【正文】 代法。 縱觀我們的數(shù)學(xué)課堂，我認(rèn)為 數(shù)學(xué)教學(xué)可以分為兩類：一類是圖解知識(shí)的教學(xué)。上一部分，我講了若干數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)案例與題型，就是為了讓大家感受到數(shù)學(xué)思維的核心價(jià)值。而學(xué)生是否理解了這段知識(shí)背后的觀念性的東西，是否感受到了思考問題的過程，是否真正理解了所教授內(nèi)容的本質(zhì)則被教師忽略不計(jì)。比如，學(xué)生這一個(gè)月在學(xué)習(xí)函數(shù)，那么我們教學(xué)的話語一定要代入函數(shù)的東西。 我們要教給學(xué)生的、要學(xué)生看到的是，你是怎樣學(xué)習(xí)的，你是怎樣提出問題，思考問題，解決問題的，也就是你是怎樣做學(xué)問的 。許多老師很害怕學(xué)生提出一些不同的意見，總是希望課堂上學(xué)生的思維能夠隨著設(shè)計(jì)好的思路走，這樣實(shí)際上是很不好的。 這樣的課堂教學(xué)就是在講篇子！學(xué)案往往是前一周或更早的時(shí)候準(zhǔn)備出來的，這和我們每天在上課的頭 一天晚上備課和寫教案完全是兩碼事 。要求集體備課是沒問題的，但沒有必要要求教案也要集體統(tǒng)一。 我在為我進(jìn)行辯解的同時(shí)（我的證據(jù)是： 2020 年我就開始在海南、寧夏、廣東進(jìn)行新課改的教材培訓(xùn)，近三年的北京市的新課改培訓(xùn)我也是盡心盡力了），也為數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀感到了一絲悲哀！ 講數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)，講數(shù)學(xué)思維的教學(xué)與現(xiàn)今的倡導(dǎo)新理念的課程改革對(duì)立了起來 。 但由于學(xué)校的主要領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為這節(jié)課沒有新意、沒有教改的氛圍而無人喝彩 。 教學(xué)改革帶給課堂上的好的變化是毋庸置疑的，對(duì)數(shù)學(xué)教師教學(xué)理念的更新、提升也是有目共睹的，但需要思考的是，課堂教學(xué)的改革不要丟了我們自己的幾千年來積淀下來的教學(xué)理論的精髓 。 如果我們的教學(xué)僅僅是在形式上作秀的話，學(xué)生其實(shí)看得一清二楚。 而要達(dá)到這個(gè)目的，不可能有一個(gè)固定的操作模式，或者說有幾個(gè)教學(xué)模式 。 但事實(shí)上，這樣的事情可能就發(fā)生在我們的身邊 。 原因在于這種在很短的時(shí)間內(nèi)完成的“小組討論”基本上是為了討論而討論，具體能夠討 論出個(gè)什么結(jié)果好像并不是最重要的，而重要的是小組討論的這個(gè)形式 。 還有一種現(xiàn)象也是伴隨著課堂教學(xué)改革出現(xiàn)的 。 好的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是自然的，最真實(shí)的 。 有時(shí)我們?cè)u(píng)價(jià)一節(jié)課時(shí)常說“好像老師什么都講了，可又感覺什么也沒講”其實(shí)說的就是這個(gè)道理 。 特別是人們對(duì)于現(xiàn)代化的教學(xué)手段作用的認(rèn)識(shí)，也越發(fā)的客觀、冷靜 。 如在一節(jié)拋物線的直角弦的性質(zhì)的研究中，教師沒 有能夠引導(dǎo)學(xué)生建立直線的方程，并通過直線方程得到過定點(diǎn)的幾何性質(zhì) 。應(yīng)該說如今的技術(shù)手段已經(jīng)發(fā)展到登峰造極的地步了，有些學(xué)校整個(gè)教室的設(shè)備都是無線的。但是我們要培養(yǎng)一名優(yōu)秀的教師是要下真功夫的。 什么事情一旦上升到流水線的程度上，就消失了人情，淡漠了人心 ……。就像最優(yōu)秀的學(xué)生不是老師能教出來的一樣，最好的教師也絕對(duì)不是能夠由誰帶出來的，更不可能是由某一套固定的模式培養(yǎng)出來的 。 。 