【正文】 運(yùn)動(dòng)的最大射程物理情形：不計(jì)空氣阻力，將小球斜向上拋出，初速度大小恒為v0 ，方向可以選擇，試求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。時(shí)，最大射程Sxmax = （學(xué)生活動(dòng)）若v0 、θ確定，試用兩種方法求小球到達(dá)的最大高度。當(dāng)小球在最低點(diǎn)時(shí)，給球一個(gè)vo = 2的水平初速，試求所能到達(dá)的最大高度。（學(xué)生活動(dòng)）小球會(huì)不會(huì)在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧后作自由落體運(yùn)動(dòng)？盡管對(duì)于本問(wèn)題，能量分析是可行的（BC之間不可能出現(xiàn)動(dòng)能為零的點(diǎn)，則小球脫離圓弧的初速度vD不可能為零），但用動(dòng)力學(xué)的工具分析，是本模型的重點(diǎn)——在BC階段，只要小球還在圓弧上，其受力分析必如圖9所示。）下面先解脫離點(diǎn)的具體位置。解法一：運(yùn)動(dòng)學(xué)途徑。模型分析：無(wú)論是“基本條件”還是“拓展條件”，本模型都很難直接符合，因此必須使用一些特殊的處理方法。既然A、B兩物均為均質(zhì)球體，他們各自和右邊小物體之間的萬(wàn)有引力，就可以使用“拓展條件”中的定勢(shì)來(lái)計(jì)算了。試求地球在橢圓頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，以及軌跡在A、C兩點(diǎn)的曲率半徑。針對(duì)地球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程，機(jī)械能守恒m+（－）= m+（－）比較A、B兩點(diǎn)，應(yīng)用開(kāi)普勒第二定律，有：vA（a－c）= vB（a + c）結(jié)合橢圓的基本關(guān)系：c = 解以上三式可得：vA = ， vB = 再針對(duì)地球從A到C的過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，有m+（－）= m+（－）代入vA值可解得：vC = 為求A、C兩點(diǎn)的曲率半徑，在A、C兩點(diǎn)建自然坐標(biāo)，然后應(yīng)用動(dòng)力學(xué)（法向）方程。正確的做法是：將vC分解出垂直于矢徑的分量（分解方式可參看圖12，但分解的平行四邊形未畫(huà)出）vC cosθ，再用vA（a－c）=（vC cosθ）a ，化簡(jiǎn)之后的形式成為vA（a－c）= vC b要理解這個(gè)關(guān)系，有一定的難度，所以建議最好不要對(duì)A、C兩點(diǎn)用開(kāi)普勒第二定律第三講 典型例題解析教材范本：龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓(xùn)練教材》，知識(shí)出版社，2002年8月第一版。即=ΣF外 三、動(dòng)量守恒定律定律、矢量性條件a、原始條件與等效b、近似條件c、某個(gè)方向上滿足a或b，可在此方向應(yīng)用動(dòng)量守恒定律四、功和能功的定義、標(biāo)量性，功在F—S圖象中的意義功率，定義求法和推論求法能的概念、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律功的求法a、恒力的功：W = FScosα= FSF = FS Sb、變力的功：基本原則——過(guò)程分割與代數(shù)累積；利用F—S圖象（或先尋求F對(duì)S的平均作用力）c、解決功的“疑難雜癥”時(shí)，把握“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一要點(diǎn)五、動(dòng)能、動(dòng)能定理動(dòng)能（平動(dòng)動(dòng)能）動(dòng)能定理a、ΣW的兩種理解b、動(dòng)能定理的廣泛適用性六、機(jī)械能守恒勢(shì)能a、保守力與耗散力（非保守力）→ 勢(shì)能（定義：ΔEp = －W保）b、力學(xué)領(lǐng)域的三種勢(shì)能（重力勢(shì)能、引力勢(shì)能、彈性勢(shì)能）及定量表達(dá)機(jī)械能機(jī)械能守恒定律a、定律內(nèi)容b、條件與拓展條件（注意系統(tǒng)劃分）c、功能原理：系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力與耗散內(nèi)力做功的代數(shù)和。