【正文】 ： 如果完成一件事需要三個步驟，做第 1步有 1m 種不同的方法，做第 2步有 2m 種不同的方法，做第 3步有 3m 種不同的方法，那么完成這件事共有 多少種不同的方法？ 如果完成一件事情需要 n 個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應當如何計數(shù)呢？ 一般 歸納： [來源 :學科網(wǎng) ZXXK] 完成一件事情 ，需要分成 n個步驟，做第 1步 有 1m 種不同的方法 ，做 第 2步 有 2m 種不同的方法 ?? 做 第 n步 有 nm 種不同的方法 .那么 完成這件事共有 nmmmN ??????? 21 種不同的方法 . 理解分步乘法 計數(shù)原理： 分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存， 完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事 . 3．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點 ①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題 ②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步 驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成 . 3 綜合 應用 例 3. 書架的第 1層放有 4本不同的計算機書，第 2層放有 3本不同的文藝書，第 3層放 2本不同的體育書 . ①從書架上任取 1本書，有多少種不同的取法？ ②從書架的第 3層各取 1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？ 【分析】 ①要完成的事是“取一本書”，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應用分類計數(shù)原理 . ②要完成的 事是“從書架的第 3 層中各取一本書”，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有第 3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應用分步計數(shù)原理 . ③要完成的事是“取 2本不同學科的書”，先要考慮的是取哪兩個學科的書，如取計算機和文藝書各 1本，再要考慮取 1本計算機書或取 1本文藝書都只完成了這 件事的一部分，應用分步計數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數(shù)之間還應運用分類計數(shù)原理 . 解 ： (1) 從書架上任取 1本書，有 3 類方法：第 1 類方法是從第 1 層取 1 本計算機書，有 4 種方法；第 2 類方法是從第 2 層取 1 本文藝書，有 3 種方法；第 3 類方法是從第 3 層取 1 本體育書，有 2 種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是 1 2 3N m m m? ? ? =4+3+2=9。 子模塊 4 或子模塊 5 中的子路徑共有 38 + 43 = 81 （條） . 又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑共有 91 81 = 7 371（條） . 在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊．這樣，他可以先分別單獨測試 5 個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常．總共需要的測試次數(shù)為 18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第 1 步中的各個子模塊和第 2 步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為 3 2=6 . 如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么 整個程序模塊就工作正常．這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)? 172 + 6=178（次） . 顯然， 178 與 7371 的差距是非常大的． 你看出了程序員是如何實現(xiàn)減少測試次數(shù)的嗎？ 鞏固 練習： ,從甲地到乙地有 2條路可通 ,從乙地到丙地有 3條路可通 。 ( 2 ）從 A 村去 B 村的道路有 3 條，從 B 村去 C 村的道路有 2 條，從 A 村經(jīng) B 的路線有＿條． 第二課時 2 分步乘法計數(shù)原理 （ 1）提出問題 [來 問題 ： 用前 6個大寫英文字母和 1— 9九個阿拉伯數(shù)字，以 1A , 2A ,?， 1B , 2B ,?的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？ 用列舉法可以列出所有可能的號碼： 我們還可以這樣來思考：由于前 6 個英文字母中的任意一個都能與 9 個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有 6 9 = 54 個不同的號碼． 探究： 你能說 說這個問題的特征嗎？ （ 2）發(fā)現(xiàn)新知 分步乘法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第 1類方案中有 m 種不同的方法，在第 2類方案中有 n 種不同的方法 . 那么完成這件事共有 nmN ?? 種不同的方法 . （ 3）知識應用 例 30名，女生 24名 . 現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？ 分析 ：選出一組參賽代表，可以分兩個步驟．第 l 步選男生．第 2步選女 生． 解 ：第 1 步，從 30 名男生中選出 1人，有 30 種不同選擇； 第 2 步，從 24 名女生中選出 1人 ， 有 24 種不同選擇． 根 據(jù)分步乘法計 數(shù) 原 理， 共 有 30 24 =720 種不 同的選法 ． 探究 ： 如果完成一件事需要三個步驟，做第 1步有 1m 種不同的方法，做第 2步有 2m 種不同的方法，做第 3步有 3m 種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？ 如果完成一件事情需要 n 個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應當如何計數(shù)呢？ 一般歸納： 完成一件事情 ，需要分成 n個步驟，做第 1步 有 1m 種不同的方法 ，做 第 2步 有 2m 種不同的方法 ?? 做 第 n步 有 nm 種不同的方法 .那么 完成這件事共有 nmmmN ??????? 21 種不同的方法 . 理解分步乘法計數(shù)原理： 分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各 個步驟都完成后，才算完成這件事 . 3．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點 ①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題 ②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成 . 例 2 .如圖 ,要給地圖 A、 B、 C、 D四個區(qū)域分別涂上 3種不同顏色中的某一種 ,允許同一種顏色使用多次 ,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色 ,不同的涂色方案有多少種？ 解 : 按地圖 A、 B、 C、 D四個區(qū)域依次分四步完成 , 第一步 , m1 = 3 種 , 第二步 , m2 = 2 種 , 第三步 , m3 = 1 種 , 第四步 , m4 = 1 種 , 所以根據(jù)乘法原理 , 得到不同的涂色方案種數(shù)共有 N = 3 2 1 1 = 6 變式 1，如圖 ,要給地圖 A、 B、 C、 D四個區(qū)域分別涂上 3種不同顏色中的某一種 ,允許同一種顏色使用多次 ,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色 ,不同的涂色方案有多少種？ 2若顏色是 2種， 4種， 5種又會什么樣的結果呢？ 練習 2．現(xiàn)有高一年級的學生 3 名，高二年級的學生 5 名，高三年級的學生 4 名． ( 1 ）從中任選 1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？村去 C 村，不同 ( 2 ）從 3 個年級的學生中各選 1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？ 第三課時 3 綜合應用 例 1. 書架的第 1層放有 4本不同的計算機書，第 2層放有 3本不同的文藝書，第 3層放 2本不同的體育書 . ①從書架上任取 1本書，有多少種不同的取法？ ②從書架的第 3層各取 1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？ 【分析】 ①要完成的事是“取一本書”，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應用分類計數(shù)原理 . ②要完成的事是“從書架的第 3 層中各取一本書”，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有 第 3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應用分步計數(shù)原理 . ③要完成的事是“取 2本不同學科的書”，先要考慮的是取哪兩個學科的書，如取計算機和文藝書各 1本，再要考慮取 1本計算機書或取 1本文藝書都只完成了這 件事的一部分，應用分步計數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數(shù)之間還應運用分類計數(shù)原理 . 解 ： (1) 從書架上任取 1本書，有 3 類方法：第 1 類方法是從第 1 層取 1 本計算機