【正文】 系在哪兒呢？就在第一句話中去找，什么叫做直線和 圓相交于 A、 B 得到直角三角形。好，那也就是 22ab??，從而找剛才那個(gè)解析式，包括定域，自變量的范圍都找到了。同樣你還是要找 A、 B 滿足的等量關(guān)系，也就是還是剛才的那個(gè)方程， 22ab??， 意味著什么呢？其實(shí)就是 a 不就是橫坐標(biāo)，b 不就是縱坐標(biāo)嗎，相當(dāng)于這個(gè)點(diǎn)滿足 22 12yx ??，是個(gè)橢圓。 所以如果我們的學(xué)生經(jīng)過我們的解析幾何的教育教學(xué)，能夠建立起這種學(xué)科的觀點(diǎn)，學(xué)科的修養(yǎng)的話，這說明他會(huì)想一個(gè)問題了，他可以從變量的角度想，也可以從一個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)去想問題，這就是我們要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)。做這樣的老師的學(xué)生，很少能夠感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂。 我認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該 是“觀念性”的 ，我將這種教學(xué)稱為“觀念性的教學(xué)”。我們的課堂教學(xué)不是為了把正確的解題過程或者正確的思想完全“復(fù)制”到學(xué)生的頭腦中。一些教師認(rèn)為只要在課堂上把所講授的內(nèi)容解釋清楚了，那么學(xué)生就一定能夠理解并掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。 學(xué)生的能力不僅僅在會(huì)做難題，或者是能考出個(gè)好成績，而是真正學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)的思維。 舉個(gè)術(shù)語的例子， 符號(hào)語言對(duì)于學(xué)科思維的形成是非常重要的。因?yàn)槔蠋煹恼n堂話語中，“自變量”、“因變量”沒有出現(xiàn)多少次，而是一口一句“橫坐標(biāo)”、“縱坐標(biāo)”，他始終圍繞圖像講。 以小見大，數(shù)學(xué)教學(xué) 需要教師深入的研究所教授的內(nèi)容 。 教師既要能以學(xué)生的角度去認(rèn)識(shí)理解所教知識(shí)，感受學(xué)生可能遇到的問題；又要能站在較高的角度認(rèn)識(shí)看待教材 。 如果我們只是把正確的答案、解法完全復(fù)制到學(xué)生的頭腦中，學(xué)生能超越知識(shí)、習(xí)題，能超越教師嗎？根本不可能。對(duì)學(xué)生來說，如果認(rèn)為自己的主要任務(wù)就是接受和重復(fù)真理，這必然會(huì)導(dǎo)致他們思維的呆板與對(duì)教師和教材的迷信和盲從。 四、 對(duì)課堂教學(xué)的一些思考與感悟 1. 關(guān)于學(xué)案教學(xué) 學(xué)案教學(xué)在北京已經(jīng)是鋪天蓋地，到處都是。因?yàn)閷W(xué)案把整個(gè)課堂教學(xué)的那種緊湊感、神秘感全給破壞掉了。當(dāng)前在學(xué)案的主宰下，教學(xué)已經(jīng)沒有教師本人的特色了，都是按照一個(gè)備課組同一份學(xué)案在講那些題。 而我們心目中的課堂，抽象看 ， 師生的思維是交織的；形象看 ， 師生的目光是交流的 。 在休息的時(shí)候，也聽到一些教師對(duì)新課改下的數(shù)學(xué)教學(xué)的困惑、不解甚至無奈 。 本應(yīng)能夠給學(xué)生帶來觀念性變化的有意義的數(shù)學(xué)課堂在新課改的旗號(hào)下被異化了 。 啟發(fā)式教學(xué)就是灌輸式的教學(xué)，就是滿堂灌，是要改革的教學(xué)方式等等，這樣一類的議論、批評(píng)之聲不絕于耳 。 在學(xué)校中，沒有學(xué)術(shù)討論的空間，有些時(shí)候見識(shí)廣的領(lǐng)導(dǎo)成了學(xué)術(shù)的權(quán)威！我在自己的課堂上，是崇尚啟發(fā)式教學(xué)的，這也源于四中八年給我的教學(xué)風(fēng)格打下的深深地烙印 。 