【正文】 2．在本例中，若將 “ A?B” 改為 “ A B” ，求實(shí)數(shù) m的取值范圍． 解： ∵ A≠ B， ∴ 兩不等式端點(diǎn)不可能同時(shí)成立，故答案與本例一致． 3．若將本例中的不等式變?yōu)榉匠?，試解決如下問題： 已知集合 A＝ {x|x2＋ 4x＝ 0}， B＝ {x|x2＋ 2(a＋ 1)x＋ a2－ 1＝ 0， a∈ R}，若 B?A，求實(shí)數(shù) a的取值范圍． 解： A＝ {x|x2＋ 4x＝ 0}＝ {0，－ 4}， ∵ B?A， ∴ B＝ ?或 B＝ {0}或 B＝ {－ 4}或 B＝ {0，－ 4}． (1)當(dāng) B＝ ?時(shí)， 方程 x2＋ 2(a＋ 1)x＋ a2－ 1＝ 0無實(shí)根， 則 Δ 0，即 4(a＋ 1)2－ 4(a2－ 1)0. ∴ a－ 1. (2)當(dāng) B＝ {0}時(shí)， 有????? Δ ＝ 0，a2－ 1＝ 0， ∴ a＝－ 1. (3)當(dāng) B＝ {－ 4}時(shí)， 有????? Δ ＝ 0，a2－ 8a＋ 7＝ 0， 無解． (4)當(dāng) B＝ {0，－ 4}時(shí)，由韋達(dá)定理得 a＝ 1. 綜上所述， a＝ 1或 a≤ － 1. [隨堂即時(shí)演練 ] 1．給出下列四個(gè)判斷： ① ?＝ {0}； ② 空集沒有子集； ③ 任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集； ④ 空集是任何一個(gè)集合的子集． 其中，正確的有 ( ) A． 0個(gè) B． 1個(gè) C． 2個(gè) D． 3個(gè) 解析：選 B 由空集的性質(zhì)可知，只有 ④ 正確， ①②③ 均不正確． 2．已知 A＝ {x|x是菱形 }， B＝ {x|x是正方形 }， C＝ {x|x是平行四邊形 }，那么 A， B，C之間的關(guān)系是 ( ) A． A?B?C B． B?A?C C． A B?C D． A＝ B?C 解析：選 B 集合 A， B， C關(guān)系如圖． 3．已知集合 A＝ {－ 1,3， m}， B＝ {3,4}，若 B?A，則實(shí)數(shù) m＝ ________. 解析 ： ∵ B?A， B＝ {3,4}， A＝ {－ 1,3， m} ∴ m∈ A， ∴ m＝ 4. 答案： 4 4．集合 A＝ {x|0≤ x3且 x∈ N}的真子集的個(gè)數(shù)為 ________． 解析：由題意得 A＝ {0,1,2}，故集合 A有 7個(gè)真子集． 答案： 7 5．已知集合 A＝ {x|1≤ x≤2} ， B＝ {x|1≤ x≤ a}． (1)若 A是 B的真子集，求 a的取值范圍； (2)若 B是 A的子集，求 a的取值范圍； (3)若 A＝ B，求 a的取值范圍． 解： (1)若 A是 B的真子集，即 A B，故 a2. (2)若 B是 A的子集，即 B?A，則 a≤2. (3)若 A＝ B，則必有 a＝ 2. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測 ] 一、選擇題 1．已知集合 A＝ {x|x＝ 3k， k∈ Z}， B＝ {x|x＝ 6k， k∈ Z}，則 A與 B之間最適合的關(guān)系是 ( ) A． A?B B． A?B C． A B D． A B 解析：選 D 顯然 B是 A的真子集，因?yàn)?A中元素是 3的整數(shù)倍，而 B的元素是 3的偶數(shù)倍． 2．已知集合 M＝ {x|－ 5x 3， x∈ Z}，則下列集合是集合 M的子集的為 ( ) A． P＝ {－ 3,0,1} B． Q＝ {－ 1,0,1,2} C． R＝ {y|－ π y－ 1， y∈ Z} D． S＝ {x||x|≤ 3， x∈ N} 解析：選 D 先用列舉法表示集合，再觀察元素與集合的關(guān)系．集合 M＝ {－ 2，－ 1,0,1}，集合 R＝ {－ 3，－ 2}，集合 S＝ {0,1}，不難發(fā)現(xiàn)集合 P中的元素－ 3?M，集合 Q中的元素 2?M，集合 R 中的元素－ 3?M，而集合 S＝ {0,1}中的任意一個(gè)元素都在集合 M中，所以 S?M，且 S D. 3．已知集合 P＝ {x|x2＝ 1}， Q＝ {x|ax＝ 1}，若 Q?P，則 a的值是 ( ) A． 1 B．－ 1 C． 1或－ 1 D． 0,1或－ 1 解析：選 D 由題意，當(dāng) Q為空集時(shí)， a＝ 0；當(dāng) Q不是空集時(shí)，由 Q?P， a＝ 1或 a＝－1. 4．已知集合 A?