根據(jù)“碰撞的基本特征”，0 ≤ e ≤ 1 。物體之間有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，機(jī)械能損失的重要定勢(shì)：－ΔE = ΔE內(nèi) = f滑飛船維持恒定的速率v飛行，垂直速度方向的橫截面積為S ，與太空垃圾的碰撞后，將垃圾完全粘附住。物理過(guò)程需要人為截取，對(duì)象是太空垃圾。 = = = = = nmSv2如果用動(dòng)能定理，能不能解題呢？同樣針對(duì)上面的物理過(guò)程，由于飛船要前進(jìn)x = vΔt的位移，引擎推力須做功W = x ，它對(duì)應(yīng)飛船和被粘附的垃圾的動(dòng)能增量，而飛船的ΔEk為零，所以：W = ΔMv2即：vΔt = （n m S這個(gè)解沒(méi)有毛病可挑，是正確的。答：二、動(dòng)量定理的分方向應(yīng)用物理情形：三個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B和C ，質(zhì)量分別為m1 、m2和m3 ，用拉直且不可伸長(zhǎng)的繩子AB和BC相連，靜止在水平面上，如圖2所示，AB和BC之間的夾角為（π－α）。其三，由于兩段繩子不可伸長(zhǎng)，故三質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度可以尋求到兩個(gè)約束關(guān)系。建議采取如下步驟——先用⑤⑥式消掉v2 、v3 ，使六個(gè)一級(jí)式變成四個(gè)二級(jí)式：I1 = m1 v1 ⑴I2cosα－I1 = m2 v1 ⑵I2sinα= m2 v1 tgβ ⑶I － I2 = m3 v1(cosα+ sinαtgβ) ⑷解⑶⑷式消掉β，使四個(gè)二級(jí)式變成三個(gè)三級(jí)式：I1 = m1 v1 ㈠I2cosα－I1 = m2 v1 ㈡I = m3 v1 cosα+ I2 ㈢最后對(duì)㈠㈡㈢式消I1 、I2 ，解v1就方便多了。三、動(dòng)量守恒中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題物理情形：在光滑的水平地面上，有一輛車，車內(nèi)有一個(gè)人和N個(gè)鉛球，系統(tǒng)原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)。一般選地面為參照系，這樣對(duì)“第二過(guò)程”的鉛球動(dòng)量表達(dá)，就形成了難點(diǎn)，必須引進(jìn)相對(duì)速度與絕對(duì)速度的關(guān)系。設(shè)車速方向?yàn)檎业谝贿^(guò)程獲得的速度大小為V1 第二過(guò)程獲得的速度大小為V2 。第一個(gè)球與（N–1）個(gè)球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u1 。鉛球?qū)Φ氐乃俣仁牵╲ + u3）。現(xiàn)在車上的人以相對(duì)車大小恒為v、方向水平向后的初速往車下跳。結(jié)論：第一過(guò)程使車子獲得的速度較大。它們動(dòng)量守恒方程為：0 = m(v + u1) +〔M +(N1)m〕u1得：u1 =第二個(gè)球與（N 2）個(gè)球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u2 。車子、人和N個(gè)球動(dòng)量守恒。設(shè)車和人的質(zhì)量為M ，每個(gè)鉛球的質(zhì)量為m 。第一過(guò)程，保持每次相對(duì)地面拋球速率均為v ，直到將球拋完；第二過(guò)程，保持每次相對(duì)車子拋球速率均為v ，直到將球拋完。⑴代入⑵消I1 ，得I2的表達(dá)式，將I2的表達(dá)式代入⑶就行了。對(duì)A用動(dòng)量定理，有：I1 = m1 v1 ①B的動(dòng)量定理是一個(gè)矢量方程：+= m2 ，可化為兩個(gè)分方向的標(biāo)量式，即：I2cosα－I1 = m2 v2cosβ ②I2sinα= m2 v2sinβ ③質(zhì)點(diǎn)C的動(dòng)量定理方程為：I － I2 = m3 v3 ④AB繩不可伸長(zhǎng)，必有v1 = v2cosβ ⑤BC繩不可伸長(zhǎng)，必有v2cos(β－α) = v3 ⑥六個(gè)方程解六個(gè)未知量（I1 、I2 、v1 、v2 、v3 、β）是可能的，但繁復(fù)程度非同一般。模型分析：首先，注意“開(kāi)始運(yùn)動(dòng)”的理解，它指繩子恰被拉直，有作用力和沖量產(chǎn)生，但是繩子的方位尚未發(fā)生變化。忽略地面阻力，試求手的拉力F 。