【正文】 依測度收斂于，.證明 對任何正整數(shù),取，.由于，所以存在正整數(shù)，使,=1,2，…，….取. 由于 ，所以.顯然在上，（其實也是一致收斂的）.作，則在上，.以及.再由上限集定義，則對任何自然數(shù)有.因此.從而得到.定理2（勒貝格Lebesgue）設(shè)（1） ；（2） ；（3） ，則.證明 由葉果洛夫的證明，對任意.對任意，存在,則，于是，即在上依測度收斂于..要注意，這個條件是不能去掉的（見例2）.再結(jié)合例1，在條件下，.定理3 設(shè)，則在上幾乎處處成立.證明 由于，故對任何自然數(shù),從而.令，即得 .但是，故，.例3 設(shè)，：存在定義在上的一列連續(xù)函數(shù)，使得.證明 由于涉及可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)之間關(guān)系，由魯津定理，對任何正整數(shù)，存在的可測子集，使得，同時存在定義在上的連續(xù)函數(shù)，有，由此可得.因此，即，由里斯定理存在的子列，使得，.第四章習(xí)題解答：在上為可測函數(shù)的充要條件是對任一有理數(shù)，集可測，如果集可測，問是否可測？證明： 若對任有理數(shù)，可測，則對任意實數(shù)，記是大于的一切有理數(shù)，則有，由可測得是可測的，所以是上的可測函數(shù).若對任有理數(shù)，可測，則不一定是可測得.例如，則對任意有理數(shù)，.2. 設(shè)為上可測函數(shù)列，證明它的收斂點集和發(fā)散點集都是可測的.證明： 由167。一般的可測函數(shù)可以說是“基本上連續(xù)”.定理1（魯津），則對任意，存在閉子集,使在上是連續(xù)函數(shù)，且.簡言之，“基本上連續(xù)”的函數(shù).證明：從特殊到一般分三種情況來討論. 簡單函數(shù)情形設(shè)，各可測互不相交，且當(dāng)，對于，由于是可測集，從而可知存在閉子集，,則為閉集且.下證所以限制在上是連續(xù)函數(shù).有界可測情形若有界，則由第一節(jié)定理，存在可測簡單函數(shù)列，由，存在閉集,，則為閉集且.由于在上連續(xù)，且一致收斂于，因此在上連續(xù).一般的可測函數(shù)情形由于，則在上有界可測，由，存在閉集，使得在上連續(xù).因為，所以在上連續(xù)注：.先考慮簡單函數(shù)，然后再往一般的可測函數(shù)過渡，在許多場合下是行之有效的方法..連續(xù)函數(shù)一定是可測函數(shù)，可測函數(shù)基本上都是連續(xù)函數(shù)..魯津定理的逆定理成立.定理：設(shè)是上有限的可測函數(shù)，則對任意，存在閉集及整個上的連續(xù)函數(shù)（及依賴于），使得在上，及.證明：由定理，存在閉集，使在上連續(xù)且.下面將閉集上的連續(xù)函數(shù)延拓成整個上的連續(xù)函數(shù).由于是閉集，故是開集，從而是至多可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并集（這些區(qū)間中可能包括一到兩個無限長的區(qū)間），由于各的端點屬于，可將按下面方式在各中保持線性而且連續(xù)的延拓為：則為所求函數(shù)，事實上由的做法知，當(dāng)時有，并且有并且有及..下證中的點也是的連續(xù)點.任取，對任何，因為在上連續(xù)，必有，使得當(dāng)時，有.如果，所以在點左連續(xù).如果，設(shè)，那么當(dāng)時，有，.因此 而當(dāng)時，那么有的構(gòu)成區(qū)間，由式，有.因為的值介于與之間，因此對，式也成立，因此在點連續(xù).167。