【正文】 歐氏空間中，而其中的元素稱為“點”，并且兩點之間有距離，所以習(xí)慣上把集合中元素間有某種關(guān)系、集合內(nèi)由某種結(jié)構(gòu)的集合，叫做空間或者點集.當(dāng)然，度量空間不僅限于數(shù)集和歐氏空間，擴大數(shù)學(xué)視野，形成一般的抽象空間的概念，是本章的任務(wù).167。例1 是定義在點集E上的函數(shù)=例2 設(shè)是定義在點集E上的函數(shù)列，則本章167。由于可數(shù)集合中元素比連續(xù)基數(shù)集中元素少得多，我們通常盡可能地用可數(shù)集合交并運算代替不可數(shù)集合的交并運算。至于對等于的一個子集，則是顯然的事實，因為那些只含一個元素的子集自然是作成對等于的一個子集。但是如果，那么由的定義，又應(yīng)該屬于，因為包括了所有的。若，則與之定義矛盾。假設(shè)不然，即，則對應(yīng)于每個，都應(yīng)有的子集與之對應(yīng)。定理6 設(shè)是任意的一個集合，它的所有子集作成新的集合，則。事實上，對于每一個被并的集，使之與平面上平行于軸的直線上全體點所成集合作成一一對應(yīng)，也就得到所述的并集與平面上全體點所成集合作成了一一對應(yīng)。反之，對A中的任何按十進位無限的小樹表示 有 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 由上述一列數(shù)，作一小數(shù)ψ（x）： ψ（x）=…顯然ψ（x）而且當(dāng)x≠y時ψ（x）≠ψ（y）.由映射ψ，A也對等的一個子集，所以由伯恩斯坦定理得A～,定理得證. 設(shè)n為一個正整數(shù)，稱由n個實數(shù)，按確定的次序排成的數(shù)組全體稱為n維歐幾里得空間，記為，每個組稱為維歐幾里得空間的點。分析：①∵，∴的基數(shù)為 ②則的基數(shù)為 ③則的基數(shù)也為定理3 設(shè)是一列互不相交的集合，它們的基數(shù)都是，則的基數(shù)也是證明：設(shè)則 (m≠n),但，故,從而于是由定理2即得。以后稱為連續(xù)基數(shù)（有時記為）。因此是不可數(shù)集合。 現(xiàn)用反證法：假設(shè)中的全體實數(shù)可排列成一個序列將每個表示成正規(guī)的無窮小數(shù)：現(xiàn)在設(shè)法在中找一個與所有這些實數(shù)都不同的實數(shù)。首先中每一個實數(shù)都可以唯一地表示為十進位無窮小數(shù)： 的形式，其中各是0，1，9中的一個數(shù)字，不全為9，且不以0為循環(huán)節(jié)，我們稱實數(shù)的這種表示為一個正規(guī)表示。證明: 由167。不是可數(shù)集合的無限集合我們稱為不可數(shù)集合。5 不可數(shù)集合到目前為止，在無限集合中我們只討論了可數(shù)集，是不是無限集合都是可數(shù)集合呢？如果真是這樣的話，那么所有無限集合將只能具有同一的基數(shù)，而基數(shù)概念的引進也將沒有什么意義了。）證明：(1) 且,是A的子集B(記為)對等，又,則A的子集與C的子集對等，即得到(2)且，.終上所述，得到，從而.167。設(shè)且,則,.事實上，有假設(shè)知再有伯恩施坦定理知,從而,故.證明：設(shè)且,則。于是在同一映射之下，有這樣我們可以把A分解為一系列互不相交的子集的并：其中,類似地，其中，易知,有因為映射是一一映射，容易看出：，顯然，我們可以把A及的上述分解寫成它們的對應(yīng)項在映射之下是對等的，從而有,而,所以,注意：這一定理給我們提供了一個判定兩個集合對等的有力工具。