【正文】 以下問題，作為教學(xué)的初始問題：（九年級數(shù)學(xué)上冊 55 頁碼 17 題改編）一大樓離地面 10 米處有一自來水管，噴出的水最高離地面 米，此時離墻 1 米，噴出的水經(jīng)拋物線落地（拋 物線所在平面），問噴出的水能否落入井里請學(xué)生對上趣事加 以評論，這二個問題情景要求學(xué)生運用數(shù)學(xué)的角度來 分析生活 中的現(xiàn)象和事實，這些懸念展示給學(xué)生后，他們便立即興奮地 帶著強烈的求知，欲投入到新的學(xué)習(xí)中去，能深深地體會到數(shù) 學(xué)就在身邊。課程的交叉性、相關(guān)性、融合性、廣域性、核心性、經(jīng)驗性已成為全世界教育的發(fā)展方向，從這個意義上說，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律研究數(shù)學(xué)教學(xué)與 其他學(xué)科聯(lián)系問題，不僅要從現(xiàn)實生活題材中引入數(shù)學(xué)，而且要注意加強數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的聯(lián)系，打破傳統(tǒng)的學(xué)科限制，要允許在數(shù)學(xué)內(nèi)容中研究與數(shù)學(xué)有關(guān)的其他問題，要注重數(shù)學(xué)用的多科性、廣泛性、綜合性、實際性、科學(xué)性，全面發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 ⑷、習(xí)題、例題演變探究 課本里習(xí)題、例題是經(jīng)過許多專家科學(xué) 家論證精雕細刻而編成的，這些習(xí)題例題內(nèi)容上 都是具有可塑性、延緩性和拓展性，思想上都具有思維的深刻性、全面性、敏銳性、突發(fā)性，形式上都具有可創(chuàng)造性，整體上都具有科學(xué)性；通過演變原題，不僅可以得到適用范圍更廣，結(jié)論更一般的命題看到，而且還能起到“舉一反三、觸類旁通、解一題知一類”的作用。這在一定程度上造成了學(xué)生強于基礎(chǔ)，弱于應(yīng)用；強天答卷，弱于動手；強于考試，弱于創(chuàng)造；強于課本，弱于現(xiàn)實的局面。 例如，在復(fù)習(xí)方程時，以下問題作為教學(xué)的初始問題使學(xué)生有新奇的感受，能立即喚起他們的求知欲，使他們處于“憤”“悱”的狀態(tài) 2022年北京將舉辦 29 屆夏季世界奧運會，這標(biāo)志著中國盛世時期的到來，作為每一個中國人都為此感到自傲，無不歡欣鼓舞；但作為國家安全部門和奧組會，舉辦這樣世界級別 的大規(guī)模賽事，要做到萬無一失，保證絕對安全，則要付出常人難以想像的艱苦勞動和超人的智慧，下面是一次關(guān)于安全問題沙盤推演的一幕： 2022 年 8 月 8 日前一天晚上 8 時 8 人，在北京某國家安全局特務(wù)處的辦公室里，燈光特別的亮，室內(nèi)正運籌帷幄一個與奧運會有關(guān)的十分重要的事； “與明天安全檢查有直接關(guān)系的人都在，我們想聽聽你們明天安檢的計劃程序”與兩特工面對面而坐的北京奧組會主席說， 特工 001 說：由國家高新科技部最新研制的 AN安檢機，待飛機停下后，不出意外，啟動一臺 AN 安檢機，需用半小時可把倉庫積壓物品和同機物品傳送帶 按一定速度送來的物品全部通過安全檢查； 特工 002說：如果同時啟用二臺 AN 安檢機只需 10 分鐘可把倉庫積壓物品和同機物品傳送帶按一定速度送來的物品全部通過安全檢查； “明天到北京的是參賽各國的元首，為了顯示中國安檢的高效率和人性化的服務(wù)，公安部命令： A380 空客機隨機物品的安檢不能超過 5 分鐘，這樣才能讓元首們把同機而來的物品隨身攜帶，及時到達指定位置，否則有損國家利益”坐在主席位置的公安部長神情凝重地說：公安部長命令一結(jié)束，奧組會主席身感肩上的重?fù)?dān)必須出色完成， “明天對 A380的安檢，我命令你們同時啟用 8臺 AN安檢機，一來數(shù)字 8象征著發(fā)，二來顯示我們的高效安檢，國家利益高于一切”； 與公安部長并排而坐的國家總理皺起眉頭聽著，手里寫著，然后說：我們承辦 29 屆奧運會一是標(biāo)志我國盛世的到來二是要通過奧運會，更有效快速促進我國的經(jīng)濟發(fā)展，辦奧運掙錢也是其中一個重要目的，你們做奧運具體工作的領(lǐng)導(dǎo)和特工，在完成政治任務(wù)的同時經(jīng)濟效益也不能忽視，所以安檢既要符合公安部長的要求，又要盡可能地少啟用安檢機，不恰當(dāng)?shù)膯⒂?AN 安檢機不僅耗費大量的電能，同時也是給國家造成損失“； ①特工 001， 002講話中，涉及哪幾個量？ ①如果設(shè) 安檢開始時倉庫積壓物品 x件；每臺安檢機每分鐘可安檢物品 y件；傳送帶 每分鐘傳送物品 a件；則可列出怎樣的等式？ （ x+30a=30； x+10=20） ③奧組會主席命令特工同時啟用 8臺 AN安檢機對 A380空客機物品進行安檢，在時間上是否符合公安部長的命令要求？ （由 x+30a=30y； x+10a=20y 得 y=2。在引導(dǎo)學(xué)生觀察問題的性質(zhì) ____________________________________________________________________________________________ 特征時，要通過想象與已有知識的聯(lián) 系獲得數(shù)學(xué)猜想，對問題作進一步的探究。此時教師可適當(dāng)引導(dǎo)提示學(xué)生，提出問題：我們證明一條線段等于另一條線的一半，常用的方法 是什么？學(xué)生通過觀察圖形結(jié)合已知 AH 的三角形的中線，馬上會延長 AH至 P，使 AH=HP，連結(jié) CP、 BP（圖 2）則 ABPC為平形四邊形， 得 AC//BP，且 AC=BP176。 ∴ AH⊥ EG 《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知 發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上。 猜想 在原題中若 K是 EG 的中點，則 KA 與 BC 有何位置關(guān)系。則自然會有以下策略加以論證獲得問題的解決。 這一問題的呈現(xiàn)，又會引起學(xué)生認(rèn)知沖突，他們一時這躍躍欲試，興奮 ，大有不足之感和求足之心，但一時無法證明。 ∠ 5+∠ 6=90176。一個概念是如何形成的，一個結(jié)論是探索到和猜測到的，以及這個結(jié)論是如何被應(yīng)用的。 連接 AC 交 EF于 O ① O點有什么特征（ O點在 AC 的中垂線上） ② △ AEO與△ FOC有什么關(guān)系（△ AEO≌△ FOC） ③ EF與 OE、 OF 有什么數(shù)量關(guān)系，為什么？（ EF=2OF=2OE） ④ 如果連結(jié) EC（或 AF） ,則 AE與 EC 又有什么關(guān)系，為什么？（ AE=EC） ⑤ 設(shè) AE=x，則 EC、 ED能否用 x來表示（ EC=x ED=4x） ⑥ △ EDC的三邊符合什么定理？能否求出 x與△ AEC的 面積？（能） 這樣通過學(xué)生的自主探究或合作交流，然后在教師的“引導(dǎo)、合作”的理念下，師生共 同尋求解決問題的方案。 愛因斯坦說：“提出一個問題比解決一個問題來得重要來得困難”。在數(shù)學(xué)小班化課堂教學(xué)中如何創(chuàng)設(shè)能使學(xué)生到 達這種境界的氣氛和環(huán)境呢？只要充分發(fā)揮教師的組織者、引導(dǎo)者、合作者和教師勞動的創(chuàng)造性作用，這種場境是不難達到的。 有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力 初中數(shù)學(xué)小班化課堂探究式教學(xué)方法的教學(xué)過程具有高度的創(chuàng)新性，教學(xué)中經(jīng)過探索、合作、研討，對已知事物規(guī)律的從新發(fā)現(xiàn)，這種為獲得成果而進行的自我探究活動是創(chuàng)造性的；學(xué)生在探究活動中，往往會對同一問題和現(xiàn)象提出的看法和邏輯推理，容易喚起學(xué)生對問題的爭論，為學(xué)生創(chuàng)新求異營造了氛圍，學(xué)生各抒已見，產(chǎn)生認(rèn)知 沖突或認(rèn)知的不協(xié)調(diào)，這樣不但可能使學(xué)生在爭論中互相啟發(fā)，取長補短，加深理解，而且學(xué)生間的信息交換 和智慧碰撞，在適當(dāng)?shù)臅r候就可能變?yōu)檎嬲膭?chuàng)造；（大學(xué)額課堂教學(xué)難已創(chuàng)設(shè)這樣的氛圍）此教學(xué)法學(xué)生的思維密度和強度較大，思維過程創(chuàng)造性和探究性具有很強的“似真性”，對學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)起到了十分重要的作用。 