在現(xiàn)在的很多的教案中的教學(xué)方式的敘述中，更多的老師愿意寫探究式，而不愿寫啟發(fā)式教學(xué)或至少不情愿只寫啟發(fā)式教學(xué) 。 如果我們只是在課堂的組織形式上改來改去，苦心積慮地鉆研所謂的教學(xué)模式，而沒有把精力放在我們的教學(xué)的內(nèi)容研究上，耽誤的不僅僅是學(xué)生，也是你自己！ 楊絳先生（錢鐘書夫人），她說得挺好，“教育首先是啟發(fā)人的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)的自覺性、培養(yǎng)人的上進(jìn)心。 但我覺得能夠用樸實(shí)的話說出真理，就是智慧！不能不讓我們這些晚輩佩服，向這位百歲老人致敬 。我們?nèi)ネ獾芈犝n，常在走廊上觀察到老師對(duì)學(xué)生說“下節(jié)課好好表現(xiàn)啊”。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該關(guān)注思維的問題，需要讓學(xué)生能夠沉下來，靜靜地思考。 而思維的交流是要靠啟發(fā)的，而且這種啟發(fā)是相互的，很多時(shí)候?qū)W生的問題、思考同樣能夠啟發(fā)我們， 所以說，正是由于這種啟發(fā)才將教學(xué)活動(dòng)引向深入 。 學(xué)生包括老師成了這種模式的工具 。 我們常常能看到的是，老師在講課的過程中，提出了某一個(gè)問題，學(xué)生遲疑答不出來，這個(gè)時(shí)候老師的殺手锏就是“那就大家討論一下吧” 。 還有一種形式，就是小組討論，派代表匯報(bào)，教師作適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng) 。 它需要一個(gè)人靜靜的思考、分析 。 要讓學(xué)生能夠從教學(xué)的活動(dòng)中真正受益 。這種情景常常能夠出現(xiàn)在有人聽課的時(shí)候 。 學(xué)生如果喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，一定是因?yàn)?數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)滿足了他的好奇心、求知欲 。 4. 關(guān)于解題教學(xué) 的思考 數(shù)學(xué)課的一個(gè)很重要的教學(xué)任務(wù)就是要做例題分析，在這個(gè)分析的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生如何理解問題，如何確定解題的思路或策略，如何實(shí)施具體的解題過程 。 因此，教師在課堂上選擇什么樣的例題進(jìn)行教學(xué)也就明確了 。 目前在例題教學(xué)中存在的共性問題是教師所做的是在解題而不是解題分析；是在黑板上板演標(biāo)準(zhǔn)的習(xí)題的答案而不是在揭示思維的方法 。 好的數(shù)學(xué)教師要啟發(fā)的是學(xué)生的智慧而不是所謂的技巧！好的教學(xué)應(yīng)該是教給學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題 的具有共性的思維，而不是教給一個(gè)又一個(gè)的各種各樣的所謂的方法 。 大約是在 1998 年，在一次市級(jí)研究課上，我講立體幾何的祖暅原理 。在課堂上，我們要帶領(lǐng)學(xué)生通過對(duì)直線、圓或圓錐曲線的方程去研究這些幾何對(duì)象的幾何性質(zhì) 。 這樣做的教學(xué)效果就打了很大的一個(gè)折扣，違背了解析幾何的教學(xué)目標(biāo) 。 我曾經(jīng)在一個(gè)上海的學(xué)校觀摩，一堂課上滿屏幕打出來的都是學(xué)生的圖形計(jì)算器的計(jì)算過程。所以在上海的幾節(jié)課聽完后，我的感覺是不太滿意的。從這個(gè)例子可以看出，課堂教學(xué)需要解決的最根本的任務(wù)是“人的大腦”，是教師對(duì)教學(xué)本質(zhì)的理解。 6. 從茶藝想到教學(xué)藝術(shù) 有一位研究茶藝的女作家（代表作是《清茗》），寫了這樣一段文字，讓我有一許感觸 。 我至今也無法記住武夷巖茶沖泡的十八個(gè)工序是什么 。 真正的茶藝就是那個(gè)更符合人心的手工制作的過程 。 在每個(gè)優(yōu)秀、成熟的數(shù)學(xué)教師的教學(xué)生涯中，一般都經(jīng)歷過從照本宣科、亦步亦趨到教無定法、游刃有余的過程 。 