20xx高中數(shù)學北師大版必修5第1章4《數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用》ppt同步課件(文件)
【正文】 業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不能進行技術(shù)改造，預(yù)測從2020 年起每年比上一年純利潤減少 20 萬元 . 2020 年初該企業(yè)一次性投入資金 600 萬元進行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第 n 年 (2020 年為第一年 ) 的利潤為 500(1 ＋12n )萬元 ( n 為正整數(shù) ) ． (1)設(shè)從 2020年起的前 n年 ， 若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為 An萬元 ， 進行技術(shù)改造后的累計純利潤為 Bn萬元 (須扣除技術(shù)改造資金 )， 求 An、 Bn的表達式； (2)依上述預(yù)測 ， 從 2020年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年 ， 進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤 ？ [分析 ] 本題是等差數(shù)列應(yīng)用題 ． 由題意知若該企業(yè)不進行技術(shù)改造 ， 則每年的利潤構(gòu)成等差數(shù)列 ． [ 解析 ] (1) 由題意，知 An＝ (500 － 20) ＋ (5 00 － 40) ＋ ? ＋(500 － 20 n ) ＝ 490 n － 10 n2； Bn＝ 500[(1 ＋12) ＋ (1 ＋122 ) ＋ ? ＋ (1 ＋12n )] － 600 ＝ 500 n －5002n－ 100. (2) Bn－ An＝ (500 n －5002n － 100) － (490 n － 10 n2) ＝ 10 n2＋ 10 n －5002n － 100 ＝ 10[ n ( n ＋ 1) －502n － 10] ． 因為函數(shù) y ＝ x ( x ＋ 1) －502x － 10 在 (0 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù)， 當 1 ≤ n ≤ 3 時， n ( n ＋ 1) －502n － 10 ≤ 12 －508－ 100 ； 當 n ≥ 4 時， n ( n ＋ 1) －5 02n － 10 ≥ 20 －5016－ 100. ∴ 僅當 n ≥ 4 時， Bn An. 則至少經(jīng)過 4 年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤 . 某國采用養(yǎng)老儲備金制度 ． 公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金 ， 數(shù)目為 a1， 以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加 d(d0)， 因此 ， 歷年所交納的儲備金數(shù)目 a1， a2， ?是一個公差為 d的等差數(shù)列 ， 與此同時 ， 國家給予優(yōu)惠的計息政策 ， 不僅采用固定利率 ， 而且計算復(fù)利 ． 這就是說 ， 如果固定年利率為 r(r0)， 那么 ， 在第 n年末 ， 第一年所交納的儲備金就變?yōu)?a1(1＋ r)n－ 1， 第二年所交納的儲備就變?yōu)?a2(1＋ r)n－2， ? ， 以 Tn表示到第 n年末所累計的儲備金總額 ． 等比數(shù)列模型應(yīng)用問題 (1)寫出 Tn與 Tn－ 1(n≥2)的遞推關(guān)系式； (2)求證： Tn＝ An＋ Bn， 其中 {An}是一個等比數(shù)列 ， {Bn}是一個等差數(shù)列 ． [分析 ] 本題第一問的結(jié)果是一個遞推關(guān)系式 ， 因此該問題可以歸結(jié)為遞推模型 ， 利用遞推公式解決第 (2)問將更加明朗 ． [ 解析 ] (1) 由題意，得 Tn＝ Tn － 1(1 ＋ r ) ＋ an( n ≥ 2) ． (2) T1＝ a1，對 n ≥ 2 反復(fù)使用上遞推關(guān)系，得 Tn＝ Tn － 1(1 ＋ r ) ＋ an ＝ Tn － 2(1 ＋ r )2＋ an － 1(1 ＋ r ) ＋ an ? ＝ a1(1 ＋ r )n － 1＋ a2(1 ＋ r )n － 2＋ ? ＋ an － 1(1 ＋ r ) ＋ an， ① 在 ① 式兩端同乘 1 ＋ r ，得 (1 ＋ r ) Tn＝ a1(1 ＋ r )n＋ a2(1 ＋ r )n － 1＋ ? ＋ an － 1(1 ＋ r )2＋
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