行列式的的解法技巧本科畢業(yè)論文(文件)
【正文】 ()1()1()()()1(11 例 17 設(shè) ),2,1,(),( njixfij ?? 都是 x 的可微函數(shù) 證明：???ninnnininnnnnnnxfxfxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxd111111212222111211)()()()()()()()()()()()()()()(????????????? 證明： )]()()()1([)()()()()()()()()(2211)(212222111211121 xfxfxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxdn jnjjjjjjjnnnnnnnn ?????????? ?? ? )]()()([)1( 2211)(2121 xfxfxfdxd n jnjjjjjjjjnn ???? ?? ? 21 ) ) ]()(()()(()()()([)1( 1122112211)(2121 xfdxdxfxfxfxfxfxfdxd n jnjnnjjn jnjjj jjjjjnn ?????? ? ?????? ))()()()1()()()(()1(21 212121 1111)(2211)(? ? ???????n nnnjjj n j njnnjjj jjjjn j njjjjj xfdxdxfxfxfxfxfdxd? ??? ??? ?? ???? ??????????????)()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211xfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdnnnnnnnnnnnnn )()()()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()(21211121121,12,11,12222111211xfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfinxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfnnnniniinnnnnnnnnnn?????????????????? ???? 有關(guān)矩陣的行列式計(jì)算 例 18 設(shè) A 與 B為同階方陣： 證明： BABAAB BA ???? 證明： BABABAB BAAB ABBAAB BA ????????? 0 例 19 設(shè) A 為 n 階可逆方陣， ? 、 ? 為兩個(gè) n 維列向量，則AaAA )1( 1?????? ??? 22 證明： )1(101 11)1)(1( ?????? ? ???? ???????? AAAAA nn 例 20 若 n 階方陣 A 與 B且第 j 列不同。 例 23 計(jì)算：xaaaaxaaaaxaaaaxD n????????? 法 1：將第 2,3,?， n 行都加到第 1 行上去，得 xaaaaaaxaanxxaaaaaaxaanxanxanxD n?????????????? 111])1([)1()1()1(?????????? 再將第一行通乘 a? ，然后分別加到第 2,3,? ,n 行上，得 ])1([)(0000000111])1([ 1 anxaxaxaxanxD nn ????????? ???????? 法 2：將 2,3,? ,n 行分別減去第 1 行得 axxaaxxaaxxaaaaxD n???????????????000000 再將第 2,3,? ,n 列都加到第 1 列上去， 便有1)]()1([000000000)1(??????????? nn axanxaxaxaxaaaanxD???????? 法 3：將 nD 添加一行及一列，構(gòu)成 )1( ?n 階行列式 25 xaaaxaaaxaaaD n????????0001? 再將第 2,3,? ,n+1 行 分別減去第 1 行，于是有 令axaxaxaaaD n???????????????0010010011 在 ax? 時(shí)，顯然 0?nD ，在 ax? 時(shí)， 則1)]()1([1000010000101)(1001010100111)(????????????????????nnnnaxanxaxaaxaaxaaxnaaxaxaaxaaxaaxD???????????????? 法 4： 令 axxaaxxaaxxaaaxaxaxaaxaaaaaxaaaaaxDn?????????????????????????????????????????????00000000001111000000)(000)(000)( 26 將右式中第二個(gè)行列式的第 2,3,? ,n 列全加到第 1 列上去，再利用 Laplace 展開，所以得 11 )]()1([)()( ?? ???????? nnnn axanxaxnaaxD 例 24 求證 ?????niiinnnbabbbaaa112121)1(1000100010???????? 證：若記 ),( 21 naaaA ?? ， ),( 21 nbbbB ?? 時(shí)，上述等式可簡記為 ABBzA nn1)1(0 ??? 證法一：把第 2 行乘以 )( 1a? ，第 3 行乘以 )( 2a? ，?，第 1?n 行乘以 )( na? ，全部加到第一行，再對(duì)第 1 行利用拉普拉斯定理展開，注意各項(xiàng)的符號(hào)應(yīng)為 1111 )1()1( ???? ??? nn ，得證。 參考文獻(xiàn)： ［ 1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編 .高等代數(shù) .北京 :高等教育 出版社。 ［ 5］石福慶 ,陳凱 ,錢輝鏡 .線性代數(shù)輔導(dǎo) .北京 :1985。 [3] 徐帥，陸全，張凱院，呂全義，安曉虹主編 .高等代數(shù)考研教案 .西安 :西北工業(yè)大學(xué)出版社。 假設(shè)對(duì)于 n 時(shí)命題成立，那么，當(dāng)左下角單位矩陣為 1?n 階 (即 nz )時(shí)，對(duì)最后一行展開， 2111121121212210000101)1(01000001)1(0 DDbbaaaaaaabBzAnnnnnnnn???????????????????????????其中 nnnnnnn babaD 11221 )1()1( ???? ???? ， 而按歸納法假設(shè) ?? ???????? ?????? 1111111122 )1()1()1( nj jjnnj jjnn babaD 證畢。 計(jì)算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計(jì)算行列式的幾種 方法，計(jì)算行列式時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)針對(duì)具體問題，把握行列式的特點(diǎn)，靈活選用方法。因此，如果 D 含有因式 x ，必含有因式 x? ，由于當(dāng) 0?x 時(shí)， D 有兩列相同，故 D 確有因式x ，從而 D 含有因式 2x 。由第二列
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