3-2第3課時(shí)(文件)
【正文】 2 x ＋ y ＝ 0 ， 令 x ＝ 1 ，則 y ＝－ 2 ，故 m ＝ (1 ，－ 2 ， 0) ． 設(shè)平面 P B C 的法向量為 n ＝ ( x ′， y ′ ， z ′) ，則 ?????n （ 0 ，－ 1 ， 1 ）＝ 0??????2 x ′ ＝ 0 ，－ y ′＋ z ′ ＝ 0. 令 y ′ ＝－ 1 ，則 z ′ ＝－ 1 ，故 n ＝ (0 ，－ 1 ，－ 1) ， ∴ c os 〈 m ， n 〉＝m n ＝ (1 －24) 0 ＋24 4 ＋ ( － 1) 2 ＝ 0 ， ∴ MN→⊥ n . 又 MN ? 平面 OC D ， ∴ MN ∥ 平面 OC D . ( 2) 設(shè) 異面直線 AB 與 MD 所成的角為 θ . ∵ AB→＝ (1 ， 0 ， 0) ， MD→＝ ( －22，22，－ 1) ， ∴ c os 〈 AB→， MD→〉＝AB→ OP→＝ 0 ， n CP→＝ 0??????（ x ′， y ′ ， z ′） AB→＝ 0?????? （ x ， y ， z ） AB1→| n || AB1→|＝－ 3 － 32 AD→＝ 0 ，n . 【 變式 2】 已知正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的底面邊長為 a ，側(cè)棱長為 2 a ， M 為 A 1 B 1 的中點(diǎn)，求 BC 1 與平面 A M C 1 所成角的正弦值 ． 解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A ( 0 ， 0 ， 0 ) ， M ( 0 ，a2， 2 a ) ， C 1 ( －32a ，a2， 2 a ) ， B ( 0 ， a ， 0 ) ， 故 AC 1→＝ ( －32a ，a2， 2 a ) ， AM→＝ ( 0 ，a2， 2 a ) ， BC 1→＝ ( －32a ，－a2， 2 a ) ． 設(shè)平面 A M C1的法向量為 n ＝ ( x ， y ， z ) ． 則?????AC1→ . 法二 AB→＝ ( 0 ， a ， 0 ) ， AA1→＝ ( 0 ， 0 ， 2 a ) ， AC1→＝ ( －32a ，a2， 2 a ) ． 設(shè)側(cè)面 ABB1A1的法向量 n ＝ ( λ ， x ， y ) ， ∴ n AB→＝ 0 ， MC 1→ ，在四邊形ABCD中， ∠ ADC＝ ∠ DAB＝ 90176。 b|| a | | b | . 1． 直線與平面所成角的求法 (1)幾何法：找出斜線在平面上的射影，則斜線與射影所成角就是線面角，可通過解由斜線段、垂線段和射影線段構(gòu)成的直角三角形獲解． 2． 二面角的求法 (1)幾何法：作出二面角的平面角，然后通過解三角形獲解． (2)向量法：設(shè)二面角 α lβ的兩個(gè)半平面的法向量分別為 n1，n2. ①當(dāng)平面 α、 β的法向量與 α、 β的關(guān)系如圖所示時(shí)，二面角 α l β的平面角即為兩法向量 n1， n2的夾角 〈 n1， n2〉 ． (2) 向量法：設(shè)直 線 l 的方向向量為 a ，平面 α 的一個(gè)法向量為n ，直線 l 與平面 α 所成角為 θ ， a 與 n 的夾角為 φ ，則有 cos θ ＝ sin φ ，或 sin θ ＝ | cos φ |＝ _ ______ . 3． |a |b| (0， π2 ] |a b||a| n2||n1||n2| 試一試 ：若二面角 α l β的兩個(gè)半平面的法向量分別為 n1，n2，試判斷二面角的平面角與兩法向量夾角 〈 n1， n2〉 的關(guān)系． 提示 相等或互補(bǔ)
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