【正文】 ............................................. 6 （實(shí)例） ................................................................................................... 7 研究流行病的意義 .............................................................................................. 8 第二章 預(yù)備知識(shí) ........................................................................................................... 10 SLIR 模型的建立 ........................................................................................... 10 基本的定義，定理，公式 ...................................................................................11 第三章 SLIR 模型的非負(fù)性和有界性 .............................................................................. 15 解的非負(fù)性 ....................................................................................................... 15 模型解的有界性。 ，染病者走向滅亡或持續(xù)生存。 ，我們主要介紹流感的定義，分類和背景，并且詳細(xì)的闡述了流感的傳播原理和流感帶來的危害，以及研究流感的現(xiàn)實(shí)意義。 本科畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 題 目 一個(gè)流感動(dòng)力學(xué)模型的定性性質(zhì) 摘要 自從傳染病出現(xiàn)以來，人類因其死亡的人數(shù)無以計(jì)數(shù)。 ，我們建立了一個(gè)簡單的 SLIR 模型，并對(duì)模型做了簡單的分析，引入了一些定 義和引理作為預(yù)備知識(shí)。 關(guān)鍵詞： 流感，易感者，染病者，潛入者，康復(fù)者，模型的解的非負(fù)性，解的討論，染病者的去向。 ............................................................................................ 17 章節(jié)總結(jié)： ............................................................................................................. 17 第四章 易感者與染病者的社會(huì)影響 ............................................................................... 19 染病者人群 I .................................................................................................... 19 人體免疫能力的知識(shí)補(bǔ)充 .................................................................................. 20 易感者人群 S .................................................................................................... 22 染病者的去向 ................................................................................................... 23 本章小結(jié) ................................................................................................................. 25 第六章 結(jié)束語 ............................................................................................................... 26 參考文獻(xiàn) ........................................................................................................................ 28 第一章 緒論 流感的定義（流感和流行病的區(qū)別和聯(lián)系） 流行病是指可以通過特定途徑感染到眾多人口的傳染病，它的特性是能夠在短時(shí)間內(nèi)廣泛蔓延，例如霍亂，腦膜炎，流行性感冒（簡稱流感，后文將一直用簡稱），本文主要通過動(dòng)力學(xué)模型探討流感的傳播規(guī)律及其性態(tài)。 而流感是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一種傳染性強(qiáng)、傳播速度快的疾病。該病是由流感病毒引起流行性感冒，病毒屬正粘病毒科，直徑 80～ 120nm，球形或絲狀 [2]。 流感的分類 根據(jù)流感病毒感染的對(duì)象，我們可將流感病毒分為：人類流感病毒、豬流感病毒、馬流感病毒以及禽流感病毒等。