【正文】 （學(xué)生活動）思考：質(zhì)量為M的車上，有n個質(zhì)量均為m的人，它們靜止在光滑的水平地面上。它們動量守恒方程為：〔M+(N1)m〕u1 = m(v + u2) +〔M+(N2)m〕u2 得：u2 = + 第三個球與（N 2）個球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u3 。0 = Nm(v) + MV1 得：V1 = v ①第二過程，必須逐次考查鉛球與車子（人）的作用。由于矢量的方向落在一條直線上，可以假定一個正方向后，將矢量運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算。試問：哪一過程使車子獲得的速度更大？模型分析：動量守恒定律必須選取研究對象之外的第三方（或第四、第五方）為參照物，這意味著，本問題不能選車子為參照。答：β= arc tg（）。解方程要注意條理性，否則易造成混亂。其二，對三個質(zhì)點(diǎn)均可用動量定理，但是，B質(zhì)點(diǎn)受沖量不在一條直線上，故最為復(fù)雜，可采用分方向的形式表達(dá)。解：解題思路和上面完全相同。但在動量定理的解題中，由于I = t ，由此推出的 = 必然是飛船對垃圾的平均推力，再對飛船用平衡條件，的大小就是引擎推力大小了。vΔt的空間，遭遇nΔV顆太空垃圾，使它們獲得動量ΔP ，其動量變化率即是飛船應(yīng)給予那部分垃圾的推力，也即飛船引擎的推力。建議充分理解“平均”的含義，這樣才能相對模糊地處理垃圾與飛船的作用過程、淡化“作用時間”和所考查的“物理過程時間”的差異。設(shè)單位體積的太空均勻分布垃圾n顆，每顆的平均質(zhì)量為m ，垃圾的運(yùn)行速度可以忽略。此時，碰撞中“不合題意”的解可能已經(jīng)有意義，如彈性碰撞中v1 = v10 ，v2 = v20的解。滿足——m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v2 m1 + m2 = m1 + m2解以上兩式（注意技巧和“不合題意”解的舍棄）可得：v1 = ， v2 = 對于結(jié)果的討論：①當(dāng)m1 = m2 時，v1 = v20 ，v2 = v10 ，稱為“交換速度”；②當(dāng)m1 ＜＜ m2 ，且v20 = 0時，v1 ≈ －v10 ，v2 ≈ 0 ，小物碰大物，原速率返回；③當(dāng)m1 ＞＞ m2 ，且v20 = 0時，v1 ≈ v10 ，v2 ≈ 2v10 ，b、非（完全）彈性碰撞：機(jī)械能有損失（機(jī)械能損失的內(nèi)部機(jī)制簡介），只滿足動量守恒定律c、完全非彈性碰撞：機(jī)械能的損失達(dá)到最大限度；外部特征：碰撞后兩物體連為一個整體，故有v1 = v2 = 恢復(fù)系數(shù)：碰后分離速度（v2 － v1）與碰前接近速度（v10 － v20）的比值，即：e = 。沖量定義、物理意義沖量在F—t圖象中的意義→從定義角度求變力沖量（F對t的平均作用力）動量的定義動量矢量性與運(yùn)算二、動量定理定理的基本形式與表達(dá)分方向的表達(dá)式：ΣIx =ΔPx ，ΣIy =ΔPy …定理推論：動量變化率等于物體所受的合外力。 = m代入vC值可解得：ρC = 值得注意的是，如果針對A、C兩點(diǎn)用開普勒第二定律，由于C點(diǎn)處的矢徑r和瞬時速度vC不垂直，方程不能寫作vA（a－c）= vC a 。為了方便說明問題，在圖11中，我們將離心率夸大了。六、天體運(yùn)動的計(jì)算物理情形：地球和太陽的質(zhì)量分別為m和M ，地球繞太陽作橢圓運(yùn)動，軌道的半長軸為a ，半短軸為b ，如圖11所示。然后，前者正好填補(bǔ)空腔——和被挖除后剩下的部分構(gòu)成一個完整的均質(zhì)球A ；注意后者，雖然是一個比較特殊的物體（質(zhì)量為負(fù)值），但仍然是一個均質(zhì)的球體，命名為B 。在O、O′的連線上距離O點(diǎn)為d的地方放有一個很小的、質(zhì)量為m的物體，試求這兩個物體之間的萬有引力。