新人教a版高中數(shù)學必修123變量間的相關(guān)關(guān)系2課時-wenkub
2022-12-19 01:51:35 本頁面
【正文】 east square） . （ 7）利用計算機求回歸直線的方程 . 根據(jù)最小二乘法的思想和公式 ① ，利用計算器或計算機，可以方便地求出回歸方程 . 以 Excel 軟件為例 ,用散點圖來建立表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的線性回歸方程 ,具體步驟如下 ： ① 在 Excel中選定表示人體的脂肪 含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的散點圖（如下圖） ,在菜單中選定“圖表 ”中的 “添加趨勢線 ”選項 ,彈出 “添加趨勢線 ”對話框 . ② 單擊 “類型 ”標簽 ,選定 “趨勢預測 /回歸分析類型 ”中的 “線性 ”選項 ,單擊 “確定 ”按鈕 ,得到回歸直線 . ③ 雙擊回歸直線 ,彈出 “趨勢線格式 ”對話框 .單擊 “選項 ”標簽 ,選定 “顯示公式 ”,最后單擊 “確定 ”按鈕 ,得到回歸直線的回歸方程 ^y =. （ 8）利用計算器求回歸直線的方程 . 用計算器求這個回歸方程的過程如下： 所以回歸方程 為 ^y =. 正像本節(jié)開頭所說的，我們從人體脂肪含量與年齡這兩個變量的一組隨機樣本數(shù)據(jù)中，找到了它們之間關(guān)系的一個規(guī)律，這個規(guī)律是由回歸直線來反映的 . 直線回歸方程的應用 : ① 描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系 . ② 利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量 x）代入回歸方程對預報量（即因變量 Y）進行估計 ,即可得到個體 Y值的容許區(qū)間 . ③ 利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定 Y 值的變化 ,通過控制 x 的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計 控制的目標 .如已經(jīng)得到了空氣中 NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程 ,即可通過控制汽車流量來控制空氣中 NO2的濃度 . 應用示例 思路 1 例 1 有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的對比表： 攝氏溫度 /℃ 5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 （ 1）畫出散點圖； （ 2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律； （ 3）求回 歸方程； （ 4）如果某天的氣溫是 2 ℃ ，預測這天賣出的熱飲杯數(shù) . 解： （ 1）散點圖如下圖所示： （ 2）從上圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少 . （ 3）從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式 ① 求出回歸方程的系數(shù) . 利用計算器容易求得回歸方程 ^y =+. (4)當 x=2時， ^y =，某天的氣溫為 2 ℃ 時，這天大約可以賣出 143杯熱飲 . 思考 氣溫為 2 ℃ 時，小賣部一定能夠賣出 143杯左右熱飲嗎？為什么？ 這里的答案是小賣部不一定能夠賣出 143杯左右熱飲，原因如下： ，存在隨機誤差，這種誤差可以導致預測結(jié)果的偏差 . ，也不可能百分之百地保證對應于 x的預報值，能夠與實際值 y 很接近 .我們不能保證點（ x,y）落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近，事實上， y=bx+a+e=^y +e. 這里 e是隨機變量，預報值 ^y 與實際值 y的接近程度由隨機變量 e的標準差所決定 . 一些學生可能會提出問題：既然不一定能夠賣出 143杯左右熱飲，那么為什么我們還以“這天大約可以賣出 143 杯熱飲 ”作為結(jié)論呢？這是因為這個結(jié)論出現(xiàn)的可能性最大 .具體地說，假如我們規(guī)定可以選擇連續(xù)的 3個非負整數(shù)作為可能的預測結(jié)果，則我們選擇 142， 143和 144能夠保證預測成功（即實際賣出的杯數(shù)是這 3個數(shù)之一）的概 率最大 . 例 2 下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料 . 機動車輛數(shù) x／千臺 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故數(shù) y／千件 13 (1)請判斷機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系 ,如果不具有線性相關(guān)關(guān)系 ,說明理由； (2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系 ,求出線性回歸方程 . 解： （ 1）在直角坐標系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖 ,如下圖 . 直觀判斷散點在一條直線附近 ,故具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)計算相應的數(shù)據(jù)之和 ： ??81i ix =1 031， ??81i iy =, ??81 2i ix =137 835， ??81i iiyx =9 . 將它們代入公式計算得 b≈ 4,a= 1, 所以 ,所求線性回歸方程為 = 1. 思路 2 例 1 給出施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗數(shù)據(jù)： 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量 y 330 345 365 405 445 450 455 (1)畫出上表的散點圖 。 (2)求出回歸直線的方程 . 解： (1)散點圖如下圖． (2)表中的數(shù)據(jù)進行具體計算 ,列成以下表格 : i 1 2 3 4 5 6 7 xi 15 20 25 30 35 40 45 yi 330 345 365 405 445 450 455 xiyi 4 950 6 900 9 125 12 150 15 575 18 000 20 475 87175,1132725,7000,30 7 17 1 27 1 2 ????? ??? ??? i iii ii i yxyxyx 故可得到 b=23077000 ?? ???≈, a=30≈257. 從而得回歸直線方程是 ^y =+257. 例 2 一個車間為了規(guī)定工時定額 ,需要確定加工零件所花費的時間．為此進行了 10次試驗 ,測得數(shù)據(jù)如下： 零件個數(shù) x（個） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時間 y（分） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 請判斷 y與 x是否具有線性相關(guān)關(guān)系 ,如果 y與 x具有線性相關(guān) 關(guān)系 ,求線性回歸方程． 解： 在直角坐標系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖 ,如下圖 . 直觀判斷散點在一條直線附近 ,故具有線性相關(guān)關(guān)系．由測得的數(shù)據(jù)表可知： ???? 101 2,55 i ixyx =38 500,??101i iy =87 777,??101i iiyx =55 950. b= 2210121015510385001010????????????xxyxyxiiiii≈. a= xby? =55≈. 因此 ,所求線性回歸方 程為 ^y =bx+a=+. 例 3 已知 10條狗的血球體積及紅血球數(shù)的測量值如下： 血球體積 x(mL) 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50 紅血球數(shù) y(百萬 ) （ 1）畫出上表的散點圖； （ 2）求出回歸直線的方程 . 解： （ 1）散點圖如下 . （ 2） 101?x (45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=, 101?y(+++++++++)=. 設回歸直線方程為 ^y =bx+a,則 b=210
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