在每個(gè)優(yōu)秀、成熟的數(shù)學(xué)教師的教學(xué)生涯中，一般都經(jīng)歷過從照本宣科、亦步亦趨到教無定法、游刃有余的過程 。 我至今也無法記住武夷巖茶沖泡的十八個(gè)工序是什么 。從這個(gè)例子可以看出，課堂教學(xué)需要解決的最根本的任務(wù)是“人的大腦”，是教師對(duì)教學(xué)本質(zhì)的理解。 我曾經(jīng)在一個(gè)上海的學(xué)校觀摩，一堂課上滿屏幕打出來的都是學(xué)生的圖形計(jì)算器的計(jì)算過程。在課堂上，我們要帶領(lǐng)學(xué)生通過對(duì)直線、圓或圓錐曲線的方程去研究這些幾何對(duì)象的幾何性質(zhì) 。 好的數(shù)學(xué)教師要啟發(fā)的是學(xué)生的智慧而不是所謂的技巧！好的教學(xué)應(yīng)該是教給學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題 的具有共性的思維，而不是教給一個(gè)又一個(gè)的各種各樣的所謂的方法 。 因此，教師在課堂上選擇什么樣的例題進(jìn)行教學(xué)也就明確了 。 學(xué)生如果喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，一定是因?yàn)?數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)滿足了他的好奇心、求知欲 。 要讓學(xué)生能夠從教學(xué)的活動(dòng)中真正受益 。 還有一種形式，就是小組討論，派代表匯報(bào)，教師作適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng) 。 學(xué)生包括老師成了這種模式的工具 。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該關(guān)注思維的問題，需要讓學(xué)生能夠沉下來，靜靜地思考。 但我覺得能夠用樸實(shí)的話說出真理，就是智慧！不能不讓我們這些晚輩佩服，向這位百歲老人致敬 。 在現(xiàn)在的很多的教案中的教學(xué)方式的敘述中，更多的老師愿意寫探究式，而不愿寫啟發(fā)式教學(xué)或至少不情愿只寫啟發(fā)式教學(xué) 。 啟發(fā)式教學(xué)就是灌輸式的教學(xué)，就是滿堂灌，是要改革的教學(xué)方式等等，這樣一類的議論、批評(píng)之聲不絕于耳 。 在休息的時(shí)候，也聽到一些教師對(duì)新課改下的數(shù)學(xué)教學(xué)的困惑、不解甚至無奈 。當(dāng)前在學(xué)案的主宰下，教學(xué)已經(jīng)沒有教師本人的特色了，都是按照一個(gè)備課組同一份學(xué)案在講那些題。 四、 對(duì)課堂教學(xué)的一些思考與感悟 1. 關(guān)于學(xué)案教學(xué) 學(xué)案教學(xué)在北京已經(jīng)是鋪天蓋地，到處都是。 如果我們只是把正確的答案、解法完全復(fù)制到學(xué)生的頭腦中，學(xué)生能超越知識(shí)、習(xí)題，能超越教師嗎？根本不可能。 以小見大，數(shù)學(xué)教學(xué) 需要教師深入的研究所教授的內(nèi)容 。 舉個(gè)術(shù)語的例子， 符號(hào)語言對(duì)于學(xué)科思維的形成是非常重要的。一些教師認(rèn)為只要在課堂上把所講授的內(nèi)容解釋清楚了，那么學(xué)生就一定能夠理解并掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。 我認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該 是“觀念性”的 ，我將這種教學(xué)稱為“觀念性的教學(xué)”。 所以如果我們的學(xué)生經(jīng)過我們的解析幾何的教育教學(xué)，能夠建立起這種學(xué)科的觀點(diǎn)，學(xué)科的修養(yǎng)的話，這說明他會(huì)想一個(gè)問題了，他可以從變量的角度想，也可以從一個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)去想問題，這就是我們要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)。好，那也就是 22ab??，從而找剛才那個(gè)解析式，包括定域，自變量的范圍都找到了。 