binaaablack-scholes期權(quán)定價模型(文件)
【正文】 ，價格變動也是連續(xù)的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率 r為常數(shù)。 會不斷地發(fā)生變化。 2022/8/21 26 風(fēng)險中性定價原理 ? 所謂風(fēng)險中性，即無論實(shí)際風(fēng)險如何，投資者都只要求無風(fēng)險利率回報。 2022/8/21 27 An Example ? 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為 10元，我們知道在 3個月后，該股票價格要么是 11元，要么是 9元。 ? 為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。 2022/8/21 28 ? 在沒有套利機(jī)會情況下，無風(fēng)險組合只能獲得無風(fēng)險利率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。 ? 可見，投資者厭惡風(fēng)險程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。 ? 要求解這個方程，關(guān)鍵在于到期的股票價格 ST，我們知道它服從對數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應(yīng)用無風(fēng)險利率，因此， () [ m a x( , 0) ]r T t Tc e E S X?????2l n ~ [ l n ( ) ( ) , ]2TS S r T t T t???? ? ? ?2022/8/21 32 ? 對式（ 3）積分求得： ? N（ x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個變量小于 x的概率）。 BS公式的理解 2022/8/21 34 ? 其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量（求導(dǎo)）， SN（ d1)就是股票的市值 , er(Tt)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價值。 ? 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式 ： ? 由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)無法得到精確的解析公式，而只能運(yùn)用數(shù)值方法和近似方法得到。 σ 表示風(fēng)險部分遵循隨機(jī)過程的波動率，就可直接套用公式（ ）和（ ）分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。 ? 。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。 2022/8/21 43 布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價公式的實(shí)證研究 ? 精度：理論價格與實(shí)際價格的比較 ? 存在一定偏差，但仍然是解釋期權(quán)價格動態(tài)的最佳模型之一。 2022/8/21 44 布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價公式的應(yīng)用 ? 評估組合保險成本 ? 事先確定所能承受的最大損失，之后估算這一保險所需要的成本 ? 給可轉(zhuǎn)換債券定價 ? 為認(rèn)股權(quán)證估值 。 ? 改變波動率的估計(jì)的方式會提高布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價公式在預(yù)測實(shí)際價格時的表現(xiàn)。 2022/8/21 41 例 ? 假設(shè)一種 1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在 5個月和 11個月后各有一個除權(quán)日，每個除權(quán)日的紅利期望值為 ，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價為 50元，期權(quán)協(xié)議價格為 50元，標(biāo)的股票波動率為每年 30%，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為 10%，求該期權(quán)的價值。但是由于有收益的 美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的可能性較小，可以采用近似的解析定價方法。 ? 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率 q（單位為年）時，我們只要將 Se－ q（ Tt） 代替式（ ）和（ ）中的 S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。當(dāng)期權(quán)到期時，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。 ? 資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權(quán)支付一個等于資產(chǎn)價格本身的金額，因此該期權(quán)的價值為 er(Tt)STN(d1)= SN(d1) ? （標(biāo)準(zhǔn)）現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán) :如果標(biāo)的資產(chǎn)價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權(quán)支付 1元， 由于期權(quán)到期時價格超過執(zhí)行價格的概率為 1份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為 er(Tt) N(d2)。 SN(d1)= er(Tt)ST N(d1)是 ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。 2022/8/21 30 前文的兩個重要結(jié)論 ? 股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布 ? 風(fēng)險中性定價原理 2022/8/21 31 black－ Scholes期權(quán)定價公式 ? 金融產(chǎn)品今天的價值，應(yīng)該等于未來收入的貼現(xiàn)： （ 3） ? 其中，由于風(fēng)險中性定價， E是風(fēng)險中性世界中的期望值。例如，在風(fēng)險中性世界中，無風(fēng)險利率為 10%，則股票上升的概率 P可以通過下式來求： ? 10= [11p+9(1p)] ? P=%。 f＝ ? 這就是說，該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為 ，否則就會存在無風(fēng)險套利機(jī)會。為了使該組合價值處于無風(fēng)險狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹担?3個月后該組合的價值不變，這意味著： ? 11Δ － =9 ? Δ = ? 因此，一個無風(fēng)險組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和 。 ? 由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于 3個月后股票的市價。 ? 盡管風(fēng)險中性假定僅僅是為了求解布萊克 —— 舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但 BS發(fā)現(xiàn)，通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。而受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。令 代表該投資組合的價值，則： 22221()2S S t S zf f f ff S S t S zS t S S??? ? ?
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