【正文】 好的思維的素材。如果學(xué)生上來就求導(dǎo)，那 必然要走向 很復(fù)雜的計算。 例題 2 畫出函數(shù) xxeey ???? ? 的 示意圖。那我們看一下這道題，從這個問題來看，首先，要用性質(zhì)來解決，所以要探索這個函數(shù)，特別是是跟單調(diào)性有關(guān)的性質(zhì)，畫圖是一種辦法。 學(xué)生還是以計算作為解決 數(shù)學(xué)問題的主要方法。研究函數(shù)的性質(zhì)，利用性質(zhì)的一些特征，去畫示意圖，就完全可以解決問題了，所以沒必要讓學(xué)生用描點法來畫復(fù)雜的函數(shù)圖象。如果具備，那再研究單調(diào)性，那就縮小了研究的范圍。從解析式研 究，不是拿解析式去畫圖，有的解析式是畫不了圖的，而是要研究函數(shù)的性質(zhì)。為什么產(chǎn)生了特值法，產(chǎn)生了特殊函數(shù)法，往往就是回避函數(shù)的符號語言，但是其實這樣的教學(xué)實際上是回避了教學(xué)的本質(zhì)。 接下來我 再談?wù)労瘮?shù)的研究方法 。 思維層面提供思維特征至關(guān)重要，如果一個函數(shù) ()y f x? ，滿足函數(shù)值相等的話，那么我們要分析這個函數(shù)的兩個自變量 1x 和 2x 的關(guān)系。你寫符號，得讓學(xué)生會讀。如果 寫(2 3 2) (2 3 )f x f x? ? ? ?那絕對是錯誤的。先看看這兩個自變量，是相等，是和為常數(shù)，還是差為常數(shù)。老師在教學(xué)中，一個問題是容易講錯，另一個問題是容易非常激進(jìn)和機械。反過來，如果不是這個 ()fx，是 ( 1)fx? ，或者 都可以試著讓學(xué)生寫出描述性語言。如果 ()fx滿足 ( ) ( )f x f x?? ，那么稱這個函數(shù)是偶函數(shù)。 ()fx在直角坐標(biāo)系下的幾何含義是什么？是 ( , ( ))x f x 這一個動點 ， ()fx? 在直角坐標(biāo)系下 是點 ( , ( ))x f x??。我們應(yīng)該讓學(xué)生把這種符號的語言，用自己的語言表述，如果 ()fx是奇函數(shù)，那么它的自變量 x 取相反的兩個值的時候，對應(yīng)的函數(shù)值相反。對于函數(shù)性質(zhì)的討論，我們要教給學(xué)生用函數(shù)的思維去解決函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，因此在函數(shù)這一單元的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)中，教學(xué)的重點是要讓學(xué)生理解并逐步掌握函數(shù)的思維特征，即：理解函數(shù)問題、研究函數(shù)問題、就要分析函數(shù)在自變量變化下函數(shù)值相應(yīng)的變化。集合 本身 是一種 很重要 的數(shù)學(xué) 語言， 雖然概念比較簡單 ， 但是必須讓學(xué)生 感受到 里面蘊含的數(shù)學(xué)思維 。也就是通過元素與幾何集合的關(guān)系來刻畫幾何集合之間的關(guān)系，以及幾何集合 的運算。這就是我們在 集合 教學(xué)中要滲透的，而不僅僅是告訴學(xué)生交集、并集、補集的概念。 下面我就高中數(shù)學(xué)中的幾個重要的單元的思維特征談一 談 自己的認(rèn)識和理解，供老師們參考 。這不僅是每一位老 師需要思考的，更是我們整個行業(yè)應(yīng)該反思的。 所以我認(rèn)為，從目前課堂教學(xué)現(xiàn)狀來看，一個很重要的問題就是：教師應(yīng)該樹立一個“好”的數(shù)學(xué)教育 理念 。數(shù)學(xué)有很多公式，學(xué)生題做不好，我們老師就說“你怎么沒記下來”，或是“我講的你怎么沒記住”、“我昨天剛講的你怎么就又忘了”等等。“高分低能”，很早就有這種提法了，就是說學(xué)生到了大學(xué)不會學(xué)習(xí)，而這個問題的端倪很可能出現(xiàn)在中學(xué)。這樣的課堂沒有整體性， 更沒有思維的碰撞。數(shù)學(xué)教學(xué)如果僅僅為了一個升學(xué)目標(biāo)或者成績，那么老師們的心態(tài)就容易變得非常浮躁。我發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂上存在一個很值得關(guān)注的問題，即數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中，缺乏對學(xué)生學(xué)科思維、學(xué)科觀念的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維的特征與方法 張鶴 一、 目前數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀 大概是去年（ 2020 年）十月份左右，我給國培班講的是“通過課例分析講有意義的教學(xué)”，主題是關(guān)鍵性教學(xué)。 