我們來看一個(gè)例子，這是海淀的 10 年的，第一屆課標(biāo)版的高考的海淀 一模文科 第八題。所以這就反映出我們?cè)谶M(jìn)行代數(shù)化的這種訓(xùn)練的時(shí)候呢，要首先有一個(gè)臺(tái)階，給學(xué)生搭一個(gè)臺(tái)階，就是你要思考，在你面臨問題 中 的幾何的東西是什么，而不要上來就想去算。老師甚至指導(dǎo) ，像那個(gè)大題， 一上去就 就聯(lián)立，聯(lián)立算到哪兒不行就算了，趕緊做下一題。 好，那我下面就講一下解析幾何的我的一些想法。 接下來，由 2 016y ? ， 可以 得出 x 的范圍，由 2 025x ? ，得出 y 的范圍 ， 然后得出 55x? ? ? ， 44y? ? ? 的時(shí)候，我們?cè)僮寣W(xué)生去理解 橫縱坐標(biāo) 的范圍內(nèi) ，這個(gè) 矩形應(yīng)該是這樣出來，而不是你畫出來的。我們知道解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)是什么呢？是用代數(shù)方法研究幾何問題，所以我們?cè)诮馕鰩缀谓虒W(xué)的時(shí)候， 無論是介 紹 橢圓性質(zhì) 或者是雙曲線性質(zhì)，我們都要傳授給學(xué)生的 學(xué)科思維是什么呢？是怎么樣 用 代數(shù)的方法，用方程去研究 幾何 性質(zhì)。 3. 解析幾何 部分知識(shí)的思維特征 我覺得解析幾何 部分知識(shí) 挺好的，我感觸挺深的，所以 一定要跟老師們分享 。這么去做這道題消耗的時(shí)間很大，很不合算，而實(shí)際上 即使 你平時(shí)做也不應(yīng)該這么想，還是應(yīng)該想什么呢？這個(gè)圖象的性質(zhì)是什么？他的性質(zhì)一方面從圖來看，一方面從解析式來看， 余弦型函數(shù)與 x 軸的 交點(diǎn)都是函數(shù)的零點(diǎn) ， 說錯(cuò)了，說零點(diǎn)沒意義，都是對(duì)稱中心。這 其實(shí)是 源于導(dǎo)函數(shù)，第一個(gè)導(dǎo)函數(shù) 是 開 口 朝上拋物線，第二個(gè)開 口 朝下拋物線。 所以我覺得老師有的時(shí)候一定要堅(jiān)定自己的一些教師的想法。 學(xué)生 會(huì) 把兩個(gè)圖象都畫出來，費(fèi)了半天勁。需要一個(gè)什么樣的性質(zhì)呢？單調(diào)性。所以我們也說這個(gè)化簡(jiǎn)意識(shí)的可貴 ， 我們必須要要求學(xué)生能夠有這種化簡(jiǎn)的意識(shí)，到處都是自變量，那為什么 不減少它，這是分式，完全可以做變形 ，所以上下同乘 xe ，然后再利用這個(gè)把分母湊出來，配出來，這樣的話， 只有 一個(gè)位置上有 x 。我們稍微改一下這個(gè)問題，就能逼著學(xué)生去分析它的奇偶性， 2(2 ) ( ) 0f a f a? ? ?怎么辦？要讓學(xué)生看到，我首先把這個(gè)式子變成 2(2 ) ( )f a f a? ? ? ，那這個(gè)負(fù)號(hào)如果能進(jìn)去，那當(dāng)然就可以用剛才的辦法。 例題 1 已知函數(shù) 2 224 , 0( ) , ( 2 ) ( ) ,4 , 0x x xf x f a f a ax x x? ???? ? ? ?? ???? 則 的 取 值 范 圍 . 很多學(xué)生奮不顧身的就要往里代，討論一下 22 a? 方和 a 是正還是負(fù)，思維靈活 一點(diǎn)的呢，討論四次，要是不管不顧的呢， 可能就瞎代一個(gè)，上頭一個(gè)，下頭一個(gè)就完了。這個(gè)性質(zhì)一開始要研究什么？要研究對(duì)稱性。豎著 從思維的載體來看，也可以再加一個(gè)圖像語言。我們常常出現(xiàn)一個(gè)問題，教了三年的學(xué)生，他們也僅僅知道 x 可以取任意值，但不能完全讀懂符號(hào)。如果和為常數(shù)，那么是對(duì)稱的；差為常數(shù)，那常數(shù)就是函數(shù)的周期。 學(xué)生應(yīng)該知道，當(dāng)這個(gè)函數(shù)的自變量， x 分別取以 1 為中點(diǎn)的兩個(gè)自變量的值的時(shí)候，函數(shù)值應(yīng)該是相等的，讓學(xué)生試圖這樣去想。那么我們就可以問 學(xué)生，這樣的兩個(gè)點(diǎn)的特征是什么？