北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)33《定積分與微積分基本定理》(文件)
【正文】 ( x0) g (0) ＝ 0 ， 即 f ( x0) ≤ kx20不成立．故 0 k 12不合題意． 綜上， k 的最小值為12. [ 方法總結(jié) ] ( 1) 導(dǎo)數(shù)法是求解函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、參數(shù)等問(wèn)題的有效方法，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間關(guān)鍵是求解不等式的解集；最值問(wèn)題關(guān)鍵在于比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大??；參數(shù)問(wèn)題涉及的有最值恒成立的問(wèn)題、單調(diào)性的逆向應(yīng)用等，求解時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用． ( 2) 對(duì)于一些復(fù)雜問(wèn)題，要善于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成 能用熟知的導(dǎo)數(shù)研究問(wèn)題． 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ln x －ax， ( 1) 若 a 0 ，試判斷 f ( x ) 在定義域內(nèi)的單調(diào)性； ( 2) 若 f ( x ) x2在 (1 ，＋ ∞ ) 上恒成立，求 a 的取值范圍． [ 解析 ] ( 1) 由題意 f ( x ) 的定義域?yàn)?(0 ，＋ ∞ ) ，且 f ′ ( x ) ＝1x＋ax2 ＝x ＋ ax2 . ∵ a 0 ， ∴ f ′ ( x ) 0 ， 故 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是單調(diào)遞增函數(shù)． ( 2) ∵ f ( x ) x2， ∴ ln x －ax x2. 又 x 0 ， ∴ a x ln x － x3. 令 g ( x ) ＝ x ln x － x3， h ( x ) ＝ g ′ ( x ) ＝ 1 ＋ ln x － 3 x2， h ′ ( x ) ＝1x－ 6 x ＝1 － 6 x2x. ∵ x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 時(shí)， h ′ ( x ) 0 ， ∴ h ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上是減函數(shù)． ∴ h ( x ) h ( 1) ＝－ 2 0 ， 即 g ′ ( x ) 0 ， ∴ g ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上也是減函數(shù)． g ( x ) g ( 1) ＝－ 1 ， ∴ 當(dāng) a ≥ － 1 時(shí)， f ( x ) x2在 (1 ，＋ ∞ ) 上恒成立． [ 點(diǎn)評(píng) ] 在已知函數(shù) f ( x ) 是增函數(shù) ( 或減函數(shù) ) 求參數(shù)的范圍時(shí)，可令 f ′ ( x ) ≥ 0[ 或 f ′ ( x ) ≤ 0] 恒成立，解出參數(shù)的范圍，然后再檢驗(yàn)該參數(shù)的端點(diǎn)值能否使 f ′ ( x ) ＝ 0 恒成立，若能成立，則去掉參數(shù)的該值；若不能使 f ′ ( x ) ＝ 0 恒成立，則參數(shù)的范圍即為所求．也可由 f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0) 恒成立，從中分離出要求的參數(shù)，再進(jìn)一步通過(guò)求最值確定參數(shù)的范圍 . 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題 設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f ( x ) ＝ ex－ 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R . (1) 求 f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間與極值； (2) 求證：當(dāng) a ln2 － 1 且 x 0 時(shí)， ex x2－ 2 ax ＋ 1. [ 思路分析 ] (1) 求單調(diào)區(qū)間與極值可利用 f ( x ) 與 f ′ ( x ) 的關(guān)系求解； (2) 可構(gòu)造函數(shù) g ( x ) ＝ ex－ x2＋ 2 ax － 1 ，通過(guò)研究 g ( x )的性質(zhì)進(jìn)行證明． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 解：由 f ( x ) ＝ ex－ 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R 知 f ′ ( x )＝ ex－ 2 ， x ∈ R . 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ ln2 ，于是當(dāng) x 變化時(shí)， f ′ ( x ) ， f ( x )的變化情況如下表： x ( － ∞ ， ln2) ln2 ( ln2 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 單調(diào)遞減 ↘ 2( 1 － ln2 ＋ a ) 單調(diào)遞增 故 f ( x ) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( － ∞ ， ln2 ] ，單調(diào)遞增區(qū)間是[ ln2 ，＋ ∞ ) ， f ( x ) 在 x ＝ ln2 處取得極小值，極小值為 f ( ln2) ＝ el n 2－ 2ln2＋ 2 a ＝ 2( 1 － ln2 ＋ a ) ． ( 2) 證明：設(shè) g ( x ) ＝ ex－ x2＋ 2 ax － 1 ， x ∈ R ， 于是 g ′ ( x ) ＝ ex－ 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R . 由 ( 1) 知當(dāng) a ln2 － 1 時(shí)， g ′ ( x ) 的最小值為 g ′ ( ln2) ＝ 2( 1 － ln2 ＋ a ) 0. 于是對(duì)任意 x ∈ R ， 都有 g ′ ( x ) 0 ， 所以 g ( x ) 在 R 內(nèi)單調(diào)遞增． 于是當(dāng) a ln2 － 1 時(shí)，對(duì)任意 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，都有 g ( x ) g ( 0) ． 而 g ( 0) ＝ 0 ，從而對(duì)任意 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， g ( x ) 0 ， 即 ex－ x2＋ 2 ax － 1 0 ，故 ex x2－ 2 ax ＋ 1. [ 方法總結(jié) ] 利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式 f ( x ) g ( x ) 在區(qū)間 D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù) h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù) h ( x ) 0 ，其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù) h ( x ) 什么時(shí)候可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口． ( 2020第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù) 第 二 章 第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值及生活實(shí)際中的應(yīng) 用 高考目標(biāo)導(dǎo)航 課前自主導(dǎo)學(xué) 課堂典例講練 3 課后強(qiáng)化作業(yè) 4 高考目標(biāo)導(dǎo)航 考綱要求 1. 會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值 ( 其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不 超過(guò)三次 ) ． 2 ．會(huì)利用
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