【正文】 {x∈ Z|x＝ 2k}， k∈ Z，這種表達(dá)方式就不符合要求，需將 k∈ Z也寫進(jìn)花括號內(nèi)，即 {x∈ Z|x＝ 2k， k∈ Z}． (3)不能出現(xiàn)未被說明的字母． (4)在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實數(shù)集時可以省略不寫．例如，方程 x2－ 2x＋ 1＝ 0的實數(shù)解集可表示為 {x∈ R|x2－ 2x＋ 1＝ 0}，也可寫成 {x|x2－ 2x＋ 1＝ 0}． (5)在不引起混淆的情況下，可省去豎線及代表元素，如 {直角三角形 }， {自然數(shù) }等 ． [活學(xué)活用 ] 下列三個集合： ① A＝ {x|y＝ x2＋ 1}； ② B＝ {y|y＝ x2＋ 1}； ③ C＝ {(x， y)|y＝ x2＋ 1}． (1)它們是不是相同的集合？ (2)它們各自的含義分別是什么？ 解： (1)由于三個集合的代表元素互不相同，故它們是互不相同的集合． (2)集合 A＝ {x|y＝ x2＋ 1}的代表元素是 x，且 x∈ R，所以 {x|y＝ x2＋ 1}＝ R，即 A＝ R；集合 B＝ {y|y＝ x2＋ 1}的代表元素是 y，滿足條件 y＝ x2＋ 1的 y的取值范圍是 y≥1 ，所以 {y|y＝ x2＋ 1}＝ {y|y≥1} ． 集合 C＝ {(x， y)|y＝ x2＋ 1}的代表元素是 (x， y)，是滿足 y＝ x2＋ 1 的數(shù)對．可以認(rèn)為 集合 C是坐標(biāo)平面內(nèi)滿足 y＝ x2＋ 1的點 (x， y)構(gòu)成的集合，其實就是拋物線 y＝ x2＋ 1的圖象 . 集合表示的應(yīng)用 [例 3] (1)集合 A＝ {1，－ 3,5，－ 7,9， ?} 用描述法可表示為 ( ) A． {x|x＝ 2n177。1 ＋ a≤0 ，即 a≤ － 2. 答案： a≤ － 2 8．已知－ 5∈ {x|x2－ ax－ 5＝ 0}，則集合 {x|x2－ 4x－ a＝ 0}中所有元素之和為 ________． 解析：由－ 5∈ {x|x2－ ax－ 5＝ 0}得 (－ 5)2－ a179。1. 此時 A＝ {－ 1}，或 A＝ {1}，符合題意． ∴ a＝ 0或 a＝ 177。2 或 0. 交集的運算 [例 2] (1)若 A＝ {0,1,2,3}， B＝ {x|x＝ 3a， a∈ A}，則 A∩ B等于 ( ) A． {1,2} B． {0,1} C． {0,3} D． {3} (2)設(shè)集合 A＝ {x|－ 1≤ x≤2} ， B＝ {x|0≤ x≤4} ，則 A∩ B等于 ( ) A． {x|0≤ x≤2} B． {x|1≤ x≤2} C． {x|0≤ x≤4} D． {x|1≤ x≤4} [解析 ] (1)A＝ {0,1,2,3}， B＝ {x|x＝ 3a， a∈ A}， ∴ B＝ {0,3,6,9}， ∴ A∩ B＝ {0,3}． (2)在數(shù)軸上表示出集合 A與 B，如下圖． 則由交集的定義， A∩ B＝ {x|0≤ x≤2} ． [答案 ] (1)C (2)A [類題通法 ] 求交集運算應(yīng)關(guān)注兩點 (1)求交集就是求兩集合的所有公共元素形成的集合． (2)利用 集合的并、交求參數(shù)的值時，要檢驗集合元素的互異性． [活學(xué)活用 ] 已知 M＝ {1,2， a2－ 3a－ 1}， N＝ {－ 1， a,3}， M∩ N＝ {3}，求實數(shù) a的值． 解： ∵ M∩ N＝ {3}， ∴ 3∈ M； ∴ a2－ 3a－ 1＝ 3，即 a2－ 3a－ 4＝ 0， 解得 a＝－ 1或 4. 但當(dāng) a＝－ 1時，與集合中元素的互異性矛盾； 當(dāng) a＝ 4時， M＝ {1,2,3}， N＝ {－ 1,3,4}，符合題意． ∴ a＝ 4. 交集、并集的性質(zhì)及應(yīng)用 [例 3] 已知集合 A＝ {x|－ 3x≤4} ，集合 B＝ {x|k＋ 1≤ x≤2 k－ 1}，且 A∪ B＝ A，試求k的取值范圍． [解 ] ∵ A∪ B＝ A， ∴ B?A， ∴ B＝ ?或 B≠ ?. (1)當(dāng) B＝ ?時， k＋ 12k－ 1， ∴ k2. (2)當(dāng) B≠ ?，則根據(jù)題意如圖所示： 根據(jù)數(shù)軸可得 ????? k＋ 1≤2 k－ 1，－ 3k＋ 1，2k－ 1≤4 ， 解得 2≤ k≤ 52. 綜合 (1)(2)可得 {k|k≤ 52}． [類題通法 ] 并 集、交集的性質(zhì)應(yīng)用技巧 對于涉及集合運算的問題，可利用集合運算的等價性 (即若 A∪ B＝ A，則 B?A，反之也成立；若 A∩ B＝ B，則 B?A，反之也成立 )，轉(zhuǎn)化為相關(guān)集合之間的關(guān)系求解． [活學(xué)活用 ] 把本例中的條件 “ A∪ B＝ A” 換為 “ A∩ B＝ A” ，求 k的取值范圍． 