【正文】 圖本身，給解析式畫圖，也是一種訓(xùn)練，畫出一個圖象，一看是單調(diào)遞增，那我們也可以問學(xué)生，如果不畫圖，你能不能研究出它的性質(zhì)。這個時候就需要研究它是不是奇函數(shù)。 學(xué)生首先要想到定義域、自變量的范圍、奇偶性。當(dāng)一個函數(shù)的解析式 化 到這個程度2 21 1xy e?? ?，就一個位置有自變量，其實也不用求了，對吧，因為 2xye? 也算是一個初等函數(shù)。 學(xué)生 會 怎么做呢？當(dāng) 1x? 的時候， 1( ) 2 2xfx ???，算出 x 的范圍 ， 然后呢 ， 2( ) 1 logf x x?? ，1x? 算出 x 的范圍，然后取并集。對吧，而這個 2 是什么呢？顯然是 (0)f 。如果 這 是一個減函數(shù)， ( ) (0)f x f? 的話，那就是 0x? ，這題就 做完了 。 其實呢，他完全可以把這個解析式先 化簡， 22lo g , 0() lo g ( ), 0xxfx xx??? ?? ? ??。如果知道這個是一個奇函數(shù)的話，馬上就化簡成一個符號了，( ) ( ), 2 ( ) 0f a f a f a? ? ?。 那么如果拿到函數(shù)圖象怎么想？咱們不能講的天花亂墜，一個函數(shù) 題 講了那么種做法， 我們 就是 要 研究函數(shù)解析式， 與之前說的 完全一樣，為什么一樣？ 我們還是要研究，而不是算。 比如三次函數(shù) 32()f x ax bx cx d? ? ? ?， 有 兩種狀態(tài)，我們就可以問問學(xué)生。有的時候我們就會發(fā)現(xiàn)，明明這個圖象是增減增，學(xué)生算出來的待定系數(shù) a 反而是負(fù)的，一點(diǎn)感覺都沒有。因為 a 是正的，導(dǎo)函數(shù) 是 開口朝上的拋物線 ， 所以只需要 找 b 和 a 的關(guān)系就行了，而要找 b 和 a 的關(guān)系，只要讓導(dǎo)函數(shù) 取 0 就行，那么可以用兩個根的關(guān)系就找到了，兩個和一個是負(fù)，一負(fù)根一正和，負(fù)根絕對值大嘛。都是這個函數(shù)的對稱中心，而甚至 可以看出 ， 912x ?? 就是對稱軸。因為這個 23? 就是 812? ， 2? 不就是 612? ， 中間 正好就是 712? ， 從而得到 答案 23 。 我先從橢圓的幾何性質(zhì) 這節(jié)課談起 。然后呢，老師黑板上就打出 PPT 是一個 標(biāo)準(zhǔn)的 橢圓 圖形了，然后跟學(xué)生就說，橢圓畫好了 ，今天我們就來學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)。而不是依賴圖形，所以這節(jié)課完全違背了解析幾何的基本思想 用代數(shù)方法解決幾何問題 ,用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，要觀察的不應(yīng)該是圖象，應(yīng)該是方程！ 應(yīng)該讓學(xué)生看一看， 22125 16xy??這個方程有什么特點(diǎn)。那么既然有 這樣的 代數(shù) 性質(zhì) ，我們就可以問問學(xué)生對應(yīng)的幾何 特征 是什么？點(diǎn)，( , )xy? 、 ( , )xy? 、 ( , )xy?? 都 滿足方程 ， 而 (, )xy 這個點(diǎn)顯然也在曲線上，這又說明了什么？所以是從這樣 的一個思維，這樣的一個角度來研究 對稱性，而不是什么去證明對稱性。所以我覺得 一個老師 如果對一個學(xué)科的思想把握不住的話，表面 看 來這節(jié)課 不錯， 板書，教態(tài)，基本功也 都到位，學(xué)生的互動，各種理念都可以放上去，但是實際上這是一節(jié)差課。 解析幾何的教學(xué)，就要牢牢抓住用代數(shù)的方法解決幾何問題這一關(guān)鍵！ 四年后 我又聽 了這個老師的 解析幾何課，那就講的非常好了，就是他對這門學(xué)科完全把握住了，所以一個老師的成長，特別是作為一個數(shù)學(xué)老師的成長 ，最重要的是 數(shù)學(xué)素質(zhì)的修養(yǎng)，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘 ， 而說上課生評分挺高 或者怎么樣 。 從知識層面上說，現(xiàn)在來看，直線與方程，圓與方程，圓錐曲線，這么三塊，思維特征是什么？解析幾何的思維特征是什么呢？就跟函數(shù)思維想法一樣，我覺得曲線與方程的思維，應(yīng)該是解析幾何的思維特征。其實這一中間的思維過程呢，咱們目前的教學(xué)應(yīng) 該說還是比較粗糙一些，或者說老師講 得 不是太明確，導(dǎo)致咱們的學(xué)生基本上都認(rèn)為解析幾何就是算。教了 整個 高中的解析幾何，最后就落的這么一個下場，解析幾何不會想。這反映出什么呢？ 學(xué)生覺得代數(shù)化就是計算， 算斜率， 算 兩個軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 。 