【正文】 ?? ????()121 ( ) e ( ) e d2i i xf f x x dw ? w ?? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????????? ?? ????????????????????????????? ???xxffxdxffxfxfxiixidde)(e)(21de)()(21)]()([)(212121?????????ww?wF122 ( ) ( )FF? w w??yx ???令()2 2 2( ) e d ( ( ) ) ( )iyf y y F f y Fw w?? ??? ???? 運(yùn)用傅氏變換的微分性質(zhì)以及積分性質(zhì) , 可以把線性常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程 , 通過(guò)解代數(shù)方程與求傅氏逆變換 , 就可以得到此微分方程的解 . 另外 , 傅氏變換還是求解數(shù)學(xué)物理方程的方法之一 . ? 1 導(dǎo)數(shù)定理 F [f(n)(x)]=(iw)nF [f(x)]. 2. 積分定理 )].([1d)()( xfixxfx FF w????????例 求微分積分方程 )(d)()()( thttxctbxtxa t ???? ???????????????wwwwwwwcaibHXHXicbXXai)()()()()()(? 解 : 根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì) , ? F [x(t)]=X(w), F [h(t)]=H(w). ? 在方程兩邊取傅氏變換 , 可得 的解 , 其中 ??t+?, a,b,c均為常數(shù) . x(t) = F 1 [ X(w) ], ww w deXtx xi????? )()(在物理和工程技術(shù)中 , 常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù) . 因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì) , 如在電學(xué)中 , 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后產(chǎn)生的電流 。 *211( ) ( ) ( ) [ ] d2ixu U x t x e xww????? ?數(shù)學(xué)上可以將一個(gè)復(fù)雜的 非周期函數(shù) 做 傅里葉積分變換 ，相應(yīng)的在物理上，一個(gè)復(fù)雜 結(jié)構(gòu)的光學(xué)圖像 可以被分解成 一系列連續(xù)單頻信息的積分 傅立葉光學(xué) 若用一束復(fù)振幅為 U1的平行光照射這個(gè)光學(xué)圖像（衍射屏） .,)(.0,0,e0,0)(1一個(gè)函數(shù)是工程技術(shù)中常碰到的衰減函數(shù)叫做指數(shù)這個(gè)其中其積分表達(dá)式的傅氏變換及求函數(shù)例tftttft??????????t f(t) 解： 220)(021121de21dee21de)(21)]([)(w?w??w?????ww?w?w?????????????????????????iittttftfFtitittiF這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換 . .,.0,e)(22的一個(gè)函數(shù)也是工程技術(shù)中常碰到函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做鐘形脈沖其中表達(dá)式的傅氏變換及其積分求函數(shù)例?? ???AAtf t?w?w??ww?w??????w4242222e21dee21dee21de)(21)]([)(???????????????????????????????????AtAtAttftfFittittiF解：O t f(t) 因此有 ? 如果令 ?=1/2, 就有 ?w????422e21e??? AAt2222e21e w???? AAt可見(jiàn)鐘形函數(shù)的傅氏變換也是鐘形函數(shù) 的傅立葉積分表達(dá)式，稱(chēng)為非周期函數(shù) )(s i n)(c o s)()(00xfxdBxdAxf ??????周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi) ωk=k ω =kπ/l (k=0,1,2,…) 是分離值 222222010( ) ( c os si n )1( ) d2( ) c os d ( 1 , 2 , )2( ) si n d ( 1 , 2 , )TTTTTTk k k kkkkkkg x a a x b xagTa g kTb g kTww??? w ? ?? w ? ??????? ? ??????????LL的傅立葉變換式。稱(chēng)為其中)(dc o s)(2)(0xffA ??? ?w???w例 矩形函數(shù)為 11 | |2( ) ,10 | |2( ) ( )xre c t xxf t h re c t t????? ?? ????函 展 傅 立 分 。 2, f(x)在無(wú)限區(qū)間 (??, +?)上絕對(duì)可積 , 則 f(x)可表成傅立葉積分，且 積分值 =[f(x+0)+f(x0)]/2。 傅立葉積分與傅立葉變換 （一）實(shí)數(shù)形式的傅立葉積分 對(duì)任何一個(gè) 非周期函數(shù) f(x)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù) g(x)當(dāng) T=2l??時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的 . 作周期為 T的函數(shù) g(x), 使其在 [l,l]之內(nèi)等于 f(x), 在 [l,l]之外按周期 2l延拓到整個(gè)數(shù)軸上 , 則 l越大 , g(x)與 f(x)相等的范圍也越大 , 這就說(shuō)明當(dāng) T=2l ??時(shí) , 周期函數(shù) g(x)便可轉(zhuǎn)化為 f(x), 即有 )()(lim2xfxgl????g(x)的傅立葉展開(kāi)式在 T→ ∞ 時(shí)的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù) f(x)的傅立葉展開(kāi)。 ? 有時(shí)，對(duì)函數(shù) f(x)邊界的限制就決定了延拓的方式。 傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問(wèn)題提供了基本的求解方法 傅里葉級(jí)數(shù)法 ,從而極大地推動(dòng)了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展； 其次，傅里葉級(jí)數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動(dòng)了函數(shù)論的研究，其影響還擴(kuò)及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。這本書(shū)出版于 1822年 ,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時(shí)晚十五年。傅里葉很早就開(kāi)始并一生堅(jiān)持不渝地從事熱學(xué)研究， 1807年他在向法國(guó)科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問(wèn)題的論文中宣布了 任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù) 。 1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時(shí)任軍中文書(shū)和埃及研究院秘書(shū)， 1801年回國(guó)后任伊澤爾省地方長(zhǎng)官。 1768年 3月 21日生于歐塞爾， 1830年 5月 16日卒于巴黎。類(lèi)型 1. 形如 的積分 , 其中R(cosx,sinx)為 cosx與 sinx的 有理函數(shù) . 令 z=eix, 則dz=ieixdx=izdx ? π20 d)s i n,( co s xxxR???????????? ????1||1||2220d)(d21,21d)s i n,( c oszzzzfizzizzzzRxxxR?167。 一 .周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi) ?傅立葉 ? 傅立葉 (公元 1768年～ 1830年 ),法國(guó)數(shù)學(xué)家、 物理學(xué)家。 17歲回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)， 1794到巴黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員，次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。正是在這種多少有些敵對(duì)和懷疑的處境下 ,傅里葉約于半個(gè)世紀(jì)后提出了他自己的想法。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表 ,在經(jīng)過(guò)了幾次其他的嘗試以后 ,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在 熱的分析理論 這本書(shū)中。傅里葉在書(shū)中斷言：“任意”函數(shù)（實(shí)際上要滿(mǎn)足 一定的條件 ,例如分段單調(diào)）都可以展開(kāi)成三角級(jí)數(shù) ,他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來(lái)說(shuō)明函數(shù)的這種級(jí)數(shù)表示的普遍性，但是沒(méi)有給出明確的條件和完整的證明。 傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn) —— ? “周期信號(hào) 都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和” —— 傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn) ? “ 非周期信號(hào) 都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示” —— 傅