【正文】 FIR 濾波器在通信、圖像處理、模式識(shí)別等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)字濾波器輸入信號的抽樣率應(yīng)大于被處理信號帶寬的兩倍，其頻率響應(yīng)具有以抽樣頻率為間隔的周期重復(fù)特 性，且以折疊頻率即 1／ 2 抽樣頻率點(diǎn)呈鏡像對稱。所謂數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，按預(yù)定的算法，將輸入離散時(shí)間信號轉(zhuǎn)換為所要求的輸出離散時(shí)間信號的特定功能的裝置。 （ 7）重復(fù)： 若發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解 , 則算法停止 , 否則轉(zhuǎn) 3 ,對產(chǎn)生的新一代群體進(jìn)行重新評價(jià)、選擇、交叉、變異操作 , 如此循環(huán)往復(fù) , 使群體中最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度和平均適應(yīng)度不斷提高。適應(yīng)度函數(shù)可以根據(jù)目標(biāo)函數(shù)而定。 遺傳算法基本流程操作 圖 141 解決實(shí)際問題時(shí)遺傳算法流程圖 武漢理工大學(xué)《數(shù)字信號處理》 6 圖 142 遺傳過程 （ 1） 編碼： 確定用何種碼制 , 然后將問題參數(shù)編碼形成基因碼鏈，每一個(gè)碼鏈代表一個(gè)個(gè)體 , 表示優(yōu)化問題的一個(gè)解。這一特點(diǎn)使得遺傳算法的應(yīng)用范圍大大擴(kuò)展。 (2)許多傳統(tǒng)搜索算法都是單點(diǎn)搜索算法，容易陷入局部的最優(yōu)解。 遺傳算法還具有以下幾方面的特點(diǎn)： (1)遺傳 算法從問題解的串集開始嫂索，而不是從單個(gè)解開始。 遺傳算法的特點(diǎn) 遺傳算法是解決搜索問題的一種通用算法，對于各種通用問題都可以使用。染色體作為遺傳物質(zhì)的主要載體，即多個(gè)基因的集合，其內(nèi)部表現(xiàn) 為 某種基因組合（即基因型），它決定了個(gè)體形狀的外部表現(xiàn)，如黑頭發(fā)的特征是由染色體中控制這一特征的某種基因組合決定的。它是現(xiàn)代有關(guān) 智能計(jì)算 中的 關(guān)鍵技術(shù) 。遺傳算法的應(yīng)用研究已從初期的組合優(yōu)化求解擴(kuò)展到了許多更新、更工程化的應(yīng)用方面。它是由 美國 的 教授 1974年首先提出，其主要特點(diǎn)是直接對結(jié)構(gòu)對象進(jìn)行操作，不存在求導(dǎo)和函數(shù)連續(xù)性的限定；具有內(nèi)在的隱并行性和更好的全局尋優(yōu)能力；采用概率化的尋優(yōu)方法，能自動(dòng)獲取和指導(dǎo)優(yōu)化的搜索空間，自適應(yīng)地調(diào)整搜索方向，不需要確定的規(guī)則。它是由美國 教授 1975 年最先提出 ， 其主要特點(diǎn)是直接對結(jié)構(gòu)對象進(jìn)行操作 ， 不存在求導(dǎo)和函數(shù)連續(xù)性的限定 ， 具有內(nèi)在的隱并行性和更好的全局尋優(yōu)能力 ， 采用概率化的尋優(yōu)方法 ， 能自動(dòng)獲取和指導(dǎo)優(yōu)化的搜索空間 ， 自適應(yīng)地調(diào)整搜索方向 ， 不需要確定的規(guī)則。遺傳算法的這些性質(zhì)已被廣泛地應(yīng)用于問題求解、機(jī)器學(xué)習(xí)、信號處理、智能控制和人工生命等領(lǐng)域。 隨后經(jīng)過 20 余年的發(fā)展，取得了豐碩的應(yīng)用成果和理論研究的進(jìn)展，無論是理論研究還是應(yīng)用研究都成了十分熱門的課題。 近幾年來，遺傳算法主要在復(fù)雜優(yōu)化問題求解和工業(yè)工程領(lǐng)域應(yīng)用方面，取得了一些令人信服的結(jié)果，所以引起了很多人的關(guān)注。 隨著遺傳算法的不斷發(fā)展， 關(guān)于遺傳算法的國際學(xué)術(shù)活動(dòng)越來越多， 遺傳算法已成為一個(gè)多學(xué)科、多領(lǐng)域的重要研究方向。因此，在一開始需要實(shí)現(xiàn)從表現(xiàn)型到基因型的映射 ， 即編碼工作。搜索算法的共同特征為： （ 1） 首先組成一組候選解； （ 2） 依據(jù)某些適應(yīng)性條件測算這些候選解的適應(yīng)度； （ 3） 根據(jù)適應(yīng)度保留某些候選解，放棄其他候選解； （ 4） 對保留的候選解進(jìn)行某些操作，生成新的候選解。