【正文】 ?a＝ 180?mm， b＝ 400?mm， ??＝ 60?， F＝ 100?N。 ② 實踐證明， 力偶只對物體產(chǎn)生純轉(zhuǎn)動效應(yīng) ，因此，只改變物體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。 ?? 力偶矩的正負(fù)號規(guī)定： 逆時針方向轉(zhuǎn)動為正，順時針方向轉(zhuǎn)動為負(fù) 。 若兩個力偶的三要素相同，則這兩個力偶彼此等效。 力偶只能與力偶等效。 推論（ 1） 力偶可以在作用面及平行于作用面的平面內(nèi)任意搬移，而不會改變對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。 2． 2． 4 平面力偶系的合成與平衡 1．合成 作用在剛體上同一平面內(nèi)的若干個力偶所組成的系統(tǒng)，稱為 平面力偶系 。 dFM ?? 分別將作用在 ?A?點的兩個力和 B 點的兩個力進(jìn)行合成（設(shè) F3＞ F4），可得 43R FFF ?? 43R FFF ????? FR?與 RF? 為一對等值、反向、不共線的平行力，它們組成的力偶就是原來兩個力偶的合力 偶，其合力偶矩為 214343R 即 i 0M?? （ 210） 這就是平面力偶系的 平衡方程，應(yīng)用該方程可以求解一個未知量。如果工件在 A、 B 兩處用螺栓固定， A 和 B 之間的距離 l=，試求兩螺栓在工件平面內(nèi)所受的力。 證 如圖所示 29 ）（ FBMdFM ?? 合力與原力矢量相等，其作用線平移的距離為 Md F? 合力的作用線在原力作用線的哪一側(cè)應(yīng)根據(jù)力偶的轉(zhuǎn)向確定 。 單元教學(xué)設(shè)計 以生活、工程實例 、動畫 幫助學(xué)生對知識點 技能點的理解來完成培養(yǎng)目標(biāo)。 ? ? ? ? ? ? ? ??????? iOnOOOO MMMMM FFFF ?21 （ 22） 綜上所述可知， 平面力系向一點（簡化中心）簡化的一般結(jié)果是一個力和一個力偶：這個力作用于簡化中心，稱為原力系的主矢，它等于原力系中所有各力的矢量和；這個力偶的矩稱為原力系對簡化中心的主矩，它等于原力系中所有各力對于簡化中心力矩的代數(shù)和 。 這時又可分為兩種情況 : ① 當(dāng) Ｍ o＝ 0時，則作用于簡化中心的力 Ｆ Rˊ就是原力系的合力 Ｆ R。 2．若主矢 Ｆ Rˊ＝ 0，主矩 Ｍ o≠0，則 原力系簡化的最后結(jié)果為一個力偶，此力偶稱為平面力系的合力偶 ， 其力偶矩等于主矩，即 M=Ｍ o=∑Ｍ o(Ｆ i)。已知 F1=200 N， F2=150 N， F3=100 N。 2 2 2 2R R R R( ) ( ) ( 5 0 N ) ( 7 3 . 2 1 N ) 8 8 . 6 5 N39。Md F ?? ? ? 因為 AM 為逆時針，故最終合力的作用線在 A 點的右邊如圖 225d 所示。 2． 4 平面力系的平衡方程及其應(yīng)用 平面力系的平衡條件與平衡方程 平面力系平衡的充分與必要條件是力系的主矢和力系對任意點的主矩都等于 零 。水平梁 AB 自重 =4 kNG ，載荷 P=10 kNF ，尺寸單位為 m， BC 桿自重不計，求拉桿 BC 所受的拉力和鉸鏈 A 的約束反力。這些力的作用線可近似認(rèn)為分布在同一平面內(nèi) ,如圖 227b 所示。 討論： 計算結(jié)果正確與否，可任意列一個上邊未用過的平衡方程進(jìn)行校核。起重機(jī)的重心 C 到轉(zhuǎn)動軸的距離為 m，其他尺寸（均以 m計）如圖所示。 （ 2）選取坐標(biāo)系 Axy，如圖 b 所示，列平衡方程并求解： 00ix A x BF F F? ? ?? 36 P00i y A xF F F W? ? ? ?? P( ) 0 5 m 1 . 5 m 3 . 5 m 0A i BM F F W? ? ? ? ? ? ? ?? F 解得： 31kNBF ?? 3 1 k N5 0 k NA x BAyFFF ? ? ?? FB 為負(fù)值，說明它的方向與受力圖中假設(shè)的方向相反，即正確的指向應(yīng)向左。