就像生產(chǎn)一杯標(biāo)準(zhǔn)武夷巖茶的十八個(gè)工序那樣，在模式化的教學(xué)方式下也許能夠產(chǎn)生一節(jié)符合這樣或那樣的“理念”的課堂，但想通過這樣的課堂誕生出一位優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師，通過這樣的課堂培養(yǎng)出具有良好思維品質(zhì)的學(xué)生，就只能是一種奢望了 。 。 真正的教學(xué)是要 教給學(xué)生最自然的、最真實(shí)的數(shù)學(xué)，要讓學(xué)生能夠?qū)W會(huì)數(shù)學(xué)的思考問題的方法，讓學(xué)生感受思維的樂趣；作為教師要對(duì)自己的工作充滿敬畏，在課堂上要能夠始終把學(xué)生放在你的心上，全身心的投入到和學(xué)生思維的溝通之中，讓師生的思維融為一體 。就像最優(yōu)秀的學(xué)生不是老師能教出來的一樣，最好的教師也絕對(duì)不是能夠由誰帶出來的，更不可能是由某一套固定的模式培養(yǎng)出來的 。 這些用最簡單的方式來到我們面前的茶，背后都有一種溫暖而讓人愉悅的茶藝 。 什么事情一旦上升到流水線的程度上，就消失了人情，淡漠了人心 ……。 它更多的，是一種內(nèi)在的自由與隨和 。但是我們要培養(yǎng)一名優(yōu)秀的教師是要下真功夫的。其實(shí)推導(dǎo)完全可以用黑板的，干嘛非要用圖形計(jì)算器。應(yīng)該說如今的技術(shù)手段已經(jīng)發(fā)展到登峰造極的地步了，有些學(xué)校整個(gè)教室的設(shè)備都是無線的。 現(xiàn)在的一種觀點(diǎn)是，學(xué)校的現(xiàn)代化就是教學(xué)手段、教學(xué)技術(shù)的現(xiàn)代化 。 如在一節(jié)拋物線的直角弦的性質(zhì)的研究中，教師沒 有能夠引導(dǎo)學(xué)生建立直線的方程，并通過直線方程得到過定點(diǎn)的幾何性質(zhì) 。 但是，如果計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)用得不好，不恰當(dāng)?shù)脑?，常常是適得其反 。 特別是人們對(duì)于現(xiàn)代化的教學(xué)手段作用的認(rèn)識(shí)，也越發(fā)的客觀、冷靜 。 如函數(shù)的思維的特征是關(guān)注自變量的變化如何影響因變量的變化的，在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，我們就要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注每一項(xiàng)的下標(biāo)，因?yàn)閿?shù)列就是關(guān)于 n的函數(shù)；同樣，在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們就要強(qiáng)化不同角之間的關(guān)系，角的變化 特征，因?yàn)榻蔷褪侨呛瘮?shù)的自變量 。 有時(shí)我們評(píng)價(jià)一節(jié)課時(shí)常說“好像老師什么都講了，可又感覺什么也沒講”其實(shí)說的就是這個(gè)道理 。 數(shù)學(xué)教師的責(zé)任不是教給學(xué)生一道又一道例題的不同的解法，也不在于教給學(xué)生對(duì)一道例題的多種不同的解法，而是要通過對(duì)不同的例題進(jìn)行分析或者是對(duì)同一道例題的不同方法的探究，幫助學(xué)生形成一種觀念或者是一種意識(shí) 。 好的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是自然的，最真實(shí)的 。 但是，一旦這種形式被固定下來，成為表演的套路，課堂也就隨之失去了活力，喪失了魅力 。 還有一種現(xiàn)象也是伴隨著課堂教學(xué)改革出現(xiàn)的 。 很多時(shí)候數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是個(gè)人的行為，而不是合作學(xué)習(xí)所能辦到的 。 原因在于這種在很短的時(shí)間內(nèi)完成的“小組討論”基本上是為了討論而討論，具體能夠討 論出個(gè)什么結(jié)果好像并不是最重要的，而重要的是小組討論的這個(gè)形式 。 