當(dāng)前，社會更關(guān)注學(xué)生的分?jǐn)?shù)，教師也更加在意學(xué)生是不是能取得一個比較滿意的成績。 現(xiàn)在很多數(shù)學(xué)課都不像課，而像“題”。 實際上，一個學(xué)生在高考數(shù)學(xué)中考了滿分，作為老師的我們，也沒有任何值得夸耀的。某種程度上說，我們當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)實際上是一種失敗的教育。這樣一種教導(dǎo)，實際上就是引導(dǎo)學(xué)生靠“記”，靠“勤奮”來學(xué)習(xí)。我們教學(xué)的價值最終要歸于讓學(xué)生愛聽，激發(fā)他們對學(xué)科的興趣，這樣才能讓他們從中真正受益，學(xué)到東西。我想我們應(yīng)該將教學(xué)的目標(biāo)放得更高遠(yuǎn)一些。 1. 集合 部分知識的思維特征 高一就要開始學(xué)習(xí)集合， 在集合 內(nèi)容 的教學(xué)中，我們應(yīng)該教給學(xué)生什么樣的思維層面的東西？ 其實 集合的定義已經(jīng)告訴我們集合由對象的全體構(gòu)成，所以對象是 集合 的本質(zhì)。 舉一個課例， 我們來探討一下這個課是簡潔還是簡單 。如果 老師就講到這個層面的話，那就一點數(shù)學(xué)思維的東西都沒有。 2. 函數(shù) 部分知識的思維特征 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，常定位為重點內(nèi)容，核心內(nèi)容，主軸內(nèi)容 。 比如 說函數(shù)的奇偶性， 我們現(xiàn)在要問一個高三學(xué)生，什么叫奇函數(shù)，好一點的學(xué)生能說出 ( ) ( )f x f x? ?? ， 但是大部分答的是 “ 定義域關(guān)于原點對稱 ”或者“ 圖象 關(guān)于原點對稱 ” 。 這才是奇函數(shù)的本質(zhì)，或者說是它 的代數(shù)特征。那么我們就可以問 學(xué)生，這樣的兩個點的特征是什么？這樣的點當(dāng)然不僅是一個或者一組， 從而得到圖像本身是原點對稱的。其代數(shù)表達(dá)式的含義是：當(dāng)自變量取互為相反數(shù)的兩個值時，對應(yīng)的函數(shù)值相等，這就是偶函數(shù)的本質(zhì)；再從幾何的角度看，在偶函數(shù)的圖象上，總有這個的兩個點， ( , ( ))x f x 和 ( , ( ))x f x??，這兩個點是關(guān)于 y 軸對稱的。 學(xué)生應(yīng)該知道，當(dāng)這個函數(shù)的自變量， x 分別取以 1 為中點的兩個自變量的值的時候，函數(shù)值應(yīng)該是相等的，讓學(xué)生試圖這樣去想。比如，認(rèn)為非得套著 ( ) ( )f x f x T??，才把那個 T 對上，才知道那是周期。如果和為常數(shù)，那么是對稱的；差為常數(shù)，那常數(shù)就是函數(shù)的周期。 首先要讓學(xué)生看清哪個量 是自變量 ，自變量是 x 。我們常常出現(xiàn)一個問題，教了三年的學(xué)生，他們也僅僅知道 x 可以取任意值，但不能完全讀懂符號。如果這兩個自變量和為常數(shù)，比如說等于 2a ，那這個函數(shù)的圖像就關(guān)于直線 xa? 對稱；如果差為常數(shù)12x x T??，周期為 T ；如果 12( ) ( ) 2f x f x b??，這還是看自變量，我們在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生盯住自變量。豎著 從思維的載體來看，也可以再加一個圖像語言。到了高中階段，如果學(xué)生還沒有一種抽象的函數(shù)概念的話，到了大學(xué)怎么去學(xué)習(xí)？所以我覺得呢，這點是不能回避的。這個性質(zhì)一開始要研究什么？要研究對稱性。還要研究函數(shù)的周期性，研究函數(shù)值的分布。 例題 1 已知函數(shù) 2 224 , 0( ) , ( 2 ) ( ) ,4 , 0x x xf x f a f a ax x x? ???? ? ? ?? ???? 則 的 取 值 范 圍 . 很多學(xué)生奮不顧身的就要往里代，討論一下 22 a? 方和 a 是正還是負(fù)，思維靈活 一點的呢，討論四次，要是不管不顧的呢， 可能就瞎代一個，上頭一個，下頭一個就完了。其實如果學(xué)生有這種傾向，其實我們甚至可以就不提問題， 我們可以僅給出解析式， 問問學(xué)生，你能從這個解析式 得到 函數(shù) 的 什么性質(zhì)？