電路的拉普拉斯變換分析法(文件)
【正文】 利赫利條件（一般電子技術(shù)中處理的函數(shù)都滿(mǎn)足這一條件） 拉氏 正變換 Sj????f(t)： 原函數(shù) ； F(S)： f(t)的 象函數(shù) 。 0??0 t 0 ) ( ? t f 0 t ? ? ? 0 ) ( dt e t f st 為有限值 積分下線(xiàn) 0 后面討論中寫(xiě)成 0 ?? ? 0 )()( dtetfsF st拉氏 正變換 例 用定義求 f(t)象函數(shù)。 指數(shù)函數(shù) ? ?tet? ?(?為常數(shù) ) 由定義可得 的拉普拉斯變換為 1()Fss ?? 由此可導(dǎo)出一些常用函數(shù)的變換 ： 單位階躍函數(shù) ? ? t ? ? ?tet? ??????0001)(ttt?1()Fss ?? ??0 ? ?? ? 1Lt s? ?正弦函數(shù) sin ? t ? ? t ? ? ?j t j t1s i n 2jt e e??? ?故有 ? ?? ? 22s i n ???? ?? sttL? ?? ? ? ? ? ?22tjtjj1j1j21j21s i n????????????????????????????sssteeLttL余弦函數(shù) cos ? t ? ? t ? ? ?j t j t1c o s 2t e e??? ??? ?? ? 22c o s ??? ?? s sttL故有 ? ?? ? ? ? ? ?22tjtjj1j12121c o s?????? ??????????????????????? ssssteeLttL衰減正弦函數(shù) ?t ? sin e ? t ?? ? ? ? ?jj1sin2jttte t e e? ? ? ?? ? ? ?????])( 1)( 1[2 1]si n[ ??? jasjasjteL at ????22)( ????? as故有 22)(]s i n[ ??????asteLat衰減余弦函數(shù) ?t ? cos e ? t ?? 與衰減正弦函數(shù)相類(lèi)似可得 ? ?? ? ? ? 2 2c o st sL e t t s? ??? ?? ?? ??雙曲線(xiàn)正弦函數(shù) sh bt ? ? t ? ? ?1sh 2 ttt e ebbb ?? ?? ? 22shL t t s bb? b? 故有 雙曲線(xiàn)余弦函數(shù) ch bt ? ? t ? 與雙曲線(xiàn)正弦函數(shù)相類(lèi)似可得 ? ?? ? 22ch sL t t sb? b? t的正冪函數(shù) (n為正整數(shù) ? ?ntt?由定義可得 的拉普拉斯變換為 ? ?ntt?? ?? ? 0n n s tL t t t e d t? ? ? ? 設(shè) , d dn s tu t v e t??則 000101000n s tns t n s tn s tt e dt udvuv udvtne t e dtssnt e dts???? ?????? ???????亦即 ? ?? ? ? ?? ?1nn nL t t L t ts?? ?依次類(lèi)推，則得 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?12111 2 2 1 1 !n n nnn n nL t t L t t L t ts s sn n n ns s s s s s s? ? ??????當(dāng) n=1時(shí)，有 21)]([sttL ??? ?? ? ? ?? ?1nn nL t t L t ts?? ? 沖激函數(shù) A d（ t） 沖激函數(shù)的定義 ? ? ? ? ? ?d0t f t t fd?? ??可得 ? ?? ? ? ? 00 dstL A t A t e t A e Add ? ? ? ??對(duì)于 單位沖激函數(shù) 來(lái)說(shuō)，可令上式 A=1，即得： ? ?? ?t1L d ?書(shū)中表 7 1給出了一 些常見(jiàn)函數(shù)的拉普拉斯變換 拉氏變換法的實(shí)質(zhì)就是將微分方程經(jīng)數(shù)學(xué)變換轉(zhuǎn)變成代數(shù)方程，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，再將所得的結(jié)果變換回去。 拉氏變換法的 優(yōu)點(diǎn) ： （ 1） 求解過(guò)程得以簡(jiǎn)化，又同時(shí)給出微分方程的特解及齊次方程的通解，而且初始條件能自動(dòng)包含在變換式中，對(duì)于換路起始時(shí)有突變現(xiàn)象的問(wèn)題處理更方便； 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 拉普拉斯變換 有許多重要性質(zhì)。 tfL 若 f (t) F (s) L )0()( fssF則 證明 ? ? ?? 0 )(])([)](39。則上式變?yōu)? )()](39。 求拉氏反變換最簡(jiǎn)單的方法是查拉氏變換表 因?yàn)樽儞Q表中只列出了常用的一些函數(shù)，它不可能將一切函數(shù)都包括在內(nèi)。 N(S)=0的根被稱(chēng)為 F(S)的 零點(diǎn) ； D(S)=0的根被稱(chēng)為 F(S)的 極點(diǎn) 。 35210114)(22?????sssssF首先將 F(s)化為真分式 ? ?22224 11 10 4 1 422532 5 3 2 5 3 222s s s sFss s s s ss????? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??????將分母進(jìn)行因式分解 ? ? ? ?2 5 3 312 2 2D s s s s s? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?將 F(s)中的真分式寫(xiě)成部分分式 1224132 5 3 2 12AAss s s s???????? ? ??? ???求真分式中各部分分式的系數(shù) ? ?? ?? ?? ?? ?? ?111112324416331223453212sssssNs ssA s s sDsssssAsss??????????????????? ? ? ? ??????????? ?? ??????? ???????????????? ? ? ??????????????????于是 F(s )可展開(kāi)為 ? ? 1 6 1 52 32 1 22Fss s??????? ? ? ??????? ?????其原函數(shù)為 ? ?? ? ? ?21 1 1 123254 11 10 3 2232 5 3 125232ttssL L L Ls s sst e e td? ???? ???? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??????? ?????? ? ????0?t注意：在對(duì)假分式進(jìn)行反變換時(shí)，應(yīng)首先將假分式變?yōu)檎娣质?，然后再進(jìn)行部分分式分解。即將分母配成二項(xiàng)式的平方，將一對(duì)共軛復(fù)根作為一個(gè)整體來(lái)考慮。因?yàn)檫@樣將使導(dǎo)數(shù)分母中出現(xiàn)“ 0”值，而得不出結(jié)果。在分析具體問(wèn)題時(shí)，可根據(jù) F(s)的分母有無(wú)重根分別用前述兩種方法求各極點(diǎn)的留數(shù)，只要這些留數(shù)一經(jīng)求得，就能得出反變換。 電容 C在復(fù)頻域中串聯(lián)形式的電路模型 I ( s ) U ( s ) sC Cu C (0 ) susIsCsUCC)0()(1)( ??)0()()( ? CC CUss C UsI
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