08第八章汽車保險(xiǎn)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)(文件)
【正文】 狀況。 ?考慮費(fèi)率因子的 BMS： Taylor(1997) 將費(fèi)率因子引入BMS，從而使對(duì)投保人的獎(jiǎng)懲更趨于合理。 (2) 求轉(zhuǎn)移概率矩陣的極限值。 ?轉(zhuǎn)移規(guī)則為：一年內(nèi)無賠案發(fā)生，保費(fèi)折扣上升一級(jí)或停留在 50%的折扣；如果一年內(nèi)有賠案發(fā)生，則保費(fèi)折扣退回至 0%的折扣。假設(shè)被保險(xiǎn)人每年索賠概率為 ，第 1年 π(1)=(1 0 0)。 例 例 (1) 轉(zhuǎn)移概率矩陣為： 21 01 0 0 0 00 M??????? ? ? ?????（ ） （ ） （ ） （ ）32 0 0 0 0 M????? ? ? ?????（ ） （ ） （ ） （ ） 0% 25% 40%0% 025% 0 40% 0 M?????????? ? ? ?1 2 3 1 2 31 2 3 0 0 0 + + 1? ? ? ? ? ?? ? ??????????＝(2) 1 2 11 3 22 3 31 2 3 1? ? ?? ?? ? ?? ? ????????????? ? ? ??例 1 2 31 4 1621 21 21? ? ?? ? ?， ，?假設(shè)個(gè)體保單的索賠頻率服從參數(shù) λ的泊松分布，在參數(shù) λ（索賠頻率的均值）取不同的值時(shí)，根據(jù)我國(guó)2023年機(jī)動(dòng)車商業(yè)保險(xiǎn)行業(yè)基本條款 BMS（表 ），計(jì)算達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)各折扣級(jí)別的保單數(shù)比例以及個(gè)體保單平均保費(fèi)收入（表 ）。 獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的評(píng)價(jià)因素 1. 穩(wěn)定狀態(tài)下的平均保費(fèi)水平 ?假設(shè)無折扣級(jí)別的保費(fèi)為 100，則 穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)平均保費(fèi)水平 為： ? ci：第 i個(gè)折扣等級(jí) ? πi： 穩(wěn)定狀態(tài)下第 i個(gè)折扣等級(jí)的被保險(xiǎn)人比例 ?BMS穩(wěn)定后，處于系統(tǒng)各個(gè)折扣級(jí)別的保單分布狀況也固定下來，保險(xiǎn)人收取的保費(fèi)趨于穩(wěn)定。但實(shí)際上即使非常嚴(yán)厲的 BMS（肯尼亞）也只能接近 29%。 ?實(shí)行 BMS后，被保險(xiǎn)人的保費(fèi)支出因保險(xiǎn)人的 “利誘 ”而變得不穩(wěn)定，某種程度上， BMS增加了被保險(xiǎn)人支出的變異性。 ? 用 BMS下的變異系數(shù) ξ2占未投保時(shí)的變異系數(shù) ξ1的百分比，衡量投保人采用 BMS后保留的變異性。 ?設(shè) 最優(yōu)自留額 D，折扣期望為 V，應(yīng)繳保費(fèi)為 P，由期望效用原理，最優(yōu)自留額滿足： ? 若 XD時(shí)，不索賠比索賠更實(shí)惠；反之，當(dāng) XD時(shí)，應(yīng)當(dāng)向保險(xiǎn)公司提出索賠。 ? 結(jié)構(gòu)函數(shù)通常選取 伽瑪函數(shù) （負(fù)二項(xiàng)模型）和 逆高斯函數(shù) （泊松 逆高斯模型）。 ? 考慮索賠次數(shù)服從泊松 逆高斯分布，其最大似然估計(jì)值為： ? 由此計(jì)算出恰好發(fā)生 k次索賠的概率如表 。 (4) 變異系數(shù) ? 通過將第 i年各折扣等級(jí)的概率分布與轉(zhuǎn)移概率矩陣 M相乘，得到第 i+1年各折扣等級(jí)的概率分布，從而計(jì)算各年平均保費(fèi)及變異系數(shù)（表 、圖 、圖 ）。 ? BMS的變異系數(shù)占未保險(xiǎn)前變異系數(shù)的百分比為＝ %，表示實(shí)施 BMS后，投保人仍保留的變異性。 ?以伽瑪結(jié)構(gòu)函數(shù)為例，分析最優(yōu)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。 最優(yōu)獎(jiǎng)懲系統(tǒng) 1 1 2 1( , , , ) ( 1 ) ( 1 )t t t kP k k k r r t?? ??? ?? ? ? ? ?1tkt????????長(zhǎng)期來看，最優(yōu)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)是公平的，個(gè)體保單的續(xù)期保費(fèi)與索賠頻率估計(jì)值成比例。若信度 ，則后驗(yàn)保費(fèi)可表示為先驗(yàn)保費(fèi) α/β與經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值 k/t的加權(quán)組合： 。 ?個(gè)體保單只與以前年度的總索賠次數(shù)有關(guān)，而不管這些索賠次數(shù)在過去的分布如何。 最優(yōu)獎(jiǎng)懲系統(tǒng) 1( ) , 0 , 1 , 2 ,!()()k eP X k kkeu?? ? ? ?????????? ? ????若隨機(jī)個(gè)體保單在 t年內(nèi)索賠次數(shù)為 k1,k2,…, kt，由貝葉斯公式： 故 λ的后驗(yàn)分布為 Gamma(α+k, β+t)，其中 ?設(shè) λt+1為 t+1年索賠頻率的后驗(yàn)估計(jì)，選用平方損失函數(shù)，令 ，可得 最優(yōu)獎(jiǎng)懲系統(tǒng) 12121201 ( )( , , , | ) ( )( | , , , )( , , , | ) ( )() ()tttk k tP k k k uu k k kP k k k u dtek? ? ? ????? ? ?????? ? ? ? ???????1tiikk?? ?21 1 20 ( ) ( | , , , ) m inttu k k k? ? ??? ??? 1 1 20 ( | , , , )ttu k k k d? ? ? ??? ????即 t+1年的 λ最優(yōu)估計(jì)為其后驗(yàn)分布的均值，故 ?進(jìn)一步假設(shè)對(duì)個(gè)體保單平均每次賠付額為 1個(gè)貨幣單位，設(shè) r為安全附加系數(shù)，則第 t+1年續(xù)期保費(fèi)為： ?當(dāng) t→∞ 時(shí)，估計(jì)頻率趨于真實(shí)索賠頻率 k/t，估計(jì)方差 (α+k)/(β+t)2趨于零，因此對(duì)個(gè)體保單的觀察時(shí)間越長(zhǎng)，對(duì)索賠頻率的估計(jì)越準(zhǔn)確。 ? 可見： 7個(gè)保單級(jí)別的索賠頻率有明顯差異，且被保險(xiǎn)人的危險(xiǎn)程度是逐漸增加的。從世界范圍來看，我國(guó)的變異系數(shù)處于一個(gè)較低水平，即 變異系數(shù)相對(duì)較小 。 例 表 穩(wěn)態(tài)下各保費(fèi)等級(jí)的概率分布 6039 0 0 5098 6693 38 28 8342 6039 0 0 5098 6693 38 28 83420 6039 0 5098 6693 38 28 83420 0 6039 5098 6693 38 28M ? 83420 0 6039 5098 6693 38 28 83420 0 6039 5098 6693 38 28 83420 0 6039 5098 6693 38 28 8342??
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