解： ∵ A∩ B＝ A， ∴ A?B. 又 A＝ {x|－ 3x≤4} ， B＝ {x|k＋ 1≤ x≤2 k－ 1}，可知 B≠ ?. 由數(shù)軸 可知????? k＋ 1≤ － 3，2k－ 1≥4 ， 解得 k∈ ?， 即當(dāng) A∩ B＝ A時， k的取值范圍為 ?. [典例 ] (1)已知 M＝ {2， a2－ 3a＋ 5,5}， N＝ {1， a2－ 6a＋ 10,3}， M∩ N＝ {2,3}，則 a的值是 ( ) A． 1或 2 B． 2或 4 C． 2 D． 1 (2)集合 A＝ {x|x2－ 3x＋ 2＝ 0}， B＝ {x|x2－ 2x＋ a－ 1＝ 0}， A∩ B＝ B，則 a 的取值范圍為 ________． [解析 ] (1)∵ M∩ N＝ {2,3}， ∴ a2－ 3a＋ 5＝ 3， ∴ a＝ 1或 a＝ 1時， N＝ {1,5,3}，M＝ {2,3,5}不合題意；當(dāng) a＝ 2時， N＝ {1,2,3}， M＝ {2,3,5}符合題意． (2)由題意，得 A＝ {1,2}， ∵ A∩ B＝ B， ∴ 當(dāng) B＝ ?時， (－ 2)2－ 4(a－ 1)0，解得 a2； 當(dāng) 1∈ B時， 1－ 2＋ a－ 1＝ 0，解得 a＝ 2，且此時 B＝ {1}，符合題意； 當(dāng) 2∈ B時， 4－ 4＋ a－ 1＝ 0，解得 a＝ 1，此時 B＝。2 或 1或 x＝ 177。 a178。 x2∈ A B． x2178。1. 當(dāng) a＝ 1時， A＝ {－ 2,1，－ 3}，滿足題意；當(dāng) a＝－ 1時，由 (2)知不合題意． 綜上可知： a＝ 0或 a＝ 1. 答案： 0或 1 [隨堂即時演練 ] 1．下列說法正確的是 ( ) A．某班中年齡較小的同學(xué)能夠形成一個集合 B．由 1,2,3和 9， 1， 4組成的集合不相等 C．不超過 20的非負(fù)數(shù)組成一個集合 D．方程 (x－ 1)(x＋ 1)2＝ 0的所有解構(gòu)成的集合中有 3個元素 解析：選 C A 項中元素不確定． B 項中兩個集合元素相同，因集合中的元素具有無序性，所以兩個集合相等． D項中方程的解分別是 x1＝ 1， x2＝ x3＝－ ，構(gòu)成的集合含 2個元素． 2．若以集合 A的四個元素 a、 b、 c、 d為邊長構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形可能是 ( ) A．梯形 B．平行四邊形 C．菱形 D．矩形 解析：選 A 由于 a、 b、 c、 d 四個元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等． 3．下列說法中 ① 集合 N 與集合 N＋ 是同一個集合 ② 集合 N 中的元素都是集合 Z 中的元素 ③ 集合 Q中的元素都是集合 Z 中的元素 ④ 集合 Q 中的元素都是集合 R 中的元素 其中正確的有 ________． 解析：因為集合 N＋ 表示正整數(shù)集， N表示自然數(shù)集， Z表示整數(shù)集， Q 表示有理數(shù)集， R表示實數(shù)集，所以 ①③ 中的說法不正確， ②④ 中的說法正確． 答案： ②④ 4．設(shè)由 2,4,6構(gòu)成的集合為 A，若實數(shù) a∈ A時， 6－ a∈ A，則 a＝ ________. 解析：代入驗證，若 a＝ 2，則 6－ 2＝ 4∈ A，符合題意；若 a＝ 4，則 6－ 4＝ 2∈ A，符合題意；若 a＝ 6，則 6－ 6＝ 0?A，不符合題意，舍去 ，所以 a＝ 2或 a＝ 4. 答案： 2或 4 5．已知集合 A中含有兩個元素 x， y，集合 B中含有兩個元素 0， x2，若 A＝ B，求實數(shù)x， y的值． 解：因為集合 A， B相等，則 x＝ 0或 y＝ 0. (1)當(dāng) x＝ 0時， x2＝ 0，則 B＝ {0,0}，不滿足集合中元素的互異性，故舍去． (2)當(dāng) y＝ 0時， x＝ x2，解得 x＝ 0或 x＝ (1)知 x＝ 0應(yīng)舍去．綜上知： x＝ 1， y＝ 0. [課時達(dá)標(biāo)檢測 ] 一、選擇題 1．下列判斷正確的個數(shù)為 ( ) (1)所有的等腰三角形構(gòu)成一個集合． (2)倒數(shù)等于它自身的實數(shù)構(gòu)成一個集合． (3)質(zhì)數(shù) 的全體構(gòu)成一個集合． (4)由 2,3,4,3,6,2 構(gòu)成含有 6個元素的集合． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析：選 C (1)正確， (2)若 1a＝ a，則 a2＝ 1， ∴ a＝ 177。 【三維設(shè)計】 2021高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念學(xué)案 新人教 A版必修 1 集 __合 1． 集合的含義與表示 第一課時 集合的含義 集合的概念 [提出問題 ] 觀察下列實例： (1)山東天成書業(yè)集團(tuán)的所有員工； (2)平面內(nèi)到定點 O的距離等于定長 d的所有的點； (3)不等式組????? x＋ 1≥3x2≤9 的整數(shù)解； (4)方程 x2－ 5x＋ 6＝ 0的實數(shù)根； (5)某中學(xué)所有較胖的同學(xué)． 問題 1：上述實例中的研究對象各是什么？ 提示：員工、點、整數(shù)解、實數(shù)根、較胖的同學(xué)． 問題 2：你能確定上述實例的研究對象嗎？ 提示： (1)(2)(3)(4)的研究對象可以確定． 問題 3：上述哪些實例的研究對象不能確定？為什么？ 提示： (5)的研究對象不能確定，因為 “ 較胖 ” 這個標(biāo)準(zhǔn)不明確，故無法確定． [導(dǎo)入新知 ] 元素與集合的概念 定義 表示 元素 一般地，我們把 研究對象 統(tǒng)稱為元素 通常用 小寫拉丁字母 a， b， c， ? 表示 集合 把一些元素 組成的 總體 叫做集合 (簡稱為集 ) 通常用 大寫拉丁字母 A， B， C， ? 表示 [化解疑難 ] 準(zhǔn)確認(rèn)識集合的含義 (1)集合的概念是一種描述性說明，因為集合是數(shù)學(xué)中最原始的、不加定義的概念，這與我們初中學(xué)過的點、直線等概念一樣，都是用描述性語言表述的． (2)集合含義中的 “ 元素 ” 所指的范圍非常廣泛，現(xiàn)實生活中我們看到的、聽到的、聞到的、觸摸到的、想到的各種各樣的事物或一些抽象的符號等，都可以看作 “ 對象 ” ，即集合中的元素 . 元素的特性及集合相等 [提出問 題 ] 問題 1：上述實例 (3)組成的集合的元素是什么？ 提示： 2,3. 問題 2：上述實例 (4)組成的集合的元素是什么？ 提示： 2,3. 問題 3：實例 (3)與實例 (4)組成的集合有什么關(guān)系？ 提示：相等． [導(dǎo)入新知 ] 1．集合相等 只要構(gòu)成兩個集合的元素是 一樣的 ，我們就稱這兩個集合相等． 2．集合元素的特性 集合元素的特性： 確定性 、 互異性 、無序性． [化解疑難 ] 對集合中元素特性的理解 (1)確定性：是指作為一個集合的元素必須是明確的，不能確定的對象不能構(gòu)成集合．也就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個 集合的元素是確定的． (2)互異性：對于給定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的一個元素． (3)無序性：對于給定的集合，其中的元素是不考慮順序的．如 1,2,3與 3,2,1 構(gòu)成的集合是同一個集合． 元素與集合的關(guān)系及常用數(shù)集的記法 [提出問題 ] 某中學(xué) 2021年高一年級 20個班構(gòu)成一集合． 問題 1：高一 (6)班、高一 (16)班是這個集合的元素嗎？ 提示：是這個集合的元素． 問題 2：高二 (3)班是這個集合中的元 素嗎？為什么？ 提示：不是．高一年級這個集合中沒有高二 (3)班這個元素． [導(dǎo)入新知 ] 1．元素與集合的關(guān)系 (1)如果 a是集合 A的元素，就說 a屬于 集合 A，記作 a∈ A. (2)如果 a不是集合 A中的元素，就說 a不屬于 集合 A，記作 a?A. 2．常用的數(shù)集及其記法 常用的數(shù)集 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 記法 N N*或 N＋ Z Q R [化解疑難 ] 1．對 ∈ 和 ?的理解 (1)符號 “ ∈ ”“ ?” 刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系．對于一個元素 a 與一個集合 A而言，只有 “ a∈ A” 與 “ a?A” 這兩種結(jié)果 ． (2)∈ 和 ?具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如 R∈ 0是錯誤的． 2．常用數(shù)集關(guān)系網(wǎng) 實數(shù)集 R?????