有一學(xué)生說那我畫圖，可以。我們稍微改一下這個問題，就能逼著學(xué)生去分析它的奇偶性， 2(2 ) ( ) 0f a f a? ? ?怎么辦？要讓學(xué)生看到，我首先把這個式子變成 2(2 ) ( )f a f a? ? ? ，那這個負(fù)號如果能進(jìn)去，那當(dāng)然就可以用剛才的辦法。 這個函數(shù)解析式 源自 山東的 09 年左右的一道高考 選擇題，是給了一個解析式，給了四個圖。所以我們也說這個化簡意識的可貴 ， 我們必須要要求學(xué)生能夠有這種化簡的意識，到處都是自變量，那為什么 不減少它，這是分式，完全可以做變形 ，所以上下同乘 xe ，然后再利用這個把分母湊出來，配出來，這樣的話， 只有 一個位置上有 x 。 例題 3 設(shè)函數(shù) 122 , 1() 1 lo g , 1x xfx xx?? ?? ? ???，則滿足 ( ) 2fx? 的 x 的取值范圍是 A． [ 1,2]? B． [0,2] C． [1, )?? D． [ , )x?? 像這道去年全國地方的高考題，是一個分段函數(shù)，其實這題誰都會做，也做不錯啊，但是我覺得這里面呢，就是老師的那種思維的導(dǎo)向要清楚 。需要一個什么樣的性質(zhì)呢？單調(diào)性。而 2 是誰呢？是 (0)f ， 圖都不用畫。 學(xué)生 會 把兩個圖象都畫出來，費了半天勁。 當(dāng)問題是( ) ( )f a f a??，求 a 的范圍 時， 學(xué)生 總是 這邊 a ，那邊 a? 一起來想這個問題 ，那就很吃力了。 所以我覺得老師有的時候一定要堅定自己的一些教師的想法?？粗芷诟陕锸?的，是為了化簡用，不是為了算。這 其實是 源于導(dǎo)函數(shù)，第一個導(dǎo)函數(shù) 是 開 口 朝上拋物線，第二個開 口 朝下拋物線。 要看到什么呢？其實應(yīng)該看到這個函數(shù) 的兩個極值點，一個是負(fù)的一個是正的，一個 絕對值大，負(fù)的絕對值大，正的絕對值小 ， 甚至可以把導(dǎo)函數(shù)圖象畫出來。這么去做這道題消耗的時間很大，很不合算，而實際上 即使 你平時做也不應(yīng)該這么想，還是應(yīng)該想什么呢？這個圖象的性質(zhì)是什么？他的性質(zhì)一方面從圖來看，一方面從解析式來看， 余弦型函數(shù)與 x 軸的 交點都是函數(shù)的零點 ， 說錯了，說零點沒意義，都是對稱中心。因為中心對稱都設(shè)計到兩個自變量是否關(guān)于那個點橫坐標(biāo)對稱的問題，顯然，是以 712x ?? 為對稱。 3. 解析幾何 部分知識的思維特征 我覺得解析幾何 部分知識 挺好的，我感觸挺深的，所以 一定要跟老師們分享 。這一上課學(xué)生拿出昨天晚上做的那個橢圓，就在屏幕上演示，老師來說一說那畫的不好。我們知道解析幾何的學(xué)科特點是什么呢？是用代數(shù)方法研究幾何問題，所以我們在解析幾何教學(xué)的時候， 無論是介 紹 橢圓性質(zhì) 或者是雙曲線性質(zhì)，我們都要傳授給學(xué)生的 學(xué)科思維是什么呢？是怎么樣 用 代數(shù)的方法，用方程去研究 幾何 性質(zhì)。其實從這個方程我們就可以看到，你把 x?代入方程的左端，方程還是成立， y? 也成立， ( , )xy?? 往里代還是成立。 接下來，由 2 016y ? ， 可以 得出 x 的范圍，由 2 025x ? ，得出 y 的范圍 ， 然后得出 55x? ? ? ， 44y? ? ? 的時候，我們再讓學(xué)生去理解 橫縱坐標(biāo) 的范圍內(nèi) ，這個 矩形應(yīng)該是這樣出來，而不是你畫出來的。 我們發(fā)現(xiàn) 很多老師其實講不出東西來，講的都是那種算的層面的東西，而講不出這種學(xué)科的 思維 。 好，那我下面就講一下解析幾何的我的一些想法。從研究方法來來看，拿到一個幾何對象以后，我要進(jìn)行代數(shù)化，要進(jìn)行代數(shù)運算，那么怎么來 完成這個代數(shù)化 。老師甚至指導(dǎo) ，像那個大題， 一上去就 就聯(lián)立，聯(lián)立算到哪兒不行就算了，趕緊做下一題。 學(xué)生覺得其實都已經(jīng)代數(shù)化了 。所以這就反映出我們在進(jìn)行代數(shù)化的這種訓(xùn)練的時候呢，要首先有一個臺階，給學(xué)生搭一個臺階，就是你要思考，在你面臨問題 中 的幾何的東西是什么，而不要上來就想去算。所以在這個解析幾何的教學(xué)中，其實就像跟函數(shù)的教學(xué)類似，函數(shù)研究方法剛才我們談到，不管是給解析式，還是給圖象，你要干嗎呢？要研究性質(zhì)。 我們來看一個例子，這是海淀的 10 年的，第一屆課標(biāo)版的高考的海淀 一模文科 第八題。 他們的等量關(guān)