2 葉果洛夫定理在數(shù)學(xué)分析中知道，一致收斂是函數(shù)列很重要的性質(zhì)，.定理（葉果洛夫定理） 設(shè)，則對任意，存在子集，使在上一致收斂，且.證明 由條件，其中這是因為.用替代，不妨設(shè)，都是有限函數(shù)，且在上幾乎處處成立.由第一章167。定理：區(qū)間（不論開、閉或半開半閉區(qū)間）都是可測集合，且.定理：凡開集、閉集都是可測集.定理：凡博雷爾集都是可測集.定理：設(shè)是任一可測集，則一定存在型集，使，且.證明：先證對，存在開集,使，且若：,對，有一列開集，使得，且,則，則為開集，且.，即因為，從而因為,所以所以所以若：，則為無界集則它可以表示為可數(shù)個互不相交的有界可測集即：（為有界可測集），存在一列開集，使得令，則為開集，且 依次取由證明中的存在開集，使.令，則為型集，且故定理：設(shè)是任一可測集，則一定存在型集，使，且.證明：因為可測，所以可測，由定理，使得且令記為所以：為型集因為：,所以又所以結(jié)論成立.定理：若是一個可測集，則：是開集，（外正規(guī)性）：是緊集，（內(nèi)正規(guī)性）證明：若,則對于任意，所以式成立若，由定理，對，開集,使得，且因為 ,有 所以 .設(shè)為有界集，則存在有界閉區(qū)間,使得則對，開集,使得令為有界閉集，所以為緊集，因為又因為所以又若為無界集，對，令則為一列單增的可測集,由第二節(jié)定理8可知由可知對每個，存在緊集，使得，且，167。2 可測集在167。2 聚點，內(nèi)點，界點數(shù)學(xué)分析中，我們要將它擴展為更一般的開集和閉集，.設(shè)是維空間中的一個點集，是中的一個定點，：第一，在的附近根本沒有的點；第二，附近全是的點第三，附近既有的點，又有不屬于的點.針對這些情況我們給出下述定義.定義一 如果存在的某一鄰域，使，則稱為的內(nèi)點；如果是的內(nèi)點（這里余集是對全空間來做的，即，以后仿此），則稱為的外點；如果既非的內(nèi)點又非的外點，也就是：的任一鄰域內(nèi)既有屬于的點，也有不屬于的點，則稱為的界點或邊界點.上述三個概念中當(dāng)然以內(nèi)點最為重要，因為其他兩個概念都是由此派生出來的.定義二 設(shè)是中一點集，為中一定點，如果的任一鄰域內(nèi)都含有無窮多個屬于的點，則稱為的一個聚點.由聚點的定義可知有限集沒有聚點.顯然之內(nèi)點必為之聚點，但之聚點卻不一定是的內(nèi)點，之內(nèi)點一定屬于，但的聚點則可以屬于也可以不屬于.定理1 下面的三個陳述是等價的：（1）是的聚點；（2）在的任一鄰域內(nèi)，至少含有一個屬于而異于的點；（3）存在中互異的點所成點列，使. 證明 由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是顯然的，現(xiàn)在由(2)推出（3）.由假定在中至少有一點屬于而異于，令，則在中至少有一點屬于而異于，令，則在中又至少有一點屬于而異于，這樣無限繼續(xù)下去，便得到點列，它顯然滿足要求.再介紹一個派生的概念.定義三 設(shè)是中一點集，為中一定點，如果屬于但不是的聚點，則稱為的孤立點.由定理一可知：是的孤立點的充分必要條件是：存在的某鄰域，使.由此又知：的界點不是聚點便是孤立點.既然這樣，所有中的點，對來說又可分為聚點，孤立點，：中的點（對來說）｛ 注意，對于一個具體的點集來說，也可以不屬于.根據(jù)上面引入的概念，對于一個給定的點集，我們可以考慮上述各種點的集合，其中重要的是下面四種.