【正文】 (1)求選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2 天數(shù)據(jù)的概率； (2)若選取的是 12 月 1 日與 12 月 5 日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù) 12 月 2 日至 12 月 4日的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y^＝ b^x＋ a^. 解 (1)設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件 A，因為從 5 組數(shù)據(jù)中選取 2 組數(shù)據(jù)共有10 種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有 4種， 所以 P(A)＝ 1－ 410＝ 35. (2)由數(shù)據(jù)，求得 x ＝ 12， y ＝ 27. 11 25＋ 13 30＋ 12 26＝ 977,112＋ 132＋ 122＝ 434， 由公式，求得 b^＝ 52， a^＝ y － b^ x ＝－ 3. 所以 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 y^＝ 52x－ 3. 6． (13 分 )有甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于 85 分為優(yōu)秀， 85 分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表 . 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 乙班 30 合計 105 已知從全部 105 人中隨機(jī)抽取 1 人為優(yōu)秀的概率為 27. (1)請完成上面的列聯(lián)表； (2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按 95%的可靠性要求，能否認(rèn)為 “ 成績與班級有關(guān)系 ” ； (3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的 10 名學(xué)生從2 到 11 進(jìn)行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的序號．試求抽到 6 號或 10 號的概率． 附 K2＝ n?ad－ bc?2?a＋ b??c＋ d??a＋ c??b＋ d?， P(K2≥ k) k 解 (1) 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合計 30 75 105 (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到 k＝ 105 ?10 30－ 20 45?255 50 30 75 ≈ ＞ ， 因此有 95%的把握認(rèn)為 “ 成績與班級有關(guān)系 ” ． (3)設(shè) “ 抽到 6 號或 10 號 ” 為事件 A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)為 (x， y)，則所有的基本事件有 (1,1)、 (1,2)、 (1,3)、 ? 、 (6,6)，共 36 個． 事 件 A包含的基本事件有 (1,5)， (2,4)， (3,3)， (4,2)， (5,1)， (4,6)， (5,5)， (6,4)，共 8 個， ∴ P(A)＝ 836＝ 29. 第 3 講 隨機(jī)事件的概率 【 20xx 年高考會這樣考】 1．考查互斥事件、對立事件的概率求法． 2．考查條件概率的求法． 考點梳理 1． 頻率與概率 (1)在相同的條件 S 下重復(fù) n 次試驗，觀察某一事件 A 是否出現(xiàn)，稱 n 次試驗中事 件 A出現(xiàn)的次數(shù) nA為事件 A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件 A出現(xiàn)的比例 fn(A)＝ nAn為事件 A出現(xiàn)的頻率． (2)對于給定的隨機(jī)事件 A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件 A發(fā)生的 頻率 fn(A)穩(wěn)定在某個 常數(shù) 上，把這個 常數(shù) 記作 P(A)，稱為事件 A 的概率，簡稱為 A 的概率． 2． 事件的關(guān)系與運算 定義 符號表示 包含關(guān)系 如果事件 A發(fā)生，則事件 B 一定發(fā)生，這時稱事件 B 包含 事件 A(或稱事件 A包含于事件 B) B? A(或 A? B) 相等關(guān)系 若 B? A且 A? B A＝ B 并事件 (和事件 ) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) A發(fā)生或事件 B 發(fā)生，稱此事件為事件 A與事件 B 的 并事件 (或和事件 ) A∪ B(或 A＋ B) 交事件 (積事件 ) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) 事件 A發(fā)生 且 事件 B 發(fā)生 ，則稱此事件為事件 A與事件 B 的交事件 (或A∩ B(或 AB) 積事件 ) 互斥事件 若 A∩ B 為不可能事件，則稱事件 A與事件 B 互斥 A∩ B＝ ? 