加強了學(xué)生的參與意識、合作意識、關(guān)心意識 通過小班化課堂探究 式教學(xué)法，不僅使學(xué)生樹立了個人的價值觀，更重要的是使學(xué)生相 互競爭，加強合作，不能再讓“一個中國人是條龍，十個中國人是只蟲：懸于我們頭上、腦 _______。數(shù)學(xué)領(lǐng)域的新發(fā)明和新設(shè)計往往蘊涵著創(chuàng)造性、批判性思維、冒險精 神、價值觀念和經(jīng)濟潛力，通過小班化課堂探究式教學(xué)法后的學(xué)生膽子大，反映敏捷，思維活躍，探究能力強，將來較容易建立自然世界和人造世界間的聯(lián)系，即有意識地去把數(shù)學(xué)知識科學(xué)地運用于實踐，轉(zhuǎn)化為技術(shù)，使之產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟效益，有意識地把數(shù)學(xué)與生產(chǎn)生活相聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生把數(shù)學(xué)科學(xué)成果向?qū)嵺`轉(zhuǎn)化的意識和能力。 教師：同學(xué)們，小明和小慧在回家這個事件中，結(jié)合圖像中的數(shù)據(jù)，由我們能解決的數(shù)學(xué)問題嗎？ A1同學(xué)舉手說：從學(xué)校 回家，誰先出發(fā) B1同學(xué)舉手說：小慧比小明先出發(fā) 5分鐘 A2同學(xué)又舉手說：由題目知，能否求出小明和小慧的速度 B2同學(xué)又舉手說：可以求出小明的速度，因為小明 7分鐘行駛了 ，根據(jù)科學(xué)原理，速度 =，但不能求小慧的速度（此時多數(shù)同學(xué)表現(xiàn)出迷惑私下議論騷動） C1 同學(xué)發(fā)難說：，老師，我認(rèn)為 B2 人求出的速度不能代表小明從學(xué)?；氐郊业乃俣?，根據(jù)圖像的信息， ≤ t≤ 12，的速度；（平息了騷動局面恢復(fù)了平靜，多數(shù)學(xué)生由困惑轉(zhuǎn)向興奮，談起對這個問 題的意見） 教師： C1 同學(xué)剛才說的有道理嗎，從圖像的信息看，小明從學(xué)校到家他的速度是否有變化，是誰追上了誰，此時表示什么意義；（學(xué)生陷入了思考，片刻后） C2同學(xué)舉手說：老師我知道了怎樣求小慧速度，只要先求出小明在 5≤ t≤ 12 之間 S與 t的函數(shù)解析式，交點是他們第一次相遇的地方，或小明第一次追上小慧的時候；此時他們走的路程相等，小慧走了 10分鐘，小明走了 5分鐘，（班級肅靜） 教師： C2 同學(xué)的想法對嗎，誰能在黑板上解答這個問題；（在 C2 同學(xué)發(fā)言的啟發(fā)下，多數(shù)同學(xué)舉手躍躍欲試） ____________________________________________________________________________________________ C2同學(xué)：老師，是我發(fā)現(xiàn)了新大陸（ 部分同學(xué)不由自主地發(fā)出笑聲） 教師：好，老師成全你 C2同學(xué)：把（ 5， 0），（ 12， ）分別代入 S=kt+b得 ∴ ∴ 小慧的速度 （全班通過 C2同學(xué)分析后迅速解答這個問題） B3 同學(xué)挑戰(zhàn)說：老師，可以求出小慧從學(xué)校回家的行駛路程 S 關(guān)于行駛時間 t 的函數(shù)關(guān)系式嗎；（班級又陷入了思考，片刻后，多數(shù)同學(xué)舉手應(yīng)戰(zhàn)） D1同學(xué)舉手說：由圖象可以知道，小慧從學(xué)校到家的過程中， S與 t的關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系，這里的比例系數(shù) （班級中沒有發(fā)出異議的聲音） 教師： D1同學(xué)說小慧從學(xué)校到 家的過程中， S與 t的關(guān)系是正比例 函數(shù)關(guān)系對嗎，小明從學(xué)校到家又是怎樣的一個過程呢？