所以從學(xué)生解決這個問題所遇到的障礙，我們就可以看出在學(xué)生的頭腦中沒有一個比較明確的解析幾何的方法， 而 這也正是我們教學(xué)中要 堅持不懈 強(qiáng)調(diào)的，堂堂都要落實的東西。解析幾何絕對不是上來就算，而是要研究 幾何 特征，從圖形，從方程，從數(shù)值上去研究幾何特點(diǎn) ，再進(jìn)行代數(shù)化 ， 最后 得出代數(shù)集。 函數(shù)和解析幾何兩種 思路其實都有意義。這個時候又回到我們剛才那個圖形分析中了， 要分析 幾何含義，不要上來就 計算 。用函數(shù)的想法就解決了 ， 當(dāng)然，計算量稍大一點(diǎn)。這時就把這個最值問題產(chǎn)生了又一個代數(shù)的一個數(shù)值的變化，最后變成一個點(diǎn)的運(yùn)動的變化 ， 當(dāng)然就要用到軌跡了。 三、 如何進(jìn)行有效的觀念性教學(xué) 真正有意義的教學(xué)是觀念性的教學(xué) 。 還 有一類數(shù)學(xué)課堂是教給學(xué)生觀念的，這樣的數(shù)學(xué)課能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的快樂。學(xué)生可能在上課之前沒有形成一個很好的觀念，或者有一個錯誤的觀念，那么我們必須去 改變 。 但是 我們常常看到一些學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是停留在記結(jié)論，記公式，套用一些解題的方法，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解很淺薄，不深入，看不到數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的東西，掌握不了數(shù)學(xué)思考問題的思維方式。這樣的教師滿足于如何把課本的知識以結(jié)論的形式盡快地讓學(xué)生接受，并陶醉于學(xué)生能夠快速、正確地應(yīng)用，以及不錯的檢測成績。 2. 教學(xué)富有意義 的 關(guān)鍵 是 教師有 清晰的教學(xué)觀念 毫無疑問，教師在教學(xué)活動中的作用至關(guān)重要：如果一個教師的教學(xué)理念出現(xiàn)了問題，必將導(dǎo)致教學(xué)結(jié)果的無效；如果一個教師的教研能力出現(xiàn)了缺失，也將導(dǎo)致學(xué)生所得知識的淺薄。作為老師，課堂語言一定要帶入學(xué)科的術(shù)語。雖然這也沒什么問題，但是如果你希望學(xué)生真正形成數(shù)學(xué)思維的話，就不能這么做。 研究的越深，教師本人的感觸就越深 。 3. 教學(xué)富有意義的目的是 解放學(xué)生的思維、避免思維僵化 最后一點(diǎn)，我們課堂的教學(xué)目的是讓學(xué)生的思維活躍起來，讓學(xué)生從課堂學(xué)習(xí)中獲得能夠“超越”我們老師的力量。從學(xué)生個人的發(fā)展來看，我們教師的指導(dǎo)作用應(yīng)該體現(xiàn)在對學(xué)生思維的解放、激發(fā)上。這樣的教學(xué)，不可能實現(xiàn)學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解，更為可怕的是， 學(xué)生不再喜歡數(shù)學(xué)！要使我們的課堂教學(xué)更具有吸引力，使學(xué)習(xí)的內(nèi)容更易于理解，我們在教學(xué)中就要堅持提出有思考價值的問題，不要急于給出答案，要通過問題引起懸念并激發(fā)學(xué)生不間斷地反思與追問，就像引人入勝的小說、電影一樣，它們都是通過激起人們的疑問卻不急于給出答案來吸引讀者或觀眾的。一進(jìn)課堂就是學(xué)案 ， 常見的學(xué)案就是一些例題加習(xí)題，教師在上課的時候基本是按著題號順著往下講，邊講邊練，講講練練都有，程度好一些的學(xué)生基本不理老師，就是忙著做完篇子上的題目 。 使用學(xué)案的課堂，給我的第一感受就是沒有了課堂的整體感 。我不理解為什么有的學(xué)校非要統(tǒng)一備課組的教案 。 但在學(xué)案的束縛下，我們已經(jīng)很少能夠看到這樣的情景了 。 老師們聽了我的講座，在贊同我的觀點(diǎn)、甚至以“實力派”這樣的詞匯褒獎我的同時，也毫不留情地質(zhì)疑我是不是反對新課改 。 上個世紀(jì) 90 年代末的教育改革從 電化教育手段引入課堂開始，蔓延到教學(xué)模式、教學(xué)方法的改革一直到 現(xiàn)如今的聲勢浩大的新課程教改 。 我記得在評價某一節(jié)評優(yōu)課的時候，有位上課的年輕老師數(shù)學(xué)思維非常好，通過和學(xué)生的思維交流對教學(xué)的內(nèi)容揭示的非常深刻、到位，可以說真正上出了數(shù)學(xué)課的味道 。 我的教學(xué)實踐告訴我，能夠上出一節(jié)夠味道的啟發(fā)式教學(xué)的數(shù)學(xué)課，不是那么容易的 。 