第四章 1671 11 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(文件)
【正文】 提示：是減少的． 問題 3：當(dāng) x0∈ (1，＋ ∞)時(shí)，函數(shù)在 (x0， f(x0))處的切線斜率 f′(x0)大于零還是小于零？ 提示：大于零． 問題 4： f(x)＝ x2－ 2x－ 2在 (1，＋ ∞)上單調(diào)性如何？ 提示：是增加的． 函數(shù)在區(qū)間 (a， b)上的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的符號有如下關(guān)系： 導(dǎo)函數(shù)的正負(fù) 函數(shù)在 (a， b)上的單調(diào)性 f′(x)＞ 0 f′(x)＜ 0 是增加的 是減少的 1．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù) f′(x)，令 f′(x)0，得單調(diào)增區(qū)間，令 f′(x)0得單調(diào)減區(qū)間． 2．在某個(gè)區(qū)間內(nèi) f′(x)0(f′(x)0)是函數(shù) f(x)在此區(qū)間內(nèi)為增(減 )函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)使 f′(x)＝ 0，不會影響函數(shù) f(x)在包含該點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．例如函數(shù) f(x)＝ x3在定義域 (－ ∞，＋ ∞)上是增加的，但由 f′(x)＝ 3x2知， f′(0)＝ 0，即并不是在定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)處都滿足 f′(x)0. [例 1] 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)f(x)＝ 3x2－ 2ln x； (2)y＝ x3＋ ax(a∈ R)． [思路點(diǎn)撥 ] 對 (1)，求出定義域后，分別令 f′(x)0和 f′(x)0可解得對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．對 (2)，求導(dǎo)后，應(yīng)注意 a的討論． [ 精解詳析 ] (1) 函數(shù)的定義域?yàn)?(0 ，＋ ∞) ， f ′( x ) ＝ 6 x －2x＝ 2 1)2－ a＝ 0.∴ a＝ 3. 當(dāng) a＝ 3時(shí)， f′(x)＝ 3(x2－ 1)，令 f′(x)0， 則 x1或 x－ 1. ∴ 函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 (－ ∞，－ 1)和 (1，＋ ∞) (2)因?yàn)楹瘮?shù) f(x)在 (1，＋ ∞)上是增加的， ∴ f′(x)≥0在 (1，＋ ∞)上恒成立， 即 3x2－ a≥0在 (1，＋ ∞)上恒成立． ∴ a≤3x2在 (1，＋ ∞)上恒成立． 令 g(x)＝ 3x2，當(dāng) x∈ (1，＋ ∞)時(shí)， g(x)g(1)＝ 3. ∴ a≤3. 當(dāng) a＝ 3時(shí)， f′(x)
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