分析動(dòng)能定理的解題，我們不能發(fā)現(xiàn)，垃圾與飛船的碰撞是完全非彈性的，需要消耗大量的機(jī)械能，因此，認(rèn)為“引擎做功就等于垃圾動(dòng)能增加”的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。取一段時(shí)間Δt ，在這段時(shí)間內(nèi)，飛船要穿過(guò)體積ΔV = S模型分析：太空垃圾的分布并不是連續(xù)的，對(duì)飛船的撞擊也不連續(xù)，如何正確選取研究對(duì)象，是本題的前提。第二講 重要模型與專題一、動(dòng)量定理還是動(dòng)能定理？物理情形：太空飛船在宇宙飛行時(shí)，和其它天體的萬(wàn)有引力可以忽略，但是，飛船會(huì)定時(shí)遇到太空垃圾的碰撞而受到阻礙作用。八、“廣義碰撞”——物體的相互作用當(dāng)物體之間的相互作用時(shí)間不是很短，作用不是很強(qiáng)烈，但系統(tǒng)動(dòng)量仍然守恒時(shí)，碰撞的部分規(guī)律仍然適用，但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位置可能超越、機(jī)械能可能膨脹）。三種典型的碰撞a、彈性碰撞：碰撞全程完全沒(méi)有機(jī)械能損失。第五部分 動(dòng)量和能量第一講 基本知識(shí)介紹一、沖量和動(dòng)量沖力（F—t圖象特征）→ 沖量。然后，F(xiàn)萬(wàn)n =ΣFn = m an ，即：F萬(wàn)cosθ= m即：G地球軌道的離心率很?。ㄆ渲怠?，其中c為半焦距），這是我們常常能將它近似為圓的原因。具體過(guò)程如下FAm = GFBm = G = －G最后，兩物之間的萬(wàn)有引力 F = FAm + FBm = G－G需要指出的是，在一部分同學(xué)的心目中，可能還會(huì)存在另一種解題思路，那就是先通過(guò)力矩平衡求被挖除物體的重心（仍然要用到“填補(bǔ)法”、負(fù)質(zhì)量物體的重力反向等），它將在O、O′的連線上距離O點(diǎn)左側(cè)R/14處，然后“一步到位”地求被挖除物與m的萬(wàn)有引力F = G然而，這種求法違背了萬(wàn)有引力定律適用的條件，是一種錯(cuò)誤的思路。空腔里現(xiàn)在雖然空無(wú)一物，但可以看成是兩個(gè)半徑為R/2的球的疊加：一個(gè)的質(zhì)量為+M/8 ，一個(gè)的質(zhì)量為－M/8 。對(duì)A→最高點(diǎn)的過(guò)程用機(jī)械能守恒定律（設(shè)A所在的平面為參考平面），有m+ 0 = + mg Hm容易得到：Hm = L五、萬(wàn)有引力的計(jì)算物理情形：如圖9所示，半徑為R的均質(zhì)球質(zhì)量為M，球心在O點(diǎn)，現(xiàn)在被內(nèi)切的挖去了一個(gè)半徑為R/2的球形空腔（球心在O′）。由于在D點(diǎn)之后繩子就要彎曲，則此時(shí)繩子的張力T為零，而此時(shí)仍然在作圓周運(yùn)動(dòng)，故動(dòng)力學(xué)方程仍滿足Gn = Gsinθ= m ①在再針對(duì)A→D過(guò)程，小球機(jī)械能守恒，即（選A所在的平面為參考平面）：m+ 0 = mg ( L + Lsinθ) +m ②代入v0值解①、②兩式得：θ= arcsin ，（同時(shí)得到：vD = ）小球脫離D點(diǎn)后將以vD為初速度作斜向上拋運(yùn)動(dòng)。法向動(dòng)力學(xué)方程為T + Gn = ΣFn = man = m由于T≥0 ，Gn＞0 ，故v≠0 。能量關(guān)系的運(yùn)用，也是對(duì)常規(guī)知識(shí)的復(fù)習(xí)。結(jié)論：Hm = 。設(shè)初速度方向與水平面夾θ角，建立水平、豎直的x、y軸，將運(yùn)動(dòng)學(xué)參量沿x、y分解。將此三角放大成圖7（乙），得出：S2 = S1 / cosθ 。從考查位置開(kāi)始取一個(gè)極短過(guò)程，將繩的運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)在圖7（甲）中標(biāo)示出來(lái)，AB是繩的初識(shí)位置，AC是繩的末位置，在AB上取=得D點(diǎn)，并連接CD。錯(cuò)誤的根源分析：和試驗(yàn)修訂本教材中“飛機(jī)起飛”的運(yùn)動(dòng)分析進(jìn)行了不恰當(dāng)?shù)芈?lián)系。當(dāng)船比較靠岸時(shí)，可作圖比較船的移動(dòng)距離、繩子的縮短長(zhǎng)度，得到v2＞v1 。