【正文】 畫示意圖，就完全可以解決問題了，所以沒必要讓學生用描點法來畫復雜的函數圖象。那我們看一下這道題，從這個問題來看，首先，要用性質來解決，所以要探索這個函數，特別是是跟單調性有關的性質，畫圖是一種辦法。如果學生上來就求導，那 必然要走向 很復雜的計算。沒有從 ()fx這個函數的整體去認識這個函數的圖象，要研究的是 什么 呢？是 ()fx的性質，而并不是算一個不等式。比 如 這個題 ：函數212l og , 0()log ( ), 0xxfxxx???? ????? ，這也 是一道高考題。我們應該讓 學生感受到分析一個函數性質，把一個分段函數看成一個整體函數的價值所在 。讓學生知道，其實 ， 增減增，那是 0a? ； 減增減， 0a? 。學生有一部分的同學是怎樣呢？他一看這個圖就想到，我 應該 要算 ? ，算 ? ，算 A ，最后再算 (0)f 。 我們要引導學生理解函數問題中的自變量的確定及如何影響函數的因變量的變化的，讓學生明確函數的性質都是由函數的自變量的變化引起的，也可以說函數的性質都是針對函數的自變量的 。介紹 頂點的時候，請同學們繼續(xù)觀察這個橢圓與坐標軸有幾個交點 ，其它性質也 全是圍繞著這個圖來進行。然后要求頂點坐標，長軸上的兩個頂點 可以由直線 0y? 與 橢圓方程去聯(lián)立 ， 而絕對不是簡簡單單的就是一個看出那個(5,0) 、 ( 5,0)? 。 就 像 我們常常教育學生那樣：好的學習方法，關鍵是要動腦筋，勤思考一樣，我們作為教師，不能把我們每天的上課看成是機械的、重復性的、簡單的體力勞動，而是要研究知識的內在規(guī)律，研究教學的內在規(guī)律，研究學生的學習規(guī)律 。是這樣一種思維狀態(tài)。那么在 0A? 的前提下，顯然右下區(qū)域就是可以用不等式 0Ax By C? ? ? 來表示，左上區(qū)域那就是0Ax By C? ? ? ， 這樣的一個代數化，完全可以做的。 例題 6 直線 21ax by??與圓 221xy??相交于 ,AB兩點，且 AOB 是直角三角形，則點 ( , )Pab 與 (0,1) 的距離最大值 __________。那這樣的話， 0 到直線距離不 就是 22 嗎？馬上就可以找到一個 a、b 的等量關系。所以 橢圓 上的動點到焦點 距離的最大值，或者是最小值都一目了然 了 。教師的責任不是讓學生的數學考試考高分，如果有人這樣認為的話，那是對自己為之工作一生的職業(yè)的誤解，也是對自己存在價值的褻瀆！數學教師要能夠幫助學生理解數學的本質，要讓 學生學會用數學的思維思考問題，通過你的數學課堂，學生能夠為邏輯的力量所折服，所傾倒！數學考試得高分不是我們教學的目的，讓學生真正從內心喜歡思考、喜歡數學、學生的思維具有邏輯性才是我們數學教師存在的價值。 這些現(xiàn)象的出現(xiàn)很大程度上源于學生對數學知識的理解是單一、平面化的。只有教給學生東西的觀念性的、本質的，學生才能受益，只有教師自己從觀念上明白了所教授的內容，才能交給學生真正的數學。從這個例子中，你可以看到老師的不規(guī)范語言會給學生帶來多大的影響。數學本身是一個思考問題的過程，我們要教給學生的是怎么思考問題的方法，而不是具體的解決一道題的辦法。 在課堂上，只有圍繞著能夠體現(xiàn)數學思維本質的有價值的問題組織教學，我們才可能克服那種以表面活動為基礎，以灌輸為中心的教學，同時也才能幫助學生克服那種死記硬背式的學習方式。 人大附中的課堂沒有學案，但卻是好的、生動的課堂。 我把自己對于數學的理解和思考，我在教學中的一些心得向外地的同行們做了交流 。 我感受最深刻的是關于啟發(fā)式教學的爭論 。 課后，聽到一位以改革聞名的外地調到北京的特級教師的議論是：不就是一節(jié)啟發(fā)式教學嗎？太傳統(tǒng)了！我無語 。 楊先生自稱是老人，凈說些老話，對于時代，自謙是落伍者 。表面的熱鬧之下，實際上是沒有東西的。 而模式化的教學不是關注學生的發(fā)展，關注的是這種模式如何更加完美 。 幾分鐘之后，剛才還疑惑的問題似乎就有了答案，一節(jié)課又順順當當地進行了下去 。 數學教學的改革，一定不能走形式，要實事求是 。 課堂的魅力在于學生和老師都要面對許多未知的問題，課堂上存在著許多的不確定的因素，隨著思維活動的展開跌宕起伏 。 學生的解題能力的提高不是通過解題的數量的多少能夠決定的，而在于通過解題的思維活動去不斷地概括思維的方法，將思維的共性的東西內化到自己的思維模式中 。在函數性質的研究中，利用函數的解析式是研究函數性質的重要依據，要在我們的習題教學中強化學生研究解析式的意識，提高研究解析式的能力； 同樣，在解析幾何的教學中，要培養(yǎng)學生研究曲線方程的能力，要能夠通過曲線方程得出曲線的幾何性質，并進行有效的代數化； 在立體幾何的解題教學中，我們要引導學生 關注幾何體，要能夠通過幾何體這個載體，研究線面的位置關系；在統(tǒng)計的教學中，與學會研究數據，分析數據 。 