圖： 1．平面向量數(shù)量積的物理背景平面向量的數(shù)量積，其源自對(duì)受力物體在其運(yùn)動(dòng)方向上做功等物理問題的抽象。已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）OB＝ｂ，b=abcoqs，ab是記法，abcosq是定義的實(shí)質(zhì)――它是一個(gè)實(shí)數(shù)。4.“投影”的概念定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。時(shí)投影為 |b|.因此投影可正、可負(fù)，還可為零。此概念也以物體做功為基礎(chǔ)給出。ab例1.(1)已知向量a ,b，滿足b=2,a與b的夾角為600,則b在a上的投影為______(2)若b=4,ab=6,則a在b方向上投影為 _______ =3，b=4，按下列條件求ab(1)a//b(2)a^b(3)a與b的夾角為 1500 1．交換律：a b = b a證：設(shè)a，b夾角為q，則a b = |a||b|cosq，b a = |b||a|cosq∴a b = b a2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(la)b =l(ab)= a(lb)證：若l 0，(la)b =l|a||b|cosq，l(ab)=l|a||b|cosq，a(lb)=l|a||b|cosq，若l 0，(la)b =|la||b|cos(pq)= l|a||b|(cosq)=l|a||b|cosq，l(ab)=l|a||b|cosq，a(lb)=|a||lb|cos(pq)= l|a||b|(cosq)=l|a||b|．分配律：(a + b)c = ac + bc在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2，∴c(a + b)= ca + cb即：(a + b)c = ac + bc說明：（1）一般地，(ａс，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ ==|a||b|2|b|225 評(píng)述：(1)在四邊形中，AB，BC，CD，DA是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、a=a2，求證：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2。這里，兩個(gè)向量垂直的判斷和夾角的計(jì)算，可通過讓學(xué)生自己做題后總結(jié)出來；而計(jì)算模則需要老師講解并加以強(qiáng)化：由a2=aa=aac0o=sa2ab=abcosq，當(dāng)b = a時(shí)，222。：以問題的形式，來反饋一節(jié)課的重點(diǎn)是否突出，難點(diǎn)是否突破。l 用向量的數(shù)量積可解決幾何中三大問題：垂直的判斷、夾角的計(jì)算和求線段長(zhǎng)度。由其衍生出來的幾何意義、運(yùn)算律放在其下面，再把后面的三大問題放在中間一列的中間位置；左邊一列，是兩個(gè)向量夾角的相關(guān)概念；右列集中放例題。教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者，教師在教學(xué)中的作用必須以確定學(xué)生主體地位為前提，教學(xué)過程中要發(fā)揚(yáng)民主，要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，提倡獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式。b。(ab)。b=0219。bcosq=rr=abx1x2+y1y2x+y2121x+y2222r及ar與b的夾角(精確到1).0的夾角(精確到1).0思考:不使用計(jì)算器,結(jié)合上面的例題,能求出q的值嗎?(找學(xué)生回答)三、能力提升rr已知a=(cosa,sina),b=(cosb,sinb),證明rrrr(a+b)^(ab).四、小結(jié)這節(jié)課咱們一起學(xué)習(xí)了: (1)求模。的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.。(3)、作業(yè)P108 A組5(1),(2),(3)任選一個(gè)、課后探索題: rr已知a=(2,1),b=(x,1)rr(1)若a與brr(2)若a與brr(3)若a與b的夾角q為45,則實(shí)數(shù)x的值是_____。x1y2x2y1=0(對(duì)比記憶)(1,2),B(2,3),C(2,5),試判斷DABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))思考:i)q的范圍?ii)由cosq能確定q嗎?為什么?(找學(xué)生回答) 練習(xí)3rrrr已知a=(3,2),b=(5,7),求a與brrrr設(shè)a=(5,7),b=(6,4),求ab(2)判定向量的垂直關(guān)系:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))rrrra^b219。(b+c)。第五篇：平面向量的數(shù)量積教案、模、夾角教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo):推導(dǎo)并掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)利用數(shù)量積求解向量的模、能力目標(biāo):通過自主互助探究式學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力,啟發(fā)學(xué)生用多角度去思考和解決問題的能力,、情感目標(biāo):通過自主學(xué)習(xí),增強(qiáng)學(xué)生的成就感,:利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決模、夾角、::啟發(fā)式教學(xué),講練結(jié)合 學(xué)法:自主互助探究式 教學(xué)用具:多媒體 教學(xué)過程設(shè)計(jì):一、復(fù)習(xí)引入(教師提問,學(xué)生回答)二、知識(shí)探究rrrrb=(x,y)a高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)知識(shí)的來龍去脈，創(chuàng)設(shè)問題情景，建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用，可以更好的理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。ab=0； ⑵cosq=ab2a=a ⑶。問題三：用向量的數(shù)量積可解決幾何中的哪三大問題？如何解決？ l 數(shù)量積的概念包括兩個(gè)非零向量的夾角的定義和范圍、數(shù)量積的定義?！