【正文】 , 321 ??? xxx（ 1）計(jì)算 與十個(gè) 之和，即 ，采用以下兩種計(jì)算方法 1x 3x 331 xxx ??? ? Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 算法的穩(wěn)定性 首先來(lái)看一個(gè)例子，考慮積分序列： 1 10, 1 , 2 ,nxnE x e d x n????（ 1） 顯然 ，且計(jì)算可得 ，對(duì) 進(jìn)行分部積分得 0nE ? 1 1E e? 2n ?1 110 1 , 2 , 3 ,nxnnE x e d x n E n??? ? ? ??并且 11 1001 0 , ( )1n x nnE x e d x x d x nn?? ? ? ? ? ????為了估計(jì)積分序列 ，我們構(gòu)造如下方法： ? ?nE（ 2） （ 3） Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 病態(tài)問(wèn)題 例子 其中 a分別取 ， 算得結(jié)果分別為 可見(jiàn)系數(shù)的微小變化，引起了結(jié)果比較大的改變！ 我們稱(chēng)該問(wèn)題是 病態(tài)問(wèn)題 ！ 121210x a xa x x???????求解方程組 125 0 . 2 5,4 9 . 7 5xx??? ???125 5 . 8 15 5 . 3 0xx??? ???一般的，我們稱(chēng)對(duì)誤差敏感的問(wèn)題為 病態(tài)問(wèn)題 ， 否則稱(chēng)為 良態(tài) 的！ 返回 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 返回 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1436 例 2 計(jì)算 127x 只需要做 12次乘法 643216842127 xxxxxxxx ???????2 數(shù)值計(jì)算的一些基本原則 （ 1）由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的限制 ① 防止小數(shù)加到大數(shù)上； ② 防止除數(shù)過(guò)??； ③ 防止相近的數(shù)相減 (會(huì)損失有效數(shù)字 )； （ 2）由于計(jì)算機(jī)的計(jì)算原理 ④ 要盡量減少乘除法的運(yùn)算次數(shù) 返回 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1434 167。( ) ( ) ( 3 )2fxf x h f x f x h h O h? ? ? ? ?從而有 20139。( )39。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1432 （ 2） 截?cái)嗾`差和舍入誤差 考慮計(jì)算一元可微函數(shù) f(x)在 x0處導(dǎo)數(shù)的近似方法： 000000( ) ( )39。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1430 則稱(chēng)近似數(shù) a具有 n位有效數(shù)字 。 axaa naxn例 設(shè)近似值 ， 其絕對(duì)誤差限都是 ， 求各個(gè)近似值各有幾位有效數(shù)字 ？ , ????? aaa2a? 0 0 0 0 8 ?a? 1a3a① 同一真值的不同近似值， 有效數(shù)字越多 ，它的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差都越小。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1427 (2) 誤差估計(jì) ? 函數(shù)計(jì)算的誤差估計(jì) ? ?? ? ? ?121, , , nnkk kn z f x x x x zfa b b aa????????對(duì) 元 函 數(shù) ， 設(shè) 準(zhǔn) 確 值 為 和 的 近 似 值分 別 為 、 ， 則 ? ? ,( ) | 39。 e ? ??e ?a注 : 用絕對(duì)誤差來(lái)刻畫(huà)近似數(shù)的精確程度不能反映它在原數(shù)中所占的比例。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1424 167。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1423 有一種情況特別引人注目：若所提供的一對(duì)近似值 與 有優(yōu)劣之分，譬如 優(yōu)而 劣，這時(shí)就采用如下松弛方式： 0F1F1F 0F? ? 10? 1 , 0F F F? ? ? ?? ? ?即在松弛過(guò)程中張揚(yáng) 的優(yōu)勢(shì)而抑制 的劣勢(shì)，這種設(shè)計(jì)策略稱(chēng)作外推松弛技術(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng) 超松弛 。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1422 即通過(guò)適當(dāng)選取權(quán)系數(shù) 來(lái)調(diào)整校正量 ，以加工得到更高精度的 ，這種基于校正量的調(diào)整與松動(dòng)的方法通常稱(chēng)為 松弛技術(shù) 。 0a ?a近似 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Zeno在刻畫(huà)人龜追趕問(wèn)題中設(shè)置了兩個(gè) “ 時(shí)鐘 ” ：一個(gè)是日常的鐘，另外 Zeno又將迭代次數(shù)視為另一種時(shí)鐘，不妨稱(chēng)之為 Zeno鐘 。 設(shè)人龜起初相距 ，兩者的速度分別為 和 ， S V v 則有方程 Vt v t S?? （ 1） * StVv?? Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1415 考慮 10 1 10() nnnnnnkkkP x a x a x a x aax????? ? ? ? ?? ?00va?( 1 , 2 , )k ?1k k kv x v a?? ? ?利用縮減技術(shù)可得如下算法： 算法流程圖