如果力系又滿足 0iyF ?? ，而投影軸 x 不垂直于 AB連線，顯然力系不可能有合力，因此，力系必為平衡力系。任何第四個方程只是前三個的線性組合，因而都不是獨立的，我們可以利用這個方程來校核計算的結(jié)果。 平面特殊力系的平衡方程 （ 1）平面匯交力系 顯然，平面匯交力系平衡時，亦應(yīng)滿足平面力系的平衡方程式。各力在 x 軸上的投影均為零。 故此 只能求解兩個未知量。 例 211 如圖所示 ,物重 20kNG? ,用鋼絲繩經(jīng)過滑輪 B 再纏繞在絞車 D 上?；喪茕摻z繩拉力 FT1 與 FT2 作用，且 T1 T2F F G??。 T 1 T 20 c o s 6 0 c o s 3 0 0i x B AF F F F? ? ? ? ? ? ?? T 1 T 20 c o s 3 0 c o s 6 0 0i y B CF F F F? ? ? ? ? ?? 圖 233 39 T 1 T 21 3 1 3 7. 32 kN2 2 2 2BAF F F G G? ? ? ? ? ? T 1 T 23 1 3 1 2 7 .3 2 k N2 2 2 2BCF F F G G? ? ? ? ? FAB 為負(fù)值，表示此力的實際指向與圖示相反，即 AB 桿受壓力。 解 （ 1）取 AB 梁為研究對象，畫受力圖。 （ 3）列平衡方程如下： P( ) 0 2 0A i B qaaM F a M F a? ? ? ? ?? 2F ① P00y A BF F F q a F? ? ? ? ?? ② 解方程 ① 、 ② 得： P 2 0 k N /m 0 .8 m 1 6 k N m2 2 2 0 k N 1 2 k N2 0 .8 mB q a MFF a ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 P 2 0 k N 2 0 k N / m 0 . 8 m 1 2 k N 2 4 k NABF F q a F? ? ? ? ? ? ? ? 圖 235 40 【教學(xué)內(nèi)容】 課程名稱 工程力學(xué) 教學(xué)單元名稱 2． 5 物體系統(tǒng)的平衡問題 單元能力培養(yǎng)目標(biāo) 了解靜定與靜不定問題的概念及物體系統(tǒng)平衡問題的解法。 1． 靜定問題 ：所有 未知量的數(shù)目少于或等于獨立的平衡方程的數(shù)目的問題 。靜不定問題的解法將在第二篇材料力學(xué)中介紹。 例 214 如圖 239a 所示的組合梁由梁 AB 和 BC 用中間鉸 B 連接而成，支承和載荷情況如圖所示?？梢姡?AB 和 BC 均受平面任意力系的作用，對兩部分總可以列出 23=6 個獨立的平衡方程。這時， FBx、 FBy、 BxF? 、 ByF? 屬于內(nèi)力，不必畫出。 （ 2）考察組合梁整體的平衡（圖 d） ，列出平衡方程： 圖 239 43 0 s i n 0i x A x CF F F ?? ? ? ?? (2) 0 c o s 2 0i y A y CF F F q F?? ? ? ? ? ? ?? (3) ( ) 0 c o s 4 2 3 0A i A CM M F q l F?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? F (4) 將（ 1）代入（ 2）、（ 3）、（ 4）式分別解得： 10kN20kN30kNmAxAyAFFM??? 考察梁 AB、 BC 和組合梁整體的平衡 （ 圖 b、 c、 d），總共可列出 9 個平衡方程，但其中只有 6 個是獨立的。 例 215 三鉸拱廠房屋架如圖 240a 所示，每一半拱架重 G=45 kN，風(fēng)壓力的合力 R 12kNF ? ，各力的作用線位置如圖，長度單位為 m。經(jīng)分析題中的未知量也是 6 個 （ 圖 240c、 d），故此題是靜定問題。 RR( ) 0 16 2 14 5 0( ) 0 14 2 16 5 01( 12 kN 5 m 45 kN 2 m 45 kN 14 m ) kN161( 12 kN 5 m 45 kN 2 m 45 kN 14 m ) kN16A i B yB i A yByAyM F G G FM G G F FFF? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???