{0,1,2}，且集合 A 中至少含有一個(gè)偶數(shù)，則這樣的集合 A 的個(gè)數(shù)為( ) A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 解析：選 A 集合 {0,1,2}的子集為： ?， {0}， {1}， {2}， {0,1}， {0,2}， {1,2}， {0,1,2}，其中含有偶數(shù)的集合有 6個(gè)．故選 A. 5．已知集合 M＝ {(x， y)|x＋ y0， xy0}和 P＝ {(x， y)|x0， y0}，那么 ( ) A． P M B． M P C． M＝ P D． M? P 解析：選 C ∵????? x＋ y0，xy0， ∴ ????? x0，y0. ∴ M＝ P. 二、填空題 6．已知 M＝ {y|y＝ x2－ 2x－ 1， x∈ R}， N＝ {x|－ 2≤ x≤4} ，則集合 M與 N之間的關(guān)系 是________． 解析： ∵ y＝ (x－ 1)2－ 2≥ － 2， ∴ M＝ {y|y≥ － 2}． ∴ N M. 答案： N M “ 文學(xué)作品 ”“ 散文 ”“ 小說 ”“ 敘事散文 ” 這四個(gè)文學(xué)概念之間的關(guān)系，請(qǐng)作適當(dāng)?shù)倪x擇填入下面的空格： A為 ________； B為 ________； C為 ________； D為 ________． 解析：由 Venn圖可得 A B， C D B， A與 D之間無包含關(guān)系， A與 C之間無包含關(guān)系．由“ 文學(xué)作品 ”“ 散文 ”“ 小說 ”“ 敘事散文 ” 四個(gè)文學(xué)概念之間的關(guān)系，可得 A 為小說， B為文學(xué)作品， C為敘事散文， D為散文． 答案：小說 文學(xué)作品 敘事散文 散文 8．已知集合 A＝ {x|ax2＋ 2x＋ a＝ 0， a∈ R}，若集合 A有且僅有 2個(gè)子集，則 a的取值構(gòu)成的集合為 ________． 解析：因?yàn)榧?A有且僅有 2個(gè)子集，所以 A僅有一個(gè)元素，即方程 ax2＋ 2x＋ a＝ 0(a∈ R)僅有一個(gè)根． 當(dāng) a＝ 0時(shí)，方程化為 2x＝ 0， ∴ x＝ 0，此時(shí) A＝ {0}，符合題意． 當(dāng) a≠0 時(shí)， Δ ＝ 22－ 4178。1. 答案： {0,1，－ 1} 三、解答題 9．已知 A＝ {x|x2－ 3x＋ 2＝ 0}， B＝ {x|ax－ 2＝ 0}，且 B?A，求實(shí)數(shù) a組成的集合 C. 解：由 x2－ 3x＋ 2＝ 0，得 x＝ 1，或 x＝ 2. ∴ A＝ {1,2}． ∵ B?A， ∴ 對(duì) B分類討論如下： (1)若 B＝ ?，即方程 ax－ 2＝ 0無解，此時(shí) a＝ 0. (2)若 B≠ ?， 則 B＝ {1}或 B＝ {2}． 當(dāng) B＝ {1}時(shí)， 有 a－ 2＝ 0，即 a＝ 2； 當(dāng) B＝ {2}時(shí)，有 2a－ 2＝ 0，即 a＝ 1. 綜上可知，符合題意的實(shí)數(shù) a所組成的集合 C＝ {0,1,2}． 10．設(shè)集合 A＝ {x|－ 1≤ x＋ 1≤6} ， B＝ {x|m－ 1x2m＋ 1}． (1)當(dāng) x∈ Z 時(shí)，求 A的非空真子集的個(gè)數(shù)； (2)若 A?B，求 m的取值范圍． 解：化簡集合 A得 A＝ {x|－ 2≤ x≤5} ． (1)∵ x∈ Z， ∴ A＝ {－ 2，－ 1,0,1,2,3,4,5}， 即 A中含有 8個(gè)元素， ∴ A的非空真子集數(shù)為 28－ 2＝ 254(個(gè) )． (2)① 當(dāng) m≤ － 2時(shí)， B＝ ?? A； ② 當(dāng) m－ 2時(shí)， B＝ {x|m－ 1x2m＋ 1}， 因此，要 B?A， 則只要????? m－ 1≥ － 22m＋ 1≤5 ?－ 1≤ m≤2. 綜上所述，知 m的 取值范圍是： {m|－ 1≤ m≤2 或 m≤ － 2}． 1． 集合的基本運(yùn)算 第一課時(shí) 集合的并集、交集 并集 [提出問題 ] 已知下列集合： A＝ {x|x2－ 1＝ 0}， B＝ {x∈ N|1≤ x≤4} ， C＝ {－ 1,1,2,3,4}． 問題 1：集合 A與集合 B各有幾個(gè)元素？ 提示： A＝ {－ 1,1}， B＝ {1,2,3,4}，即集合 A有 2個(gè)元素，集合 B有 4個(gè)元素． 問題 2：若將集合 A與集合 B的元素放在一起， 構(gòu)成一個(gè)新的集合是什么？ 提示： {－ 1,1,2,3,4}． 問題 3：集合 C中的元素與集合 A、 B有什么關(guān)系？ 提示： C中元素屬于 A或?qū)儆?B. [導(dǎo)入新知 ] 1．