（許多學(xué)生在老師的點撥與同學(xué)發(fā)言的啟發(fā)下思維缶深層次發(fā)展，臉上顯示出興奮表情，對問題表現(xiàn)出極大的興趣，都是躍躍欲試） D2 同學(xué)：老師我認(rèn)為小明從學(xué)樣到家的過程中行駛路程 S 關(guān)于行駛時間 t 的函數(shù)關(guān)系式是C2 同學(xué)所求出的一次函數(shù) （此時 全班同學(xué)有沉默的也許思考、私下議論隨處可見，片刻后） C3 同學(xué)：老師， D2 同學(xué)說得不恰當(dāng)，從圖像看，我認(rèn)為小明的速度在 12分之前與 15分之后不一定一樣，但我不會求（對 C3 同學(xué)的理解表示認(rèn)同， 但對 2 對的解決表示出無奈，表現(xiàn)出不能正確駕馭一次函數(shù)圖像有關(guān)性質(zhì)的局面） A3 同學(xué)：老師，我認(rèn)為可以求出 15 分鐘之 42 分之間小明的速度，因為他們第三次相遇時的路程已知道是 千米，由此可求出時間，這樣就具備了求出速度的條件（片刻后 A3同學(xué)怯聲怯氣地說） 教師： A3 同學(xué)的分析對嗎？能求出小明在 15 分鐘后的速度嗎（在 A3 同學(xué)發(fā)言的啟發(fā)下多數(shù)同學(xué)很自信地舉起了手爭奪回答問題） D3同學(xué)：老師給我一個機會 教師：老師樂見你今天的表現(xiàn)（ D3同學(xué)說了聲 OK，興奮上來黑板解答） 把 ∵ ∴ （班級風(fēng)平浪靜） C3 同學(xué)：老師，小明在 15≤ t≤ 42 之間行駛路程 S 與時間 t 也是一次函數(shù)關(guān)系，因為兩點確定一條直線 把點 ∴ 就是小明在 15分鐘后的速度 ∵ 老師我當(dāng)初的猜想是正確的，小明在 5≤ t≤ 12的，速度比 15≤ t≤ 42 的速度快（課堂肅靜，幾乎能聽到心跳聲和筆的書寫聲，學(xué)生對 2對的認(rèn)識和理解有漸變到轉(zhuǎn)了突變） 教師：二位同學(xué)的分析很精彩，同學(xué)們， C3同學(xué)前面的猜想正確嗎？ 眾同學(xué)：正確）異口同聲） ____________________________________________________________________________________________ D4同學(xué)：老師，數(shù)學(xué)里這樣的猹也可以嗎（極 大部分同學(xué)臉色流露出渴望作出解釋的表情） 教師：數(shù)學(xué)里可以大膽地猜想，猜想也可以說是一種數(shù)學(xué)方法，但是猜想結(jié)論的正確性必須經(jīng)過推理論證或經(jīng)得起實踐的檢驗，這里已得到證實；剛才經(jīng)過大家的積極思考，在這個問題里與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題進行了大膽深入的探究，現(xiàn)在是否該結(jié)束了呢（通過前面同學(xué)的發(fā)言和解答的啟發(fā)，還能夠繼續(xù)解決的問題被極大多數(shù)同學(xué)發(fā)現(xiàn)和捕捉到，激起了濃厚的興趣，顯示出興奮的表情舞勁爭奪自我表演） A4 同學(xué)：老師我認(rèn)為還有三個問題，第一個可以求出學(xué)校到家的路程；第二個小明到家時小慧離家的路程，第三個小明到家時小 慧還需行駛的時間；因為從學(xué)校到家小明共需 42 分鐘，把 ；所以學(xué)校到家有 10 千米；把 t=42（屬于 0≤ t≤ 42）代 入 s= 得 s= =（千米），小慧到家還需 （分鐘）（全班在 A4 同學(xué)的分析后各自得意地練習(xí)解答，感到很自信，有成就感） B4同學(xué)：老師小