這是遺傳算法與傳統(tǒng)優(yōu)化算法的極大區(qū)別。遺傳算法同時(shí)處理群體中的多個(gè)個(gè)體，即對搜索空間中的多個(gè)解進(jìn)行評估，減少了陷入局部最優(yōu)解的風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)算法本身易于實(shí)現(xiàn)并行化。 (4)遺傳算法不是采用確定性規(guī)則，而是采用概率的變遷規(guī)則來 指導(dǎo)他的搜索方向。 （ 2）初始化： 隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)規(guī)模為 P 的初始種群 , 其中每個(gè)個(gè)體為一定長度的碼鏈 , 該群體代表優(yōu)化問題的一些可能解的集合。 （ 4）再生 (選擇 )： 根據(jù)每個(gè)個(gè)體的相對適應(yīng)度 , 計(jì)算每個(gè)個(gè)體的再生次數(shù) , 并進(jìn)行再生操作 , 產(chǎn)生新的個(gè)體加人下一代群體中 , 一般再生的概率與其適應(yīng)度成正比。 武漢理工大學(xué)《數(shù)字信號處理》 8 2 數(shù)字濾波器 數(shù)字濾波器的簡介 數(shù)字濾波器一詞出現(xiàn)在 60 年代中期。也可以說成是通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。為得到模擬信號，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號須經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換、平滑。 武漢理工大學(xué)《數(shù)字信號處理》 9 有限長單位沖激響應(yīng)（ FIR）濾波器有以下特點(diǎn)： （ 1）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) h (n)在有限個(gè) n 值處不為零； （ 2）系統(tǒng)函數(shù) H(z)在 |z|0 處收斂，極點(diǎn)全部在 z = 0 處（因果系統(tǒng)）； （ 3）結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。 （ 2） IIR 數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)： IIR 數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。在設(shè)計(jì)一個(gè) IIR數(shù)字濾波器時(shí)，我們根據(jù)指標(biāo)先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的公式。 （ 2）幅頻特性 IIR 數(shù)字濾波器幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應(yīng)用于對相位信息不敏感的音頻信號上； FIR 數(shù)字濾波器的幅頻特性精度較之于 IIR 數(shù)字濾波器低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號經(jīng)過 FIR 濾波器后他們的時(shí)間差不變，這是很好的性質(zhì)。一般來說，對于 IIR 濾波器，相頻特性不做要求，而對于有線相位要求的濾波器，一般采用 FIR 濾波器來實(shí)現(xiàn)。 （ 2）如果要設(shè)計(jì)的不是數(shù)字低通濾波器，則還需將步驟（ 1）中變換所得到的相應(yīng)的（高通、帶通、帶阻）模擬濾波器性能指標(biāo)變換成模擬濾波器的性能指標(biāo)，這是因?yàn)橹挥心M低通濾波器才有圖形和表格可以利用。 2） 因果穩(wěn)定的 ??sHa 應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的 ??zH 。因此可將 )(sHa 展開稱部分分式表達(dá)式： 武漢理工大學(xué)《數(shù)字信號處理》 13 ?? ?? Nk kka ss AsH 1)( 其相應(yīng)的沖激響應(yīng) )(tha 是 )(sHa 的拉普拉斯反變換，即： ??? ?? Nktskaa tueAsHLth k11 )()]([)( 其中 )(tu 是連續(xù)時(shí)間的單位階躍函數(shù)。 