那么實現(xiàn)了A到上的一一對應(yīng)。如果A對等與B的一個子集，B又對等與A的一個子集，那么A對等于B.注 利用基數(shù)的說法是：設(shè).證明 有假設(shè)，存在A到B得子集上的一一映射及B到A得子集上的一一映射。一下是對第二個問題的回答。 (2) (對稱性)。由此可以看出無限集與有限集之間的深刻差異。BAo例3和例4說明，一個無限集可以和它的一個真子集對等（可以證明，這一性質(zhì)正是無限集的特征，常用來作為無限集的定義）。這告訴我們，一個較大的線段并不比另一個線段較短線段含“個多的點”。例5設(shè)A與B是兩個同心圓周上的點集（），對A上每一點x與同心圓的連線與B相交且只交于一點。注：有限集合的一個不依賴與于元素個數(shù)概念的定義，例如A的總個數(shù)與正整數(shù)的某個截斷相對應(yīng)。如通常所認為的那樣，空集所含元素的個數(shù)為0，而非空有限集的典型特性應(yīng)該是具有一個標(biāo)志其元素個數(shù)的正整數(shù)，而確定非空有限集A中元素個數(shù)的方法是把A中元素一個一個的“數(shù)”.這等于將A 中各元素按任一方式給它們編號: 其中時, 和是不同的元素,這樣就A和正整數(shù)的某一截斷一對一地對應(yīng)起來,最后對應(yīng)的一個正整數(shù)n顯然就是A的元素”個數(shù)”.有此不難推知,兩個非空有限集合元素個數(shù)相同的充要條件,是它們能夠和正整數(shù)數(shù)列的同一截斷一一對應(yīng),如果一個每個人都有一個座位,而且每個座位上都有且只有一個人,那么我們根本不用一個一個地去”數(shù)”,便立刻知道教室中人數(shù)和座位數(shù)是相同的.上述的討論雖然只適用與非空有限集,..定義1 設(shè)A,B為兩個非空集合,如果有某一法則,使每個有唯一確定的和它對應(yīng),則稱為A到B內(nèi)的映射,記為. 當(dāng)映射使和對應(yīng)時, 稱為在映射下的像,記作,也可表示為對于任一固定的y,記作,設(shè)C是A的子集,C中所有元素的像的全體,記作: ,稱它是集C在之下的像, 稱為映射的值域,記作:.記憶方法： 映射 函數(shù) 函數(shù)有反函數(shù)定義2設(shè)A和B是非空集合,若存在從集合A 到B上的一一映射,即滿足:(1) 單射:對任意,若,使得。定理3⑴； ⑵證明 我們利用來證明⑴，.設(shè)，則對任意取定的，總有，使，即對任何，總有，設(shè)，則對任意的，總有，即總存在，有，所以，因此，即.⑵式可同樣證明.用定理3，例12中的⑴式和⑵式可分別簡寫為，.如果，則稱收斂，則單調(diào)數(shù)列總有極限，在集合論中也有類似的結(jié)論.如果集列滿足，則稱為增加（減少）：，則，如果減少，.例15 設(shè)是定義在上的有限函數(shù)，若，則是增加數(shù)列，且；若，則是減少集列，易知.若是集合，則稱為的直積，記為或.類似地，. 對等與基數(shù)本節(jié)主要研究集合中元素的“個數(shù)”的多少，以及怎樣從有限推廣到無限集。例12 設(shè)是定義在E上的函數(shù)列，若x是使收斂與0的點，則對任意的，存在,使得對任意即 用德摩根公式 三重的交并運算，在以后各章會多次出現(xiàn)集合列的上極限和下極限 設(shè)是任意一列集合，由屬于上述集合列中無限多個集合的那種元素的全體所組成的集合稱為這一集合列的上極限或上限極，記作或它表示為 讀者不難證明， 對集合列那種有限個下標(biāo)外，屬于集合列中每個集合的元素全體所組成的集合稱這個集合列的下限集或下極限，記為或者顯然例13 設(shè)是如下一列點集 我們來的上下極限。 