【正文】 充分而不必要條件 . [2 分 ] 由 q ： x 2 － 2 x ＋ 1 － m 2 ≤ 0 ，得 1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m ， ∴ q ： Q ＝ { x |1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m } . [4 分 ] 由 ?? ??1 － x － 13 ≤ 2 ，解得－ 2 ≤ x ≤ 10 ， ∴ p ： P ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 10 } . [6 分 ] ∵ p 是 q 的充分而不必要條件， ∴ P Q ，即????? m 0 ，1 － m ≤ － 2 ，1 ＋ m ≥ 10 ， 解得 m ≥ 9. [ 12 分 ] 方法二 ∵ ? p 是 ? q 的必要而不充分條件， ∴ p 是 q 的充分而不必要條件 . [2 分 ] 由 q ： x 2 － 2 x ＋ 1 － m 2 ≤ 0 ，得 1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m ， ∴ q ： Q ＝ { x |1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m } . [4 分 ] 由 ?? ??1 － x － 13 ≤ 2 ，解得－ 2 ≤ x ≤ 10 ， ∴ p ： P ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 10 } . [6 分 ] ∵ p 是 q 的充分而不必要條件， ∴ P Q ，即????? m 0 ，1 － m ≤ － 2 ，1 ＋ m ≥ 10 ， 解得 m ≥ 9. [ 12 分 ] 方法二 ∵ ? p 是 ? q 的必要而不充分條件， ∴ p 是 q 的充分而不必要條件 . [2 分 ] 由 q ： x 2 － 2 x ＋ 1 － m 2 ≤ 0 ，得 1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m ， ∴ q ： Q ＝ { x |1 － m ≤ x ≤ 1 ＋ m } . [4 分 ] 由 ?? ??1 －x － 13 ≤ 2 ，解得－ 2 ≤ x ≤ 10 ， ∴ p ： P ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 10 } . [6 分 ] ∵ p 是 q 的充分而不必要條件， ∴ P Q ，即????? m 0 ，1 － m ≤ － 2 ，1 ＋ m ≥ 10 ， 解得 m ≥ 9. [ 12 分 ] ∵ p是 q的充分而不必要條件， ≥0,1 2 ,1 1 0 ,mmm???? ? ? ??? ??≥ 以0,1 2 ,1 1 0 .mmm??? ???? ???≤或 ≥ 9 9 ,mm ?即 或[12分 ] .PQ? 220。 ，因此 ④ 正確 . 變式訓(xùn)練 2主頁 題 型 三充要條件的證明 例 3. 求證：關(guān)于 x的方程 ax2＋ 2x＋ 1＝ 0至少有一個負實根的充要條件是 a≤ 1. 證明 ： 充分性： 當 a ＝ 0 時， 方程為 2 x ＋ 1 ＝ 0 ，其根為 x ＝－ 12 ， 方程有一個負根，符合題意 . 當 a 0 時， Δ ＝ 4 － 4 a 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個不相等的實根， 且 1a 0 ，方程有一正一負根，符合題意 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? － 2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 a 0 時 , Δ ＝ 4 － 4 a 0 , 方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個不相等的實根 , 且 1a 0 ，方程有一正一負根，符合題意 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ????? －2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 證明 ： 充分性： 當 a ＝ 0 時， 方程為 2 x ＋ 1 ＝ 0 ，其根為 x ＝－ 12 ， 方程有一個負根，符合題意 . 當 a 0 時， Δ ＝ 4 － 4 a 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個不相等的實根， 且 1a 0 ，方程有一正一負根，符合題意 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? －2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ????? － 2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 a 0 時 ,Δ ＝ 4 － 4 a 0 , 方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個不相等的實根 , 且 1a 0 ，方程有一正一負根，符合題意 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? － 2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? － 2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 0 a ≤ 1 時， Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0 ，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有實根， 且 ??? －2a 01a 0 ，故方程有兩個負根，符合題意 . 綜上知：當 a ≤ 1 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 2 0,1 0aa?????? ??且主頁 綜上知：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一負根，則 a ≤ 1. 故關(guān)于 x 的方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根的充要條件是 a ≤ 1. 必要性：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 a ＝ 0 時，方程為 2 x ＋ 1 ＝ 0 符合題意 . 當 a ≠ 0 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 應(yīng)有一正一負根或兩個負根 . 則 1a 0 或 ??? Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0－ 2a 01a 0.解得 a 0 或 0 a ≤ 1. 綜上知：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一負根，則 a ≤ 1. 故關(guān)于 x 的方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根的充要條件是 a ≤ 1. 綜上知：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一負根，則 a ≤ 1. 故關(guān)于 x 的方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根的充要條件是 a ≤ 1. ≥則 或4 4 0120 0 ,1 0aaaa?? ? ???? ? ???? ??必要性：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 a ＝ 0 時，方程為 2 x ＋ 1 ＝ 0 符合題意 . 當 a ≠ 0 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 應(yīng)有一正一負根或兩個負根 . 則 1a 0 或 ??? Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0－ 2a 01a 0 . 解得 a 0 或 0 a ≤ 1. 綜上知：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一負根，則 a ≤ 1. 故關(guān)于 x 的方程 ax2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根的充要條件是 a ≤ 1. 必要性：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 必要性：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根 . 當 a ＝ 0 時，方程為 2 x ＋ 1 ＝ 0 符合題意 . 當 a ≠ 0 時，方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 應(yīng)有一正一負根或兩個負根 . 則 1a 0 或 ??? Δ ＝ 4 － 4 a ≥ 0－ 2a 01a 0 . 解得 a 0 或 0 a ≤ 1. 綜上知：若方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一負根，則 a ≤ 1. 故關(guān)于 x 的方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 至少有一個負根的充要條件是 a ≤ 1. (1)條件已知證明結(jié)論成立是充分性 ， 結(jié)論已知推出條件成立是必要性 .(2)證明分為兩個環(huán)節(jié) ， 一是充分性；二是必要性 .證明時 ， 不要認為它是推理過程的 “ 雙向書寫 ” ， 而應(yīng)該進行由條件到結(jié)論 ， 由結(jié)論到條件的兩次證明 .(3)證明時易出現(xiàn)必要性與充分性混淆的情形 ， 這就要分清哪是條件 ， 哪是結(jié)論 . 探究提高主頁 變式訓(xùn)練 3證明 : 充分性：當 q ＝－ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q ＝ p － 1. 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . 當 n ＝ 1 時也成立 . 于是 a n ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p ( n ∈ N * ) ， 即數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列 . 已知數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn＝ pn＋ q(p≠0，且 p≠1)，求證：數(shù)列 {an}為等比數(shù)列的充要條件為 q＝－ 1. 證明 : 充分性：當 q ＝－ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q ＝ p － 1. 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . 當 n ＝ 1 時也成立 . 于是 a n ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p ( n ∈ N * ) ， 即數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列 . 證明 : 充分性：當 q ＝－ 1 時， a1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q ＝ p － 1. 當 n ≥ 2 時， an ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . 當 n ＝ 1 時也成立 . 于是 a n ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p ( n ∈ N * ) ， 即數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列 . 證明 : 充分性：當 q ＝－ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q ＝ p － 1. 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . 當 n ＝ 1 時也成立 . 于是 a n ＋ 1an＝ pn ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 ) ＝ p ( n ∈ N* ) ， 即數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列 . 證明 : 充分性：當 q ＝－ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ p ＋ q ＝ p － 1. 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ p n － 1 ( p － 1) . 當 n ＝ 1 時也成立 . 于是 a n ＋ 1a n ＝ p n ( p － 1 )p n － 1 ( p － 1 )