它所能到達(dá)的最高點(diǎn)（相對A）可以用兩種方法求得。（學(xué)生活動：若換一個v0值，在AB階段，v = 0是可能出現(xiàn)的；若將繩子換成輕桿，在BC階段v = 0也是可能出現(xiàn)的。（學(xué)生活動）小球能否形成的往復(fù)的擺動？小球能否到達(dá)圓弧的最高點(diǎn)C ？通過能量關(guān)系和圓周運(yùn)動動力學(xué)知識的復(fù)習(xí)，得出：小球運(yùn)動超過B點(diǎn)、但不能到達(dá)C點(diǎn)（vC ≥），即小球必然在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧。四、物體脫離圓弧的討論物理情形：如圖8所示，長為L的細(xì)繩一端固定，另一端系一小球。針對拋出到落回原高度的過程0 = Sy = v0y t + （g）t2Sx = v0x t解以上兩式易得：Sx = sin2θ結(jié)論：當(dāng)拋射角θ= 45176。鑒于過程極短，繩的縮短運(yùn)動和船的運(yùn)動都可以認(rèn)為是勻速的，即：S2 = v2 t ，S1 = v1 t 。顯然，圖中BC是船的位移大小，DB是繩子的縮短長度。仔細(xì)比較這兩個運(yùn)動的差別，并聯(lián)系“小船渡河”的運(yùn)動合成等事例，總結(jié)出這樣的規(guī)律——合運(yùn)動是顯性的、軌跡實(shí)在的運(yùn)動，分運(yùn)動是隱性的、需要分析而具有人為特征（無唯一性）的運(yùn)動。故“船速增大”才是正確結(jié)論。模型分析：由于繩不可伸長，滑輪右邊繩子縮短的速率即是汽車速度的大小v1 ，考查繩與船相連的端點(diǎn)運(yùn)動情況，v1和v2必有一個運(yùn)動的合成與分解的問題。從圖4不難看出，只有當(dāng)v合和虛線半圓周相切時，v合與v2（下游）的夾角才會最大。）。而Sx（θ）函數(shù)可以這樣求——解法一： Sx = vxt =（v2 v1x） =（v2 – v1cosθ）為求極值，令cosθ= p ，則sinθ= ，再將上式兩邊平方、整理，得到這是一個關(guān)于p的一元二次方程，要p有解，須滿足Δ≥0 ，即≥整理得 ≥所以，Sxmin= ，代入Sx（θ）函數(shù)可知，此時cosθ= 最后，Smin= = d此過程仍然比較繁復(fù)，且數(shù)學(xué)味太濃。這個結(jié)論是意味深長的。令v合與河岸下游夾角為α，則α= arcsin求渡河的時間與最短時間由于合運(yùn)動合分運(yùn)動具有等時性，故渡河時間既可以根據(jù)合運(yùn)動求，也可以根據(jù)分運(yùn)動去求。岸邊有一艘小船，保持相對河水恒定的速率v1渡河，但船頭的方向可以選擇。c、不規(guī)則物體間的萬有引力計(jì)算——分割與矢量疊加萬有引力做功也具有只與初末位置有關(guān)而與路徑無關(guān)的特征。在坐標(biāo)的選擇方面，有靈活處理的余地。動力學(xué)方程，其中改變速度的大?。ㄋ俾剩?，改變速度的方向。（2）解法有講究：以A端為參照， 則桿上各點(diǎn)只繞A轉(zhuǎn)動?？山獬?v合 = 24km/h 。（四）同步練習(xí)提示與答案提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。另一次安裝成傾角為β2=15176。角，而坐在火車?yán)锍丝涂吹接甑蔚膹桔E恰好豎直方向。河水速度恒定U用作圖法找到在2T，3T，4T時刻木筏在航線上的確切位置。 ，VC 角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt燈泡爆裂，所有碎片以同樣大小的速度v 朝各個方向飛去。r(t)=r0+v0t+1/2 at2 可是三階導(dǎo)數(shù)為什么不是呢？因?yàn)榕ｎD第二定律是F=ma,即直接和加速度相聯(lián)系。 參照系——固連于參照物上的坐標(biāo)系（解題時要記住所選的是參照系，而不僅是一個點(diǎn)）4．