Matlab 的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似 ，其 高效的數(shù)值計(jì)算及符號計(jì)算功能 ， 能使用戶從繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算分析中解脫出來 ； 具有完備的圖形處理功能 ,實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果和編程的可視化 ； 友好的用戶界面及接近數(shù)學(xué)表達(dá)式的自然化語言 ,使學(xué)者易于學(xué)習(xí)和掌握 ； 功能豐富的應(yīng)用工具箱 (如信號處理工具箱、通信工具箱等 ) ,為用戶提供了大量方便實(shí)用的處理工具 。由于共有 N 個(gè)二階節(jié)，因此 E 是有（ 4n+1）個(gè)未知數(shù)的函數(shù)。因此為了提高參數(shù)表示精度，應(yīng)給出盡可能小的取值范圍。要求通帶截止頻率 sradc /20xx2 ??? ? ，通帶 最大衰減 dB31 ?? ，阻帶起始頻率 sradst /40002 ??? ? ，阻帶最小衰減dB202 ?? ，采樣頻率 srads /20xx02 ??? ? 。 由于 ))(()( 12kNkck sssssH?????? ， (427) 所以 ??????????????2/)1(12/1)(11)()( NkkNkkaNsHsNsHsH為奇數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí) (428) 將共軛 極點(diǎn)組合起來，可得 ) 9 1 )( 6 1 (8 4 7 6 5 )()()(7232723214422222221?????????????????????????????sssssssssHsHsH cccccca （ 429） 實(shí)際上，在求出 N=4 后，不必求出極點(diǎn)，只要查表即可得到歸一化的)1( ??c 4 階巴特沃斯模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 武漢理工大學(xué)《數(shù)字信號處理》 18 16 1 3 1 2 5 1 4 2 1 3 1 3 1 2 5 1)( 234 ????? sssssH an （ 430） 在此歸一化模擬低通濾波器中，用 cs? 代替其中的 s，實(shí)際上就是利用)()( cana sHsH ?? ，即可得到與上述一致的系統(tǒng)函數(shù)。 應(yīng)用遺傳算法設(shè)計(jì)本例題的具體步驟如下： 編碼：為了用遺傳算法求解公式（ 417）中的非線性優(yōu)化問題，我們應(yīng)對優(yōu)化變量 ? 進(jìn)行適當(dāng)編碼，以形成遺傳算法中的個(gè)體。 （ 2）適應(yīng)度函數(shù)的選擇：我們選擇式（ 414）作為遺傳算法中的適應(yīng)度函數(shù)。下面給出用遺傳算法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器的具體步驟： 1）設(shè)定遺傳算法中的參數(shù)，并由式（ 420）決定的參數(shù)區(qū)間中隨機(jī)初始化第 0代群體中的每個(gè)個(gè)體； 2）由式（ 418）計(jì) 算 0A ；對每個(gè)個(gè)體進(jìn)行編碼并由 式（ 417）計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度； 3）讓群體中的個(gè)體進(jìn)行生存爭斗，優(yōu)勝劣汰； 4）對群體中的個(gè)體進(jìn)行交叉和突變運(yùn)算，以產(chǎn)生新的一代； 4）重復(fù) 2） ~4）步，直至滿足精度要求或達(dá)到預(yù)先設(shè)定的世代數(shù)； 6）對適應(yīng)度最高的個(gè)體編碼，從而求出 IIR 數(shù)字濾波器的系數(shù)）， Nkdcba kkkk ?? ,2,1( 。 然而，基本的遺傳算法結(jié)構(gòu)簡單，在應(yīng)用一些具體問題時(shí)，其速度和效率仍然有限，而且存在群體大小、交叉變異概率難以選擇等問題。 fp=20xx。 Ap = 3。 % Prewarp Prototype Stopband freq %設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器原型 N = ceil((log10((10^(Ap/10)1)/(10^(As/10)1)))/(2*log10(omegap/omegas)))。 k = k*omega0^N。 ds = real(poly(p))。 %遺傳算法子程序 %Name: %初始化