3-2第3課時(shí)-文庫吧
2025-10-14 20:20 本頁面
【正文】 x軸、 y軸、 z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則 A ( 2 ， 0 ， 0 ) 、 C ( 0 ， 2 ， 0 ) 、 E ( 1 ， 0 ， 2 ) 、 F ( 1 ， 1 ， 2 ) ， 則 AE→＝ ( － 1 ， 0 ， 2 ) ， CF→＝ ( 1 ，－ 1 ， 2 ) ∴ | AE→|＝ 5 ， | CF→|＝ 6 . AE→ CF→＝－ 1 ＋ 0 ＋ 4 ＝ 3. 又 AE→ CF→＝ | AE→|| CF→| c os 〈 AE→， CF→〉 ＝ 30 c os 〈 AE→， CF→〉 ∴ c os 〈 AE→， CF→〉＝3010， ∴ 所求值為3010. 規(guī)律方法 在解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時(shí)，若能構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解．但應(yīng)用向量法時(shí)一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別． 四棱錐 P－ ABCD中， PD⊥ 平面 ABCD，PA與平面 ABCD所成的角為 60176。 ，在四邊形ABCD中， ∠ ADC＝ ∠ DAB＝ 90176。 ， AB＝ 4，CD＝ 1， AD＝ 2. (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn) B、 P的坐標(biāo)； (2)求異面直線 PA與 BC所成的角的余弦值． 【 變式 1】 解 (1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系． ∵∠ ADC＝ ∠ DAB＝ 90176。 ， AB＝ 4， CD＝ 1， AD＝ 2. ∴ A(2， 0， 0)， C(0， 1， 0)， B(2， 4， 0)． 由 PD⊥ 平面 ABCD，得 ∠ P A D 為 PA 與平面 ABCD 所成的角， ∴∠ P A D ＝ 60 176。 . 在 Rt △ P A D 中，由 AD ＝ 2 ，得 PD ＝ 2 3 . ∴ P ( 0 ， 0 ， 2 3 ) ． ( 2 ) 由 ( 1 ) 得， PA→＝ ( 2 ， 0 ，－ 2 3 ) ， BC→＝ ( － 2 ，－ 3 ， 0 ) ， ∴ c os 〈 PA→， BC→〉＝2 （－ 2 ）＋ 0 （－ 3 ）＋（－ 2 3 ） 04 13 ＝－1313， 即 PA 與 BC 所成角的余弦值為1313. [思路探索 ] 利用正三棱柱的性質(zhì)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．求角時(shí)有兩種思路：一是由定義找出線面角，取 A1B1的中點(diǎn) M，連結(jié) C1M，證明∠ C1AM是 AC1與平面 A1ABB1所成的角；另一種是利用平面 A1ABB1的法向量 n＝ (λ， x， y)求解． 題型 二 求線面角 【 例 2】 正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的底面邊長為 a ，側(cè)棱長為 2 a ，求 A C 1 與側(cè)面 ABB 1 A 1 所成的角 ． 解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A ( 0 ， 0 ， 0 ) ， B ( 0 ， a ， 0 ) ， A 1 ( 0 ， 0 ， 2 a ) ，C 1 ( －32a ，a2， 2 a ) ， 法一 取 A 1 B 1 的中點(diǎn) M ，則 M ( 0 ，a2， 2 a ) ，連結(jié) AM 、 MC 1 ，有 MC 1→＝ ( －32a ， 0 ， 0 ) ， AB→＝ ( 0 ， a ， 0 ) ， AA 1→＝ ( 0 ， 0 ， 2 a ) ． ∴ MC 1→ AB→＝ 0 ， MC 1→ AA 1→＝ 0 ， ∴ MC 1→⊥ AB→， MC 1→⊥ AA 1→， 則 MC1⊥ AB ， MC1⊥ AA1， 又 AB ∩ AA1＝ A ， ∴ MC1⊥ 平面 ABB1A1. ∴∠ C1AM 是 AC1與側(cè)面 A1ABB1所成的角 ．
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