并集的概念 文字語言 一般地，由所有 屬于集合 A或?qū)儆诩?B的元素組成的集合，稱為集合 A與 B的并集，記作 A∪ B(讀作 “ A并 B”) 符號(hào)語言 A∪ B＝ {x|x∈ A，或 x∈ B} 圖形語言 2．并集的性質(zhì) (1)A∪ B＝ B∪ A，即兩個(gè)集合的并集滿足交換律． (2)A∪ A＝ A，即任何集合與其本身的并 集等于這個(gè)集合本身． (3)A∪ ?＝ ?∪ A＝ A，即任何集合與空集的并集等于這個(gè)集合本身． (4)A?(A∪ B)， B?(A∪ B)，即任何集合都是該集合與另一個(gè)集合并集的子集． (5)若 A?B，則 A∪ B＝ B，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于這個(gè)集合本身． [化解疑難 ] 理解并集應(yīng)關(guān)注三點(diǎn) (1)A∪ B仍是一個(gè)集合，由所有屬于 A或?qū)儆?B的元素組成． (2)“ 或 ” 的數(shù)學(xué)內(nèi)涵的形象圖示如下： (3)若集合 A和 B中有公共元素，根據(jù)集合元素的互異性，則 在 A∪ B中僅出現(xiàn)一次 . 交集 [提出問題 ] 已知 A＝ {1,2,3,4}， B＝ {3,4,5,6}， C＝ {3,4}． 問題 1：集合 A與集合 B有公共元素嗎？它們組成的集合是什么？ 提示：有． {3,4} 問題 2：集合 C中的元素與集合 A， B有什么關(guān)系？ 提示： C中的元素既屬于 A又屬于 B. [導(dǎo)入新知 ] 1．交集的概念 文字 語言 一般地，由屬于 集合 A且屬于集合 B的所有元素組成的集合，稱為 A與 B的交集，記作 A∩ B(讀作 “ A交 B”) 符號(hào) 語言 A∩ B＝ {x|x∈ A，且 x∈ B} 圖形 語言 2．交集的性質(zhì) (1)A∩ B＝ B∩ A，即兩個(gè)集合的交集滿足交換律． (2)A∩ A＝ A，即任何集合與其本身的交集等于這個(gè)集合本身． (3)A∩ ?＝ ?∩ A＝ ?，即任何集合與空集的交集等于空集． (4)A∩ B?A， A∩ B?B，即兩個(gè)集合的交集是其中任一集合的子集． (5)若 A?B，則 A∩ B＝ A，反之也成立，即若 A是 B的子集，則 A， B的公共部分是 A. [化解疑難 ] 理解交集的概念應(yīng)關(guān)注四點(diǎn) (1)概念中 “ 且 ” 即 “ 同時(shí) ” 的意思，兩個(gè)集合交集中的元素必須同時(shí)是兩個(gè)集合的元素． (2)概念中的 “ 所有 ” 兩字不能省，否則將會(huì)漏掉一些元素，一定要將相同元素全部找出． (3)當(dāng)集合 A和集合 B無公共元素時(shí)，不能說集合 A， B沒有交集，而是 A∩ B＝ ?. (4)定義中 “ x∈ A，且 x∈ B” 與 “ x∈ (A∩ B)” 是等價(jià)的，即由既屬于 A，又屬于 B的元素組成的集合為 A∩ A或只屬于集合 B的元素，不屬于 A∩ B. 并集的運(yùn)算 [例 1] (1)設(shè)集合 M＝ {4,5,6,8}，集合 N＝ {3,5,7,8}，那么 M∪ N等于 ( ) A． {3,4,5,6,7,8} B． {5,8} C． {3,5,7,8} D． {4,5,6,8} (2)若集合 A＝ {x|x－ 1}， B＝ {x|－ 2x2}，則 A∪ B等于 ( ) A． {x|x－ 2} B． {x|x－ 1} C． {x|－ 2x－ 1} D． {x|－ 1x2} [解析 ] (1)由并集的定義知， M∪ N＝ {3,4,5,6,7,8}． (2)畫出數(shù)軸如圖所示，故 A∪ B＝ {x|x－ 2}． [答案 ] (1)A (2)A [類題通法 ] 并集的運(yùn)算技巧 (1)若集合中元素個(gè)數(shù)有限，則直接根據(jù)并集的定義求解，但要注意集合中元素的互異性． (2)若集合中元素個(gè)數(shù)無限，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意是否去掉端點(diǎn)值． [活學(xué)活用 ] 若集合 A＝ {1,4， x}， B＝ {1， x2}， A∪ B＝ {1,4， x}，則滿足條件的實(shí)數(shù) x有 ( ) A． 1個(gè) B． 2個(gè) C． 3個(gè) D． 4個(gè) 解析：選 C 從 A∪ B＝ {1,4， x}看它與集合 A、 B元 素之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn) A∪ B＝ A，從而 B是 A的子集，則 x2＝ 4或 x2＝ x，解得 x＝ 177