絕對運(yùn)動，相對運(yùn)動，牽連運(yùn)動：v絕=v相+v牽 二．運(yùn)動的描述1．位置：r=r(t) 2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t)3．速度：v=limΔt→0Δr/：v=dr/dt, 表示r對t 求導(dǎo)數(shù)例題選講針對“教材”第三章的部分例題和習(xí)題。答案：t = 另解：如果引進(jìn)動力學(xué)在非慣性系中的修正式 Σ+ * = m （注：*為慣性力），此題極簡單。動力學(xué)方面，只需要隔離滑套C就行了。答：a1 = 。對滑塊，列y方向隔離方程，有：mgcosθ N = ma1y ③對斜面，仍沿合加速度a2方向列方程，有：Nsinθ= Ma2 ④解①②③④式即可得a2 。（學(xué)生活動）定型判斷斜面的運(yùn)動情況、滑塊的運(yùn)動情況。方法：“微元法”先看位移關(guān)系，再推加速度關(guān)系。四、特殊的連接體當(dāng)系統(tǒng)中各個體的加速度不相等時，經(jīng)典的整體法不可用。法二，“新整體法”。答：當(dāng)m1 ≤ m2時，沒有適應(yīng)題意的F′；當(dāng)m1 ＞ m2時，適應(yīng)題意的F′= 。思考：若將質(zhì)量為m3物體右邊挖成凹形，讓m2可以自由擺動（而不與m3相碰），如圖16所示，其它條件不變。如圖15所示，三個物體質(zhì)量分別為m1 、m2和m3 ，帶滑輪的物體放在光滑水平面上，滑輪和所有接觸面的摩擦均不計(jì)，繩子的質(zhì)量也不計(jì)，為使三個物體無相對滑動，水平推力F應(yīng)為多少？解說：此題對象雖然有三個，但難度不大。答：B 。第（2）情況可設(shè)棒的總質(zhì)量為M ，和水平面的摩擦因素為μ，而F = μMg ，其中l(wèi)＜L ，則x＜(Ll)的右段沒有張力，x＞(Ll)的左端才有張力。如圖12所示，光滑水平面上放著一個長為L的均質(zhì)直棒，現(xiàn)給棒一個沿棒方向的、大小為F的水平恒力作用，則棒中各部位的張力T隨圖中x的關(guān)系怎樣？解說：截取隔離對象，列整體方程和隔離方程（隔離右段較好）。在方法的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。答案：a甲 = gsinθ ；a乙 = gtgθ 。解說：第一步，闡明繩子彈力和彈簧彈力的區(qū)別。解：這是一個展示獨(dú)立作用性原理的經(jīng)典例題，建議學(xué)生選擇兩種坐標(biāo)（一種是沿a方向和垂直a方向，另一種是水平和豎直方向），對比解題過程，進(jìn)而充分領(lǐng)會用牛頓第二定律解題的靈活性。）學(xué)生活動：用正交分解法解本節(jié)第2題“進(jìn)階練習(xí)2”進(jìn)階練習(xí)：如圖9所示，自動扶梯與地面的夾角為30176。根據(jù)獨(dú)立作用性原理，ΣFx = max即：T － Gx = max即：T － mg sinθ = m acosθ顯然，獨(dú)立解T值是成功的。于是可得兩方程ΣFx = ma ，即Tx － Nx = maΣFy = 0 ， 即Ty + Ny = mg代入方位角θ，以上兩式成為T cosθ－N sinθ = ma （1）T sinθ + Ncosθ = mg （2）這是一個關(guān)于T和N的方程組，解（1）（2）兩式得：T = mgsinθ + ma cosθ解法二：下面嘗試一下能否獨(dú)立地解張力T 。解說：當(dāng)力的個數(shù)較多，不能直接用平行四邊形尋求合力時，宜用正交分解處理受力，在對應(yīng)牛頓第二定律的“獨(dú)立作用性”列方程。（βα） （1）對灰色三角形用正弦定理，有 = （2）解（1）（2）兩式得：ΣF = 最后運(yùn)用牛頓第二定律即可求小球加速度（即小車加速度）答： 。解：繼續(xù)貫徹“矢量性”的應(yīng)用，但數(shù)學(xué)處理復(fù)雜了一些（正弦定理解三角形）。）