圓錐曲線中的探索性問題(文件)
【正文】 率的最小值為.4．已知橢圓C：＋＝1(ab0)的右焦點為F(1,0)，短軸一個端點B到F的距離等于焦距．(1)求橢圓C的方程；(2)過點F的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，是否存在直線l，使得△BFM與△BFN的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．解 (1)由已知得c＝1，a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)＝2等價于＝2，當直線l斜率不存在時，＝1，不符合題意，舍去；當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x－1)，由消去x并整理得，(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝－， ①y1y2＝－，② 由＝2得y1＝－2y2， ③由①②③解得k＝177。陜西)如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點A(0，－1)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)經(jīng)過點(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q(均異于點A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.(1)解 由題設知＝，b＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝，所以橢圓E的方程為＋y2＝1.(2)證明 由題設知，直線PQ的方程為y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，則x1＋x2＝，x1x2＝，從而直線AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.2．已知橢圓C：＋＝1(ab0)的右焦點為F(1,0)，且點P(1，)在橢圓C上，O為坐標原點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)設過定點T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍；(3)過橢圓C1：＋＝1上異于其頂點的任一點P，作圓O：x2＋y2＝的兩條切線，切點分別為M，N(M，N不在坐標軸上)，若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m，n，證明：＋為定值．(1)解 由題意得c＝1，所以a2＝b2＋1，又因為點P(1，)在橢圓C上，所以＋＝1，可解得a2＝4，b2＝3，所以橢圓C的標準方程為＋＝1.(2)解 設直線l方程為y＝kx＋2，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，因為Δ＝12k2－30，所以k2，又x1＋x2＝，x1x2＝，因為∠AOB為銳角，所以＋＋λ為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．解 (1)由已知，得點C，D的坐標分別為(0，－b)，(0，b)，又點P的坐標為(0,1)，且S△POR最大，只要y最大，而y的最大值為1，故滿足條件的P點存在，其坐標為P(0,1)和P(0，－1)．點評 存在性問題求解的思路及策略(1)先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確，則存在；若結論不正確，則不存在．(2)策略：①當條件和結論不唯一時要分類討論；②當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件．變式訓練3 (2015|xS|＝|xR取得最小值為－，當x1＝－時，y1＝，代入圓的方程得r2＝，故圓T的方程為(x＋2)2＋y2＝.③假設存在滿足條件的點P，設P(x0，y0)，則直線MP的方程為y－y0＝(x－x0)，令y＝0，得xR＝，同理xS＝，故xR的最小值，并求此時圓T的方程；③設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點．試問：是否存在使S△POS的值；(3)過點Q(1,0)任意作直線m(與x軸不垂直)與橢圓C交于M、N兩點，與l交于R點，＝x，＝y(tǒng)，求證：4x＋4y＋5＝0.(1)解 由題意可得b＝1，＝，∴a＝3，橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)解 設P(x0，y0)，則直線PA、PB的方程分別為y＝(x＋3)，y＝(x－3)，將x＝4分別代入可求得D，E兩點的坐標分別為D(4，)，E(4，)．由(1)知，F(xiàn)1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，∴|AB|＝＝|PB|＝m2.故存在常數(shù)λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|山東)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的長軸長為4，焦距為2.(1)求橢圓C的方程；(
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