定義4 設(shè)是中的一個點集，有（1）的全體內(nèi)點所成的集合，稱為的開核，記為，即；（2）的全體聚點所成的集合，稱為的導(dǎo)集，記為，即；（3）的全體界點所成的集合，稱為的邊界，記為，即；（4）（5）稱為的閉包，記為，由（2），.由（5）還可得到及閉包與內(nèi)核的對偶關(guān)系：定理2 設(shè)，則定理3 證明 因為，故從定理2，從而另一方面，假設(shè)，在內(nèi)除外不含的任何點，同時有的某一鄰域，在內(nèi)除外不含的任何點，則由鄰域基本性質(zhì)（3）知，存在，在中除點外不含的任何點，這與的假設(shè)矛盾.下面的定理告訴我們什么時候.定理4[博爾扎諾—魏爾斯特拉斯（Bolzano—Weierstrass）定理] 設(shè)是一個有界的無限集合，則至少有一個聚點.證明方法與數(shù)學(xué)分析中在與時的證明相同，在此略去，請讀者自行給出.定理5 設(shè)，則至少有一界點（即第三章 測度論從日常生活經(jīng)驗看，我們已經(jīng)使用了以下約定俗成的長度公理長度公理：設(shè)有實數(shù)直線上的一些點集所構(gòu)成的集合族，若對于每個，都對應(yīng)一個實數(shù)，使得⑴（非負性） ；⑵（有限可加性） 如果兩兩不相交，那么；⑶（正則性） .能夠量出“長度”的點集是很少的，中“有理數(shù)集合”是可數(shù)個點之并，就沒有長度可言，同樣，“無理數(shù)集合”，我們應(yīng)該修改長度公理，擴大集合族的范圍，使更多的集合具有新意義的長度，我們稱之為“測度”.非負性和正則性的要求非常自然，因而不能改，可以改的只有有限可加性，先設(shè)想把它改為“無限可加性”可以成立，那么中全體有理數(shù)和全體無理數(shù)所成集合的長度分別都是，于是區(qū)間的長度也是了，只是矛盾的。第一章習(xí)題解答：(1) (2) 證明： (1) (2) 2．證明：(1) (2) 證明：(1) (2) ，作證明是一列互不相交的集。一般的，當(dāng)進行到第n次時，一共去掉 個開區(qū)間，剩下 個長度是 的互相隔離的閉區(qū)間，而在第 次時，再將這 個閉區(qū)間各三等分，并去掉中間的一個開區(qū)間，如此繼續(xù)下去，就從 去掉了可數(shù)個互不相交（而且沒有公共端點）的開區(qū)間，因此由167。167。定理2 直線上的閉集F 或者是全直線，或者是從直線上挖掉有限個或可數(shù)個互不相交的開區(qū)間（即F 的余區(qū)間）所得到的集。用 記G的構(gòu)成區(qū)間，那么因此非空開集必然可以表示成可數(shù)個或有限個互不相交的開區(qū)間的和集。再證，如果不成立，那么，因為G是開集，必有區(qū)間 ，使得 這樣， ，因此 ，而，這就和是中的區(qū)間左端點的下確界相矛盾，所以，同樣有 ?，F(xiàn)在證明 是G的構(gòu)成區(qū)間。事實上，任意取，記為適合條件的開區(qū)間全體所構(gòu)成的區(qū)間集。因此不同的構(gòu)成區(qū)間不相交，因此不同的構(gòu)成區(qū)間不相交。證明 設(shè)G是直線上的一個非空開集，分以下幾步來論證。定義1 設(shè)G是直線上的開集。在直線上，開區(qū)間是開集。例如，空集是完備集， 中任一閉區(qū)間及直線都是完備集。但在一般度量空間中完全與定理6類似可以證明，緊集一定是有界閉集，但反之不然（見十一章167。m) 使得 (*)則，并且 (它們同樣覆蓋了（即） 證明 因是有界閉集，所以在中存在閉區(qū)間包含.記為由中的全體開集與開集一起組正的新開集族，則 覆蓋了因此也覆蓋了. 對于中的任一點，存在中開集 使得,因而存在開區(qū)間 并且，在這族開去開中存在有限個開區(qū)間，設(shè)為事實上，若有使 則由于 所以由下確界定義，存在點列 , 使因此，這與矛盾.