這樣的點(diǎn)當(dāng)然不僅是一個(gè)或者一組， 從而得到圖像本身是原點(diǎn)對(duì)稱的。 比如 說函數(shù)的奇偶性， 我們現(xiàn)在要問一個(gè)高三學(xué)生，什么叫奇函數(shù)，好一點(diǎn)的學(xué)生能說出 ( ) ( )f x f x? ?? ， 但是大部分答的是 “ 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ”或者“ 圖象 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ” 。如果 老師就講到這個(gè)層面的話，那就一點(diǎn)數(shù)學(xué)思維的東西都沒有。 1. 集合 部分知識(shí)的思維特征 高一就要開始學(xué)習(xí)集合， 在集合 內(nèi)容 的教學(xué)中，我們應(yīng)該教給學(xué)生什么樣的思維層面的東西？ 其實(shí) 集合的定義已經(jīng)告訴我們集合由對(duì)象的全體構(gòu)成，所以對(duì)象是 集合 的本質(zhì)。我們教學(xué)的價(jià)值最終要?dú)w于讓學(xué)生愛聽，激發(fā)他們對(duì)學(xué)科的興趣，這樣才能讓他們從中真正受益，學(xué)到東西。某種程度上說，我們當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上是一種失敗的教育。 現(xiàn)在很多數(shù)學(xué)課都不像課，而像“題”。數(shù)學(xué)思維的特征與方法 張鶴 一、 目前數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀 大概是去年（ 2020 年）十月份左右，我給國(guó)培班講的是“通過課例分析講有意義的教學(xué)”，主題是關(guān)鍵性教學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)如果僅僅為了一個(gè)升學(xué)目標(biāo)或者成績(jī)，那么老師們的心態(tài)就容易變得非常浮躁。“高分低能”，很早就有這種提法了，就是說學(xué)生到了大學(xué)不會(huì)學(xué)習(xí)，而這個(gè)問題的端倪很可能出現(xiàn)在中學(xué)。 所以我認(rèn)為，從目前課堂教學(xué)現(xiàn)狀來看，一個(gè)很重要的問題就是：教師應(yīng)該樹立一個(gè)“好”的數(shù)學(xué)教育 理念 。 下面我就高中數(shù)學(xué)中的幾個(gè)重要的單元的思維特征談一 談 自己的認(rèn)識(shí)和理解，供老師們參考 。也就是通過元素與幾何集合的關(guān)系來刻畫幾何集合之間的關(guān)系，以及幾何集合 的運(yùn)算。對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的討論，我們要教給學(xué)生用函數(shù)的思維去解決函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，因此在函數(shù)這一單元的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)中，教學(xué)的重點(diǎn)是要讓學(xué)生理解并逐步掌握函數(shù)的思維特征，即：理解函數(shù)問題、研究函數(shù)問題、就要分析函數(shù)在自變量變化下函數(shù)值相應(yīng)的變化。 ()fx在直角坐標(biāo)系下的幾何含義是什么？是 ( , ( ))x f x 這一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ， ()fx? 在直角坐標(biāo)系下 是點(diǎn) ( , ( ))x f x??。反過來，如果不是這個(gè) ()fx，是 ( 1)fx? ，或者 都可以試著讓學(xué)生寫出描述性語言。先看看這兩個(gè)自變量，是相等，是和為常數(shù)，還是差為常數(shù)。你寫符號(hào)，得讓學(xué)生會(huì)讀。 接下來我 再談?wù)労瘮?shù)的研究方法 。從解析式研 究，不是拿解析式去畫圖，有的解析式是畫不了圖的，而是要研究函數(shù)的性質(zhì)。研究函數(shù)的性質(zhì)，利用性質(zhì)的一些特征，去