對立事件 若 A∩ B 為不可能事件， A∪ B 為必然事件，那么稱事件 A與事件 B 互為對立事件 A∩ B＝ ? P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)＝ 1 對于任何兩個事件 A 和 B，在已知事件 A 發(fā)生的條件下，事件 B 發(fā)生的概率叫 做 條件概率 ，用符號 P(B|A)來表示，其公式為 P(B|A)＝ P?AB?P?A? . (1)在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A中基本事件的個數(shù)，則 P(B|A)＝ n?AB?n?A? . (2) 如果 B 和 C 是兩互斥事件，則 P(B∪ C|A)＝ P(B|A)＋ P(C|A)． 4． 概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍： 0≤ P(A)≤ 1. (2)必然事件的概率 P(E)＝ 1. (3)不可能事件的概率 P(F)＝ 0. (4)互斥事件概率的加法公式 ① 如果事件 A與事件 B 互斥 ， 則 P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)． ② 若事件 B 與事件 A互為對立事件，則 P(A)＝ 1－ P(B)． 【助學(xué) 遼寧 )從 1,2,3,4,5 中任取 2 個不同的數(shù)，事件 A＝ “ 取到的 2 個數(shù)之和為偶數(shù) ” ，事件 B＝ “ 取到的 2 個數(shù)均為偶數(shù) ” ，則 P(B|A)等于 ( )． 解析 P(A)＝ C23＋ C22C25 ＝410＝25， P(A∩ B)＝C22C25＝110. 由條件概率計算公式，得 P(B|A)＝ P?A∩ B?P?A? ＝110410＝ 14. 答案 B 5． (20xx廣州月考 )某射手在一次射擊中，射中 10 環(huán)， 9 環(huán)， 8 環(huán)的概率分別是 ， ,，則此射手在一次射 擊中不夠 8 環(huán)的概率為 ( )． A． B． C． D． 解析 一次射擊不夠 8 環(huán)的概率為： 1－ － － ＝ . 答案 A 3． (20xx福州模擬 )下列說法： ① 將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變； ② 設(shè)有一個回歸方程 y^＝ 3－ 5x，變量 x 增加一個單位時， y 平均增加 5 個單位； ③ 線性回歸方程 y^＝ b^x＋ a^必過 ( x ， y )； ④ 在一個 2 2 列聯(lián)表中，由計算得 K2的觀測值 k＝ ，則在犯錯誤的概率不超過 的前提下認(rèn)為這兩個變量間有關(guān)系． 其中錯誤的個數(shù)是 ( )． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 本題可以參考獨立性檢驗臨界值表 P(K2≥ k0) k0 解析 只有 ② 錯誤，應(yīng)該是 y 平均減少 5 個單位． 答案 B 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 3．為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的 關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取 50 名學(xué)生，得到如下 2 2 列聯(lián)表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知 P(K2≥ )≈ ， P(K2≥ )≈ . 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到 K2＝ 50 ?13 20－ 10 7?223 27 20 30 ≈ . 則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為 ________． 解析 ∵ K2≈ ，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗的基本原理，應(yīng)該斷定 “ 是否選修文科與性別之間有關(guān)系 ” 成立，并且這種判斷出錯的可能性約為 5%. 答案 5% 4． (20xx陜西 )設(shè) (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)是變量 x和 y 的 n 個樣本點，直線 l 是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線 (如圖 )，以下結(jié)論正確的是 ( )． A．直線 l 過點 ( x ， y ) B． x 和 y 的相關(guān)系數(shù)為直線 l 的斜率 C． x 和 y 的相關(guān)系數(shù)在 0 到 1 之間 D．當(dāng) n 為偶數(shù)時，分布在 l 兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同 解析 由樣本的中心 ( x ， y )落在回歸直線上可知 A 正確； x 和 y 的相 關(guān)系數(shù)表示為 x 與 y 之間的線性相關(guān)程度，不表示直線 l 的斜率，故 B 錯； x 和 y 的相關(guān)系數(shù)應(yīng)在－ 1 到 1 之間，故 C 錯；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點的個數(shù)并不絕對平均，即無論樣本點個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故 D 錯． 