解 得 ：FF R00i x A x B xF F F F? ? ? ?? ① 尚有兩個未知力 FAx 和 FBx 不能從方程 ① 中解出。 至此 A、 B、 C 三個鉸鏈處的約束反力已全部求出。如果這些解是正確的，應(yīng)能滿足這些方程。由左半拱的受力圖，如圖 239a 所示，這時應(yīng)注意 FCx 與 F′Cx、 FCy與 F ′Cy 互為作用力 與反作用力。 （ 2）考察右半拱 CB的平衡，作其受力圖，如圖 239d 所示。 （ 1）考察整體的平衡，作其受力圖，如圖 240b 所示。 解 本題是求解由兩個半拱組成的物體系統(tǒng)的平衡問題。所以，計算獨立平衡方程總數(shù)時，只對每個物體的平衡方程數(shù)計算后相加，而不應(yīng)將整體的平衡方程數(shù)目包括在內(nèi)。我們可以從未知力數(shù)目較少的圖 c 著手，求出 FC后，再由圖 d 求出其余的三個未知量 FAx、 FAy、 MA。因此， 本題是靜定的 問題 。試求支座 A、 C 的約束反力。 ② 系統(tǒng)外力： 物體 系統(tǒng)所受的 主動力和 外部約束反力 。 3． 靜不定問題 的次數(shù) =所有 未知量的數(shù)目 — 獨立平衡方程數(shù)目 如下圖所示， a圖為靜定問題， b圖為靜不定問題。 單元教學(xué)設(shè)計 以工程實例 、動畫 幫助學(xué)生對知識點 技能點的理解來完成培養(yǎng)目標(biāo)。這些力組成一平衡的平面平行力系，如圖 235b 所示。 P 2 0 k N , 1 6 k N m , 2 0 k N / m , = 0 . 8 mF M q a? ? ?。 （ 2）由于兩未知力 FBA 和 FBC相互垂直，故選取坐標(biāo)軸 x， y 如圖 234d 所示。設(shè)兩桿和滑輪的自重不計 ,并略去摩擦和滑輪的尺寸 ,求平衡時桿 AB 和 BC 所受的力。載荷集度的單位是 N/m或 kN/m。因此平面平行力系獨立的平衡方程為 0( ) 0iyOiFM???? F 二矩式為 ( ) 0( ) 0AiBiMM????FF 其中， 矩心 A、 B 兩點的連線不能與各力的作用線平行。即 00xyFF????????? （ 2）平面平行力系 若取 x 軸與各力的作用線垂直。 ② 選取坐標(biāo)軸和矩心； 由于坐標(biāo)軸和矩心的選擇是任意的 ,在選擇時應(yīng)遵循以下原則 : a、坐標(biāo)軸應(yīng)與盡可能多的未知力垂直 (或平行 )； b、矩心應(yīng)選在較多未知力的匯交點處 . ③ 將各個力向兩坐標(biāo)軸投影 ,對矩心取力矩建立平衡方程求解； ④ 校核。 以上討論了平面力系的三種不同形式的平衡方程，在解決實際問題時，可根據(jù)具體條件選擇其中某一種形式。 這是因為平面任意力系滿足( ) 0AiM ?? F ，則表明該力系不可能簡化為一力偶，只可能是作用線通過 A 點的一合力或平衡。 解 （ 1） 以起重機(jī)為研究對象，畫出受力圖。 例 29 起重機(jī)重 10kNW? ，可繞鉛垂軸 AB 轉(zhuǎn)動。 35 （ 3）各個力向 x,y 軸投影 ,并對 A 點取力矩建立平衡方程。梁 AB 除受到主動力 G、FP 作用外，還有未知約束反力，包括拉桿的拉力 FT 和鉸鏈 A 的約束反力 FAx、 FAy。前者說明力系對剛體無任何方向的移動效應(yīng)；后者說明力系使剛體無繞任一點的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。 如圖 226a 所示， 坐標(biāo)位置如圖示，試將此力系向點 O 簡化。R39。求這三個力的合成結(jié)果。 3．若主矢 Ｆ R′＝ 0，主矩 Ｍ o＝ 0，這說明原力系合成為零力系，則原力系平衡，這種情況將在下一章重點討論。 32 ② 當(dāng) Ｍ o≠0時，原力系簡化為作用線通過簡化中心的一個力 Ｆ Rˊ和一個矩為 Ｍ o的力偶，如圖 2－ 5a所示，根據(jù)力的平移定理的逆定理，可以把此力與力偶進(jìn)一步合成為一合力 Ｆ R 。 主矩一般隨簡化 中心的位置不同而改變 。 主矢 —— 合矢量 Ｆ Rˊ，體現(xiàn)原力系對剛體的移動效應(yīng)。