祭?〗已知a=2,b=3,且a, b夾角是60176。圍繞向量的數(shù)量積的定義，可開發(fā)出解決幾何問題中有用的知識(shí)：垂直的判斷，夾角的計(jì)算和線段長(zhǎng)度的計(jì)算。 7a2 + 16ab 15b2 = 0①(a 4b)(7a 2b)= 0 222。ｄ＋ｂс）（2）ａ6．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，則(1)a^b 219。5．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|。當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0176。q2p2時(shí)，數(shù)量積為正數(shù)；當(dāng)q=p時(shí)，數(shù)量積為零；2當(dāng)pq163。這給我們一個(gè)啟示：功是否是兩個(gè)向量某種運(yùn)算的結(jié)果呢？以此為基礎(chǔ)引出了兩非零向量a, b的數(shù)量積的概念。教學(xué)方案可從三方面加以設(shè)計(jì)：一是數(shù)量積的概念；二是幾何意義和運(yùn)算律；三是兩個(gè)向量的模與夾角的計(jì)算。江蘇)設(shè)向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求證：a∥：出選做題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，為學(xué)有余力的學(xué)生提供思考空間。同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)：做完一道題目的總結(jié)，學(xué)完一課、一章的總結(jié)，有總結(jié)才有提高，通過：練習(xí)—總結(jié)—再練習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率。q163。題后小結(jié)：(1)當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角，需求得a讓學(xué)生上臺(tái)板演可以暴露學(xué)生存在的問題，老師及時(shí)予以糾正，并呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的解答格式，促使學(xué)生自我反思，以加強(qiáng)學(xué)生答題的規(guī)范性，做到“會(huì)做的題目得滿分，不會(huì)做的題目不得零分”。b＝(2)若a＝(x，y)，則|a|＝_______，|a|＝________.→(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|BA|＝____________________.(4)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?、向量的應(yīng)用（1）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（2）利用平面向量數(shù)量積解決平行與垂直問題（3）利用平面向量數(shù)量積解決夾角問題（4）平面向量的綜合運(yùn)用注：本節(jié)課是第2課時(shí)，重點(diǎn)學(xué)習(xí)（3）利用平面向量數(shù)量積解決夾角問題和（4）平面向量的綜合運(yùn)用，其中平面向量的綜合運(yùn)用主要是在三角函數(shù)中的應(yīng)用，在立體幾何、解析幾何等方面的應(yīng)用放在后面學(xué)習(xí)。e＝__________.(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a數(shù)量積的性質(zhì)(e是單位向量，〈a，e〉＝θ)rrrrrrr已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為q，則a六、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積公式及平面向量的應(yīng)用。四、學(xué)情分析學(xué)生已復(fù)習(xí)了向量的相關(guān)概念、線性運(yùn)算、數(shù)量積及初步應(yīng)用，已較好地理解了向量的概念，比較熟練地掌握向量的運(yùn)算和性質(zhì)，已初步體會(huì)研究向量運(yùn)算的一般方法，具有一定的觀察、探究能力，這為學(xué)生進(jìn)一步復(fù)習(xí)數(shù)量積數(shù)量積及應(yīng)用做了鋪墊。二、課標(biāo)要求平面向量的數(shù)量積①通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； ②體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。． 由此題與例1中的（2）題的分析可以發(fā)現(xiàn)，在已知三角形兩邊及其一邊對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件下會(huì)出現(xiàn)一解或兩解的情形，那么會(huì)不會(huì)出現(xiàn)無解的情形呢？（1）當(dāng)A為鈍角或直角，必須滿足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ無解），并且由sinB＝計(jì)算B時(shí)，只能取銳角，因此，只有一解，如圖4310．（2）當(dāng)A為銳角時(shí)，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，則由sinB＝解，如圖4011．計(jì)算B時(shí)，只能取銳角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，則由sinB＝，得sinB＞1，因此，無解．如圖4312．③若ａ＝bsinA，則由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ為直角，故只有一解，如圖4313．④若ｂ＞ａ＞bsinA，則sinB＜1，故B可取一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角的值，如圖4314．思考：若已知三角形的兩角和一邊、三邊、兩邊及其夾角來解三角形時(shí)，它們的解會(huì)是怎樣的？第三篇：平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)[推薦]高效課堂教學(xué)模式探討公開課平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)華羅庚中學(xué) 袁勁竹一、教材分析向量作為一種基本工具，在數(shù)學(xué)解題中有著極其重要的地位和作用。或B≈149176。求B．（精確到1176。．△ABC中，已知下列條件，解三角形．（176。ｃ＝