答案 A 4． (20xx東北三校聯(lián)考 )某學(xué)生對其親屬 30 人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示 30 人的飲食指數(shù)． (說明：圖中飲食指數(shù)低于 70 的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于 70 的人，飲食以肉類為主 ) (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列 2 2 列聯(lián)表： 主食蔬菜 主食肉類 合計 50 歲以下 50 歲以上 合計 (2)能否有 99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡要分析． 解 (1)2 2 列聯(lián)表如下： 主食蔬菜 主食肉類 合計 50 歲以下 4 8 12 50 歲以上 16 2 18 合計 20 10 30 (2)因為 K2＝ 30 ?8－ 128?212 18 20 10＝ 10， 所以有 99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)． 方法優(yōu)化 16——求回歸直線方程的方法與技巧 【命題研究】 通過近三年的高考試題分析，獨立性檢驗和回歸分析的考查主要是這兩種知識的簡單應(yīng)用，以計算和判斷為主．有的省市以選擇題、填空題形式考查，有的省市以解答題形式考查，難度中等． 【真題探究】 ? (20xx湖南 )設(shè)某大學(xué)的女生體重 y(單位： kg)與身高 x(單位： cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù) 一組樣本數(shù)據(jù) (xi， yi)(i＝ 1,2， ? ， n)，用最小二乘法建立的回歸方程為 y^＝ － ，則下列結(jié)論中不正確的是 ( )． A． y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過樣本點的中心 ( x ， y ) C．若該大學(xué)某女生身高增加 1 cm，則其體重約增加 kg D．若該大學(xué)某女生身高為 170 cm，則可斷定其體重必為 kg 解析 根據(jù)線性回歸方程中各系數(shù)的意義求解．由于線性回歸方程中 x 的系數(shù)為 ，因此 y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故 A 正確．又線性回歸方程必過樣本中心點 ( x ， y )，因此 B 正確．由線性回歸方程中系數(shù)的意義知， x 每增加 1 cm，其體重約增加 kg，故 C 正確．當(dāng)某女生的身高為 170 cm 時，其體重估計值是 kg，而不是具體值，因此 D 不正確． 答案 D 4．為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點抽取了 100位居民進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過計算 K2≈ ，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是( )． A．有 99%的人認(rèn)為 該欄目優(yōu)秀 B．有 99%的人認(rèn)為該欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 C．有 99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 D．沒有理由認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 解析 只有 K2≥ 才能有 99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系，而即使 K2≥ 也只是對 “ 電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 ” 這個論斷成立的可能性大小的結(jié)論，與是否有 99%的人等無關(guān)．故 D 正確． 答案 D 5． (20xx哈爾濱模擬 )一個樣本容量為 10 的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差不為 0的等差數(shù)列 {an}，若 a3＝ 8，且 a1， a3， a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是 ( )． A． 13,12 B． 13,13 C． 12,13 D． 13,14 解析 設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d(d≠ 0)， a3＝ 8， a1a7＝ (a3)2＝ 64， (8－ 2d)(8＋ 4d)＝ 64， (4－ d)(2＋ d)＝ 8,2d－ d2＝ 0，又 d≠ 0，故 d＝ 2，故樣本數(shù)據(jù)為4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，樣本的平均數(shù)為 ?4＋ 22? 510 ＝ 13，中位數(shù)為 12＋ 142 ＝13，故選 B. 答案 B 2． (20xx武夷模擬 )用系統(tǒng)抽樣法要從 160 名學(xué)生中抽取容量為 20 的樣本，將 160名學(xué)生隨機(jī)地從 1～ 160編號，按編號順序平均分成 20組 (1～ 8號， 9～ 16號， ? ，153～ 160 號 )，若第 16 組抽出的號碼為 126，則第 1 組中用抽簽的方法確定的號碼是 ________． 解析 設(shè)第 1 組抽取的號碼為 b，則第 n 組抽取的號碼為 8(n－ 1)＋ b， ∴ 8 (16－ 1)＋ b＝ 126， ∴ b＝ 6，故第 1 組抽取的號碼為 6. 答案 6 6． (20xx西安質(zhì)檢 )對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計， 得到樣本的莖葉圖 (如圖所示 )，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分