數(shù)學(xué)分析中國的很多定義，命題涉及任意和存在這兩個邏輯量詞，它們的否定說法是把任意改為存在，而把存在改為任意，在集合論中，德摩根公式很好的反映了數(shù)學(xué)分析中這種論述的合理性。這表面，集合運算的分配律，在無限并的情況下依然成立 集合的差集和余集若A和B是集合，稱為A和B是差集，A\B也可以記為AB，： 當(dāng)我們討論集合都是某個大集合S的子集時，我們稱為A的余集，并記為在歐式空間中，寫成當(dāng)全集確定時，顯然因此研究差集運算可以通過研究余集運算來實現(xiàn)。若則對任意n即 ，由n的任意性，；反之，若，對任意n， ，因此c是的一個上界，于是即 定理1 （交換律）證明 我們只證明 先設(shè)則有且有 于是這證明了 在證反過來的包含關(guān)系，設(shè)，則有 ,此即，因此于是。習(xí)慣上，當(dāng)為有限集時，寫成,而寫成 例若是定義在E上的函數(shù)，則 例若則存在唯一的使 （區(qū)間套定理）。習(xí)慣上，當(dāng)為有限集時，寫成,而寫成。 集合的并集設(shè)A,B是任意兩個集合，設(shè)C由一切或?qū)儆贏或?qū)儆贐的元素所組成，則我們稱C為A,B的并集或和集，簡稱為并或和，記為它可以表示為 。若D是R中的集合，則={:∈E ,},稱之為D的原像，在不至混淆時，{：∈E，滿足條件p}可簡寫成{:滿足條件}.若集合A和B滿足關(guān)系：對任意∈A,可以得到x∈B，則成A是B的子集，記為AB或BA，若A B但A并不與B相同，則稱A是B的真子集.例7. 若在R上定義，且在[a,b]上有上界M，即任意對∈[a,b]：[a,b] {：M}.用集合語言描述函數(shù)性質(zhì)，是實變函數(shù)中的常用方法，請在看下例.例8. 若在R上連續(xù)，任意取定∈R,對任意0,存在,即.若集合A和B滿足關(guān)系：AB且BA,則稱A和B相等，記為A=B.例9 設(shè)在R上定義，且在R上有上界M，則 R={：M}={：M+1}例10 若在[a,b]上連續(xù)，則由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，其中，.167。一個具體集合A可以通過例舉其元素來定義，可記也可以通過該集合中的各個元素必須且只需滿足的條件p來定義，并記為A={x：x滿足條件p}如例1可以表示為｛4，7，8，3｝例3可以表示為設(shè)A是一個集合，x是A的元素，我們稱x屬于A，記作，x不是A的元素，記作。例1 4，7 ，8，3四個自然數(shù)構(gòu)成的集合。1 集合的表示集合是數(shù)學(xué)中所謂原始概念之一，不能用別的概念加以定義，就目前來說，我們只要求掌握一下樸素的說法：在一定范圍內(nèi)的個體事物的全體，當(dāng)將它們看作一個整體時，我們把這個整體稱作一個集合，其中每一個個體事物叫做該集合的元素。實變函數(shù)論建立在實數(shù)理論和集合論的基礎(chǔ)上，對于實數(shù)的性質(zhì)，我們假定讀者已經(jīng)學(xué)過，所以本書只是介紹集合論方面的基本知識。第一章 集合早在中學(xué)里我們就已經(jīng)接觸過集合的概念，以及集合的并、交、補的運算，因此這章的前兩節(jié)具有復(fù)習(xí)性質(zhì)，不過，無限多個集合的并和交，是以前沒有接觸過的，它是本書中常常要用到，是學(xué)習(xí)實變函數(shù)論時的一項基本功?？