不是覺得上不好啟發(fā)式，可能怕的是被貼上太傳統(tǒng)的帽子了 。教育要引導(dǎo)人們好學(xué)、不斷完善 自己，要讓學(xué)生在不知不覺中接受教育，讓學(xué)生潛移默化的學(xué)習(xí)。 現(xiàn)如今，搞教育的人越來越多，而懂得教育真諦的人卻越來越少 。這學(xué)生和老師演雙簧都演得很 熟練了。 3. 關(guān)于教學(xué)模式 的思考 我們教學(xué)的對象是人，是充滿對知識渴望的學(xué)生，我們進(jìn)行教學(xué)的目的是要讓學(xué)生們通過和教師的思維的交流，理解所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，喜歡數(shù)學(xué)的思維方式，在享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，提高思維的邏輯性 。 關(guān)于教學(xué)模式的改革，我認(rèn)為 啟發(fā)式教學(xué)是最適合數(shù)學(xué)教學(xué)的一種方式，因為啟發(fā)就是針對思維的！由于數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，這個特點(diǎn)就決定了它不可能 像物理、化學(xué)等實驗性學(xué)科那樣，有大量的操作性的教學(xué)活動 。 可以想象，如果一個學(xué)校的所有學(xué)科都按著一種教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)的話，學(xué)生在學(xué)校的學(xué)習(xí)中都是在一種教學(xué)模式下展開，將會是多么可怕的事情 。 于是，安靜的課堂就出現(xiàn)了熱鬧的景象，同桌的、附近的三、四個同學(xué)展開了比較熱烈的討論 。 我聽過很多的這種小組討論的課，總有一種不真實的感覺 。 在課堂上，需要在老師的啟發(fā)下，不斷地深入地思考數(shù)學(xué)問題；在同學(xué)和老師的交流中得到啟發(fā)，尋找到解決問題的途徑 。 如果學(xué)生們僅僅是為了配合自己的老師，非常認(rèn)真 地表演著討論，那就違背了教育的初衷，甚至給學(xué)生一種弄虛作假的印象 。 應(yīng)該說這是一個很好的總結(jié)課堂學(xué)習(xí)的方法 。 教師之所以要鉆研教材，認(rèn)真?zhèn)湔n，就是要能夠通過你的教學(xué)把數(shù)學(xué)的這種魅力展示出來 。 一個好的例題分析一般不會僅僅局限于這個例題本身，而是能夠借助這道題目的背景，將研究的問題不斷地引向深入，能夠找到解決這個例題的思維方法與解決其它數(shù)學(xué)問題在思維上的共性，從而使學(xué)生對解決數(shù)學(xué)問題思維方法的一般性有更清晰地理解與把握 。 如果在一節(jié)課中教師所選的不同的例題在思維上沒有太多的共性的東西，解決問題的思維方法缺乏一般性，解題的手段更多的是依賴于所謂的技巧的話，這樣的例題就不適合在課堂上進(jìn)行分析 。 在不同單元知識的教學(xué)中，我們要揭示思維的共性 。 5. 關(guān)于現(xiàn)代教育技術(shù) 的思考 課堂教育手段的現(xiàn)代化是近十多年來的教育改革的熱點(diǎn)問題，從計算機(jī)引入課堂到課堂搬到計算機(jī)房再到現(xiàn)如今的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)，手持技術(shù)的運(yùn)用等等，時代在飛速的發(fā)展，教育電化手段的更新也在日新月異 。 為了使用電腦，請人專門做了一個計算機(jī)課件，通過動畫演示展示用平面切球體的過程，學(xué)生被這種直觀的效果深深地吸引住了，課堂的效果也的確是非常的好 。 有的教師由于對解析幾何的基本思想理解的不深入，在運(yùn)用技術(shù)手段進(jìn)行解析幾何教學(xué)的時候就很容易出現(xiàn)偏差 。 實際上，這節(jié)課在用直線方程研究出該直線過定點(diǎn)之后，再用幾何畫板演示這一結(jié)果，效果是最好的 。老師不用下去巡視了，他只要看黑板、看電腦，就能知道每個學(xué)生的作圖過程。因為講圖像變換還是講不到函數(shù)的本質(zhì)上去。 現(xiàn)代技術(shù)和硬件設(shè)備的趕超可能有錢就能辦得到，可能一夜之間也能辦到。 她寫道：“茶藝是茶文化一層美麗的外衣 ……真正的茶藝應(yīng)該不拘泥形跡 。 因為這十八套工序?qū)ξ襾碚f，只是生產(chǎn)一杯標(biāo)準(zhǔn)武夷巖茶的流水線而已 。 也許是每天早上工作開始前沖泡一杯茉莉，也許是寒冬的夜晚，家人在你案頭擺放的一盞清茗，或者干脆就是草原上和著凜冽奶香的奶茶 ……。 這個過程中最重要是教師自己對教學(xué)意義的不斷的思考與摸索 。 從女作家對茶藝的感悟來反觀我們的教學(xué)活動，課堂教學(xué)何嘗不是一門藝術(shù)？教師的教學(xué)工作絕對不能是刻板的，僵化的