進(jìn)階練習(xí)1：在一向右運(yùn)動的車廂中，用細(xì)繩懸掛的小球呈現(xiàn)如圖3所示的穩(wěn)定狀態(tài)，試求車廂的加速度。解說：受力分析 → 根據(jù)“矢量性”定合力方向 → 牛頓第二定律應(yīng)用答案：gsinθ。二、牛頓第二定律的應(yīng)用應(yīng)用要點(diǎn)：受力較少時，直接應(yīng)用牛頓第二定律的“矢量性”解題。由于“彈簧不會立即發(fā)生形變”，故剪斷瞬間彈簧彈力維持原值，所以此時B鉤碼的加速度為零（A的加速度則為2g）。較難突破的是A選項(xiàng)，在為什么不會“立即跟上皮帶”的問題上，建議使用反證法（t → 0 ，a → ∞ ，則ΣFx → ∞ ，必然會出現(xiàn)“供不應(yīng)求”的局面）和比較法（為什么人跳上速度不大的物體可以不發(fā)生相對滑動？因?yàn)槿耸强梢孕巫?、重心可以調(diào)節(jié)的特殊“物體”）此外，本題的D選項(xiàng)還要用到勻變速運(yùn)動規(guī)律。有質(zhì)量的物體才有慣性。慣性的量度觀念意義，突破“初態(tài)困惑”二、牛頓第二定律定律理解要點(diǎn)a、矢量性b、獨(dú)立作用性：ΣF → a ，ΣFx → ax …c、瞬時性。仍然沿用“法一”中關(guān)于F的方向設(shè)置（見圖21中的α角）。由第一個物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ對第二個物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ，滑塊與斜面之間的兩對相互作用力只用兩個字母表示（N表示正壓力和彈力，f表示摩擦力），如圖21所示。若用一推力F作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面體靜止不動，就必須施加一個大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。（學(xué)生活動）地面給斜面體的支持力是多少？解：略。注意，滑塊和斜面隨有相對運(yùn)動，但從平衡的角度看，它們是完全等價的，可以看成一個整體。重力加速度g = 10m/s2 ，求地面對斜面體的摩擦力大小。答：Gsin15176。的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊……故有：φm = 15176。）法二，用摩擦角解題。解說：這是一個能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目。應(yīng)用整體法時應(yīng)注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時更方便、更簡捷。第四講 摩擦角及其它一、摩擦角全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R表示，亦稱接觸反力。試問：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些，至少需要多大的水平推力？解說：這是一個典型的力矩平衡的例題。應(yīng)用：若原題中繩長不等，而是l1 ：l2 = 3 ：2 ，其它條件不變，m1與m2的比值又將是多少？解：此時用共點(diǎn)力平衡更加復(fù)雜（多一個正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。對左邊的矢量三角形用正弦定理，有： = ①同理，對右邊的矢量三角形，有： = ②解①②兩式即可。則m1 : m2為多少？解說：本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學(xué)問題。（學(xué)生活動）反饋練習(xí)：靜摩擦足夠，將長為a 、厚為b的磚塊碼在傾角為θ的斜面上，最多能碼多少塊？解：三力共點(diǎn)知識應(yīng)用。根據(jù)在平面上的平衡，可知重心C在OA連線上。如圖14所示，一個半徑為R的非均質(zhì)圓球，其重心不在球心O點(diǎn)，先將它置于