低袪栐?9世紀創(chuàng)立了集合論，對無限集合也以大小，多少來分，例如他斷言：實數(shù)全體比全體有理數(shù)多，這是數(shù)學(xué)向無限王國挺近的重要里程碑，也是實變函數(shù)論的出發(fā)點。167。順便說明一下，一個集合的各個元素必須是彼此互異的，哪些事物是給定集合的元素必須是明確的，下面舉出幾個集合的例子。 例2 全體自然數(shù)例3 0和1之間的實數(shù)全體例4 上的所有實函數(shù)全體例5 A,B,C三個字母構(gòu)成的集合例6 平面上的向量全體全體高個子并不構(gòu)成一個集合，因為一個人究竟算不算高個子并沒有明確的界限，有時難以判斷他是否屬于這個集合。為方便表達起見，表示不含任何元素的空集，例如 {：1}=習(xí)慣上，N表示自然數(shù)集，（本書中的自然數(shù)集不包含0），Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集.設(shè)是定義在E上的函數(shù)，記={ ：∈E}，稱之為f的值域。2 集合的運算從給定的一些集合出發(fā)，我們可以通過所謂集合的運算做出一些新的集合，其中最常見的運算有并、交、減法三種，實變函數(shù)中大量使用無限并和無限交的運算。 并集的概念可以推廣到任意多個集合的情形，設(shè)有一簇集合,其中是在固定指標(biāo)集中變化的指標(biāo)；則由一切的所有元素組成的集合稱為這族集合的并集或和集，記為，它可以表示為： 注意，按照集合的定義，重復(fù)出現(xiàn)在兩個被并集合中的元素在做并運算時只能算一次。例1設(shè)和是定義在E上的函數(shù)，則對任意 例2. 例3若記例4 若是一族開區(qū)間，而，則存在使得 （有限覆蓋定理）例5若是定義在E上的函數(shù)，則集合的交集 設(shè)A,B是任意兩個集合，由一切既屬于A又屬于B的元素組成的集合C稱為A和B的交集或積集，簡稱為交或積，記作,它可以表示為 交集的概念也可以推廣到任意多喝集合的情形設(shè) 是任意集族，其中是在固定指標(biāo)集中變化的指標(biāo)；則由一切的所有元素組成的集合稱為這族集合的交集或積，記為，它可以表示為： 若 ，說明所有的沒有公共的元素。 例8 若是定義在E上的一列函數(shù)，則對任意，（1）（2） 證明 我們只證明（1），（2）的證明類似的，請讀者自證。綜合起來，便是等式成立。例9 例10 若定義在集合E上，S=E,則在集合論中處理差集或余集運算式時常用到以下公式定理2（德摩根公式）若是一族集合，則 證明 （1）的證明，設(shè)則，因此對任意即對任意， 從而 反之，設(shè)，則對任意即對任意則從而綜合可得 例11 設(shè)是定義在E上的函數(shù)列，若則有界的充分必要條件是存在M0,使得對任意n，注意到與存在相對應(yīng)的是并集的運算，與任意相對應(yīng)的是交集的運算，從而 用德摩根公式，有其中為正實數(shù)集。 請讀者注意：我們怎樣把描述函數(shù)列性質(zhì)的語言，轉(zhuǎn)換為集合語言。因為閉區(qū)間中的點屬于，n=1，2，3，4，而對于開區(qū)間（1，2）中的每一個點x，必存在自然數(shù)N使得當(dāng)nN時候： 即當(dāng)時，換句話說，對于開區(qū)間（0，2）中的x具有充分大的奇數(shù)指標(biāo)的集含有x即中無限多個集合含有x，而充分大的偶數(shù)指標(biāo)集都不含有x即中的集合不會是有限個，又區(qū)間 以外的點都不屬于任意，因此 例14 設(shè),則對任意除有限個外，即除有限個n外因此，由的任意性，再由極限的唯一性， 上下極限還有用交集與并集來表