即：v2＜v1時(shí)，S合min = d ，此時(shí)，θ= arccos結(jié)論：若v1＜v2 ，θ= arccos時(shí)，S合min = d 若v2＜v1 ，θ= arccos時(shí)，S合min = d二、滑輪小船物理情形：如圖5所示，岸邊的汽車用一根不可伸長(zhǎng)的輕繩通過(guò)定滑輪牽引水中的小船，設(shè)小船始終不離開(kāi)水面，且繩足夠長(zhǎng)，求汽車速度v1和小船速度v2的大小關(guān)系。當(dāng)θ變化時(shí)，v合矢量的大小和方向隨之變化，具體情況如圖4所示。解法二：純物理解——矢量三角形的動(dòng)態(tài)分析從圖2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量與下游河岸的夾角越大，亦即v合矢量與下游河岸的夾角越大（但不得大于90176。將S合沿x、y方向分解成Sx和Sy ，因?yàn)镾y ≡ d ，要S合極小，只要Sx極小就行了。時(shí)，渡河時(shí)間的最小值 tmin = （從“解法三”我們最容易理解t為什么與v2無(wú)關(guān)，故tmin也與v2無(wú)關(guān)?？梢栽O(shè)船頭與河岸上游夾角為θ（即v1的方向），速度矢量合成如圖1（學(xué)生活動(dòng)）用余弦定理可求v合的大小v合=（學(xué)生活動(dòng)）用正弦定理可求v合的方向。六、宇宙速度、天體運(yùn)動(dòng)第一宇宙速度的常規(guī)求法從能量角度求第二、第三宇宙速度萬(wàn)有引力勢(shì)能EP = －G解天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式時(shí)，應(yīng)了解橢圓的數(shù)學(xué)常識(shí)第二講 重要模型與專題一、小船渡河物理情形：在寬度為d的河中，水流速度v2恒定。四、萬(wàn)有引力定律定律內(nèi)容條件a、基本條件b、拓展條件：球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）外部空間的拓展對(duì)球體外一點(diǎn)A的吸引等效于位于球心的質(zhì)量為球的質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)A的吸引；球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）內(nèi)部空間的拓展“剝皮法則”對(duì)球內(nèi)任一距球心為r的一質(zhì)點(diǎn)A的吸引力等效于質(zhì)量與半徑為 r的球的質(zhì)量相等且位于球心的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)A的吸引；球殼（密度呈球?qū)ΨQ分布）外部空間的拓展對(duì)球殼外一點(diǎn)A的吸引等效于位于球心的質(zhì)量為球殼的質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)A的吸引；球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）內(nèi)部空間的拓展對(duì)球殼內(nèi)任一位置上任一質(zhì)點(diǎn)A的吸引力都為零；并且根據(jù)以為所述，由牛頓第三定律，也可求得一質(zhì)點(diǎn)對(duì)球或?qū)η驓さ奈?。三、兩種典型的曲線運(yùn)動(dòng)拋體運(yùn)動(dòng)（類拋體運(yùn)動(dòng)）關(guān)于拋體運(yùn)動(dòng)的分析，和新課教材“平跑運(yùn)動(dòng)”的分析基本相同。b、自然坐標(biāo)分解（適用于變加速曲線運(yùn)動(dòng)）基本常識(shí)：在考查點(diǎn)沿軌跡建立切向τ、法向n坐標(biāo)，所有運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量均沿這兩個(gè)方向分解。答案為：3提示：（1）寫(xiě)成參數(shù)方程后消參數(shù)θ。參見(jiàn)右圖，顯然：v2 = + u2 － 2v合ucos120176。細(xì)桿AB長(zhǎng)L ，兩端分別約束在x 、 y軸上運(yùn)動(dòng)，（1）試求桿上與A點(diǎn)相距aL（0＜ a ＜1)的P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡；（2）如果vA為已知，試求P點(diǎn)的x 、 y向分速度vPx和vPy對(duì)桿方位角θ的函數(shù)。提示：120=V水*600 D=V船*600 答案：200m（4）一船在河的正中航行，河寬l=100m，流速u=5m/s，