同理任取，有（2）構(gòu)造.對每個，以為半徑，做的鄰域,令,則是開集且.同理，對每個，以為半徑做的鄰域,則是開集且（3）下證 若則存在， 由及的作法知必有，使和，即,同理，從而有注意到, 故有,由于 所以 因此 ,得到矛盾，這就證明了 注：兩個閉集不相交并不能推出它們之間的距離在數(shù)學(xué)分析中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了以下的海涅—博雷爾（Heine—Borel）有限覆蓋定理：設(shè)是中的閉區(qū)間，是一族開區(qū)間，它覆蓋了，則在 中一定存在有限個開區(qū)間，它們同樣覆蓋了我們下面要把上述定理推廣成更一般的形式。m），是閉集， 則有定理2知各是開集，從而由定理3 （或）也是開集，但由德摩根公式有故再利用定理2便知 是閉集.注意： 任意多個閉集的和不一定是閉集，例如 （3,4定理3 任意多個開集之并仍是開集，有限多個開集之交仍是開集.（開集的任意并，有限交仍為開集）證明 第一部分顯然，現(xiàn)證明第二部分。證明：（1）要證為閉集，若為的一個聚點設(shè)是開集，而是 的任一聚點，那么，的任一鄰域都有不屬于的點。又如在 中閉區(qū)間是閉集，但不是閉集。2 聚點，內(nèi)點，界點數(shù)學(xué)分析中，我們要將它擴展為更一般的開集和閉集，.設(shè)是維空間中的一個點集，是中的一個定點，：第一，在的附近根本沒有的點；第二，附近全是的點第三，附近既有的點，又有不屬于的點.針對這些情況我們給出下述定義.定義一 如果存在的某一鄰域，使，則稱為的內(nèi)點；如果是的內(nèi)點（這里余集是對全空間來做的，即，以后仿此），則稱為的外點；如果既非的內(nèi)點又非的外點，也就是：的任一鄰域內(nèi)既有屬于的點，也有不屬于的點，則稱為的界點或邊界點.上述三個概念中當(dāng)然以內(nèi)點最為重要，因為其他兩個概念都是由此派生出來的.定義二 設(shè)是中一點集，為中一定點，如果的任一鄰域內(nèi)都含有無窮多個屬于的點，則稱為的一個聚點.由聚點的定義可知有限集沒有聚點.顯然之內(nèi)點必為之聚點，但之聚點卻不一定是的內(nèi)點，之內(nèi)點一定屬于，但的聚點則可以屬于也可以不屬于.定理1 下面的三個陳述是等價的：（1）是的聚點；（2）在的任一鄰域內(nèi)，至少含有一個屬于而異于的點；（3）存在中互異的點所成點列，使. 證明 由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是顯然的，現(xiàn)在由(2)推出（3）.由假定在中至少有一點屬于而異于，令，則在中至少有一點屬于而異于，令，則在中又至少有一點屬于而異于，這樣無限繼續(xù)下去，便得到點列，它顯然滿足要求.再介紹一個派生的概念.定義三 設(shè)是中一點集，為中一定點，如果屬于但不是的聚點，則稱為的孤立點.由定理一可知：是的孤立點的充分必要條件是：存在的某鄰域，使.由此又知：的界點不是聚點便是孤立點.既然這樣，所有中的點，對來說又可分為聚點，孤立點，：中的點（對來說）｛ 注意，對于一個具體的點集來說，也可以不屬于.根據(jù)上面引入的概念，對于一個給定的點集，我們可以考慮上述各種點的集合，其中重要的是下面四種.定義4 設(shè)是中的一個點集，有（1）的全體內(nèi)點所成的集合，稱為的開核，記為，即；（2）的全體聚點所成的集合，稱為的導(dǎo)集，記為，即；（3）的全體界點所成的集合，稱為的邊界，記為，即；（4）（5）稱為的閉包，記為，由（2），.由（5）還可得到及閉包與內(nèi)核的對偶關(guān)系：定理2 設(shè)，則定理3 證明 因為，故從定