特別是在初中的課堂中，場景更熱鬧一些 。 但事實(shí)上，這樣的事情可能就發(fā)生在我們的身邊 。 數(shù)學(xué)的探究活動(dòng)也是思維的活動(dòng)，而要展開思維的活動(dòng)，就如前面所說，最重要的是相互啟發(fā)！ 啟發(fā)式教學(xué)不是一種教學(xué)的模式，而是一種教學(xué)思想 、教學(xué)理念！這正是這種教學(xué)方式具有如此強(qiáng)大生命力之所在 。 而要達(dá)到這個(gè)目的，不可能有一個(gè)固定的操作模式，或者說有幾個(gè)教學(xué)模式 。所以，像這種表面蒙人的“唧唧喳喳的學(xué)習(xí)”、“小組討論”是值得反思的。 如果我們的教學(xué)僅僅是在形式上作秀的話，學(xué)生其實(shí)看得一清二楚?！蔽矣X得這句話點(diǎn)出了教學(xué)的本質(zhì)。 教學(xué)改革帶給課堂上的好的變化是毋庸置疑的，對(duì)數(shù)學(xué)教師教學(xué)理念的更新、提升也是有目共睹的，但需要思考的是，課堂教學(xué)的改革不要丟了我們自己的幾千年來積淀下來的教學(xué)理論的精髓 。 記得在教改紅紅火火的時(shí)候，我在學(xué)校上了一次觀摩課 。 但由于學(xué)校的主要領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為這節(jié)課沒有新意、沒有教改的氛圍而無人喝彩 。 期間關(guān)于教育改革的爭論此起彼伏 。 我在為我進(jìn)行辯解的同時(shí)（我的證據(jù)是： 2020 年我就開始在海南、寧夏、廣東進(jìn)行新課改的教材培訓(xùn)，近三年的北京市的新課改培訓(xùn)我也是盡心盡力了），也為數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀感到了一絲悲哀！ 講數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)，講數(shù)學(xué)思維的教學(xué)與現(xiàn)今的倡導(dǎo)新理念的課程改革對(duì)立了起來 。 我能聽到的常常是老師的“請?zhí)痤^”這樣的教學(xué)語言！這樣的課堂哪里還有活力？ 2. 關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)改革的思考 暑假在北師大，有機(jī)會(huì)接觸到廣東江門和貴州遵義兩地來京參加培訓(xùn)的數(shù)學(xué)教師 。要求集體備課是沒問題的，但沒有必要要求教案也要集體統(tǒng)一。 學(xué)生大多數(shù)時(shí)間是在埋頭做著學(xué)案上的習(xí)題，老師的講解很多時(shí)候是對(duì)著埋著頭的學(xué)生講，學(xué)生倒也配合，頭不抬也能和老師呼應(yīng)一下 。 這樣的課堂教學(xué)就是在講篇子！學(xué)案往往是前一周或更早的時(shí)候準(zhǔn)備出來的，這和我們每天在上課的頭 一天晚上備課和寫教案完全是兩碼事 。任何一名學(xué)生都是喜歡思考問題的，同樣，任何一名學(xué)生也都厭惡死記硬背一些不理解的所謂的知識(shí)！作為數(shù)學(xué)教師，你的職責(zé)就是要在每一節(jié)的數(shù)學(xué)課中去創(chuàng)設(shè)問題的情景，讓學(xué)生在這個(gè)情景中去體驗(yàn)思考數(shù)學(xué)問題帶來的那種專注，去感受挑戰(zhàn)困難、戰(zhàn)勝困難的愉悅。許多老師很害怕學(xué)生提出一些不同的意見，總是希望課堂上學(xué)生的思維能夠隨著設(shè)計(jì)好的思路走，這樣實(shí)際上是很不好的。 教師應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生思考，而不是死記硬背 。 我們要教給學(xué)生的、要學(xué)生看到的是，你是怎樣學(xué)習(xí)的，你是怎樣提出問題，思考問題，解決問題的，也就是你是怎樣做學(xué)問的 。你看，最后那位老師讓學(xué)生歸納所學(xué)知識(shí)的時(shí)候，學(xué)生都這么說：“橫坐標(biāo) 1x 小于 2x ，那么縱坐標(biāo) 1y 小于 2y ”。比如，學(xué)生這一個(gè)月在學(xué)習(xí)函數(shù)，那么我們教學(xué)的話語一定要代入函數(shù)的東西。 我