丙型相對(duì)來說不重要，很少引起大 流行 [3]。感染這種病毒后的主要癥狀和普通人流感癥狀類似，包括頭痛，發(fā)燒，咳嗽，喉嚨疼，疲乏無力等等。引起人感染豬流感病毒的“罪魁禍?zhǔn)住笔莵喰?H1N1 病毒， 37 例中有33 例都是由 H1N1 引起的，占比為 %只有 4 例是由 H3N2 引起的。這些科學(xué)的復(fù)雜性，使得人們越來越習(xí)慣用新思想來思考和看待復(fù)雜問題。其中非致病性和低致病性的危害都不是很大，只有高致病性十分嚴(yán)重。在高致病性禽流感的傳播下，人類社會(huì)生活遭受了巨大的負(fù)面影響和經(jīng)濟(jì)損失。 禽流感的傳播途徑和方式比較明顯。在 4℃的溫度下，禽流感病毒能在糞便中存活一個(gè)月之久，但在高溫下（ 37℃左右時(shí)）卻只能存活一周左右。由于氣候的變化，候鳥遷徙，這時(shí)攜帶流感病毒的禽鳥就是一個(gè)“移動(dòng)傳染源”。 流感的流行也有“壽命”一說。 （實(shí)例） 世界糧農(nóng)組織 20xx 年八月二十九指出， H5N1 是一種高致病性的禽流感病毒，且能傳染給人類，在最近幾年有擴(kuò)散蔓延的趨勢，各國應(yīng)高度警示。從 20xx 年上半年開始“ H7N9”便成為了網(wǎng)絡(luò)熱詞，這種高致病性的流感病毒嚴(yán)重的威脅著我們的生命安全，它從發(fā)現(xiàn)首例病例開始迅速蔓延至全國多個(gè)地方，奪取了很多鮮活的生命。首先，因?yàn)榻臃N率并非百分之百，所以會(huì)造成一種大部分易感者獲得了免疫能力，而一部分接種后沒有獲得免疫能力，但疫情管理部門卻不知道到底有哪些人沒有有效接種疫苗，故此產(chǎn)生一個(gè)新的人群。在接種疫苗時(shí)，民眾心理也是不斷變化的。有效的隔離時(shí)間段是在流感剛開始爆發(fā)的時(shí)候，將染病者及與其有密切接觸者進(jìn)行隔離，這樣能夠十分有效的控制病情的傳播，且將 流感的危害降低到最低。而禽流感的研究也有巨大的意義，能減少巨大的農(nóng)業(yè)損失，使 當(dāng)?shù)鼗驀业慕?jīng)濟(jì)受禽流感的影響降到最低，有效的減少國家經(jīng)濟(jì)損失。 21 世紀(jì)以來，在我國有關(guān)部門的努力下，我國傳染病的死亡率和發(fā)病率都大幅下降。 政府為 了提高處理流感等流行病的能力，化被動(dòng)防治為主動(dòng)，最大限度的減少流行病造成的損失，保障人民的人身安全，維護(hù)國家和社會(huì)穩(wěn)定，保證經(jīng)濟(jì)，社會(huì)全面可持續(xù)的發(fā)展，加強(qiáng)傳染病動(dòng)態(tài)模型的研究就顯得十分有意義和必要。上海的兩名患者醫(yī)治無效死亡，安徽患者病情十分嚴(yán)重，正在接受搶救。 本文受劉彥麟論文的啟發(fā)，劉建立的是 SIR 模型，主要是以 H1N1 流感為模型而建立的，他的論文中詳細(xì)解決了 SIR 模型的非負(fù)性，以及染病者 I 的最終去向的問題，但我覺得在一個(gè)流感模型中應(yīng)該 還可以添加一個(gè)潛伏者這一類人群，因?yàn)檫@在現(xiàn)實(shí)中是存在的，所以我建立了下面的 SLIR 模型，在添加一個(gè)人群后再討論模型的非負(fù)性等問題。 A（ t）在這里表示 t 時(shí)刻該地的人口增長率（包括人口的出生率，外來人口遷移率）。 基本的定義，定理，公式 從實(shí)際情況來考慮我們知道各個(gè)函數(shù)的初始值都是非負(fù)的，且都是有界函數(shù)。 使得： 12l i m i n f ( ) l i m s u p ( )ttm I t I t m? ? ? ?? ? ?那么稱染病者人群是持續(xù)生存的。 再令 0[ ( ) ] 1lim ( )Tt f d xTmt xf ? ??? ?， 0 ()infl tf f t??， 0 ()supLtf f t??， 01 ()Tf f s dsT? ? 。 對(duì)于足夠大的 t 我們有 ( ) ( )LASt k? ， ( ) ( )LALt k? ， ( ) ( )LAIt k? ， ( ) ( )LARt k? 。 定義 若滿足下面條件我們則稱模型 是全局性吸引的 ①12lim ( ) ( ) 0t S t S t? ?? ??， ②12lim ( ) ( ) 0t L t L t? ?? ??， ③12lim ( ) ( ) 0t I t I t? ?? ??， ④12lim ( ) ( ) 0t R t R t? ?? ??。實(shí)際中模型（ ）的解是解不出的，故我們轉(zhuǎn)而求其次，首先，我們先看一下方程組中每個(gè)方程是否能夠做出什么來，下面我們就逐個(gè)討論（ ）的微分方程。 即 () [ ( ) ( ) ( ) ]d S t t I t t k d tS ? ? ?? ? ? ? ? ? 再對(duì)不等式兩邊積分可得： 0() e xp [ ( ) ( ) ( ) ]( 0) tSt s I s s k dsS ? ? ?? ? ? ? ? ?? ， 由于 (0) 0S ? ，所以我們可得 ( ) 0S t b??.其中 b 為某個(gè)正常數(shù)。 ⑶ 現(xiàn)在我們考慮（ ）第三個(gè)微分方程 ( ) ( ) [ ( ) ]dI t S t L t k Idt ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ， 如上可得 ( ) ( ) [ ( ) ]dI t S t L t k Idt ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， [ ( ) ( )]t k t I?? ? ? ?。到這里我們得到第四個(gè)微分方程的解也是非負(fù)的。 在模型 （ ）中，我們將第一，第二，第三，第四個(gè)微分方程相加，可得如下等式： ()d S d L d I d R A S L I R kd t d t d t d t? ? ? ? ? ? ? ? ?， 變形一下得 () ()d S L I R A S L I R kdt? ? ? ?