我們知道解析幾何的教學目的就是要培養(yǎng)學生學會用代數的方法去研究幾何的問題 。 在這種理念的指導下，很多學校投入了大量的資金裝備學校的計算機房和教室，各校之間進行著 一輪又一輪的競爭 。圖形計算器如果起到的作用僅僅是往里頭輸 入符號，這就完全本末倒置了。 喝什么茶并不重要，關鍵的是喝得舒心、喝得暢快 …。 細細品味這段文字，茶藝的精髓又何嘗不是教學藝術的追求呢 。 在這里談教學的藝術也許我還沒有資格，但是，我們每個老師的內心深處，又有哪一個不是在自己的教學實踐中苦苦追求著課堂教學的最高境界呢？就像一杯能夠沁人心脾的好茶，需要用心去泡；一節(jié)能夠帶給學生思維樂趣的數學課，需要作為教師的我們用心去創(chuàng)造 。 數學的教學活動由于參與的是人，是教師與學生之間的思維的活動，因而是一個最有活力的思維過程 ,這 個過程如果被模式化、被各種各樣的條文所限定、所約束（如教師上課只能講 15 分鐘之類的），那么它將失去了思維活動的魅力！失去了教學活動要關注學生思維的意義 。 在這一點上，我更希望每一泡茶都是手工制作，這種手工制作是真正的“手工制作”，而不是被程序化了的手工 。教師本人是需要每天、每時每刻在思考的。在這種物質條件與硬件設備過硬的環(huán)境下，如果老師的觀念不改變，或是跟不上，也是沒用的。 而是在課上用幾何畫板軟件先去演示運動的直線，再讓學生觀察直線的幾何性質，學生通過觀察課件知道了直線過定點如（ 2p， 0），再用直線的方程去證明 。 回想剛剛引入計算機進入課堂的初期，上研究課必須要用電腦，只要用了，就比不用強，用電腦成了一節(jié)好課的必要條件 。 那么，題型教學是不是就是屬于關注思 維共性的教學呢？其實，從“題型”的字意上就不難看出，這種教學關注的是題目的形式，是問題外在的、形式化的共性，而不是思維的本質上的共同點 。 它需要教師認真的準備，但不需要表演，哪怕表演得再真實！數學的思維是具有邏輯性的，如果把這種思維僵化，模式化，就必然失去其應有的意義 。 就是在一節(jié)課的最后幾分鐘，上課的老師都要找 1 到 2 個同學談談“你這節(jié)課又學了那些東西或數學思想” 。 而實際上，由于數學這門課的特點，實際上它不適合幾個人圍在一起吵吵嚷嚷就能夠解決的，如果能解決，也一定是沒有什么思維含量的問題 。 在數學課堂中，采取小組討論的方式學習數學是演繹“合作學習”的標準動作 。 因為人是活的，思維是活的，進行教學的教師就是要能夠在和學生 的思維的碰撞中不斷地去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、思考問題 。學生們肯定看得明白，后面沒旁聽教師就一人堂，一來外人旁聽就組織討論。 作為教師要能夠克服內心的浮躁，要能夠沉下心來，認真鉆研我們所要教授的知識 。 在當時，很多教師很茫然，不知道課堂教學要向哪個方向發(fā)展才是符合潮流的，一些國外的教育理論盲目的照搬過來很受賞識，而堅守中國教學傳統(tǒng)的教學方法倍受壓力 。 在一些類似于“把課堂還給學生”這樣冠冕堂皇的理念下的數學課堂，看不到數學思維活動 的過程；看不到教師對教材、對知識的精辟的分析；也看不到充滿思維活力的智慧的碰撞 。我們面對的學生不一樣，教的對象不一樣，如何能要求講課的學案是一樣的。 實際上，我看到的好學案課并不多，或者說看不到，看到更多的是弊端。 滿足于正確答案而進行的教學，只能使學生思考和做事都變得刻板。 因此，從這一角度說，要上好一節(jié)課，是需要下很大的工夫的，需要教師長期的積累，要對所教學科的每一門課程的特點，整體的知識的脈絡、結構有著完整的把握 。我上周聽了一個老師講函數的奇偶性、函數的單調性的課，但是我并沒有聽出感覺、聽出思維、聽出真正的理 解。這樣照本宣科式的教學不能促進學生深入地思考數學問題、不會思考數學問題，使得 學生對數學知識的誤解和學習方法的誤解一步步加深。 如何才能進行有效的觀念性教學呢 ？以下是我總結的幾條途徑與關鍵點： 1. 教學 富有意義前提是 為了讓 學生能夠理解問題 如果上課僅僅是做題，講解解題過程，而沒有講知識的本質，沒有給學生揭示出思維層次的東西，那么學生很難達到對具體知識的深刻理解。上這種課的數學教師不能說不努力備課，不鉆研教材，但他的教學水平是停留在怎樣把課本的概念講得再清楚一些，讓學生記住、會應用，并通過大量的練習讓學生掌握。如果要從解析幾何的角度來看呢，那我就要找點 A、 B 規(guī)律，軌跡。 就需要找到 a、 b 的等量關系，得代換，不能兩個變量，兩個自變量 。所以我們在每個學科的教育中教給學生怎么想。 那我先從代數化的觀點來看，代數化的觀點是什么呢？所以有時候我就拿這樣的很簡單的問題考學生，比如說， 0( 0)A x B y C A? ? ? ?，我說直線在這個平面上，我說你還能不能進一步的做一些代數化 ， 學生就什么也看不出來 ， 只能說斜率，交點坐標。我覺得這是解析幾何所面臨的問題。我原來當教研組長的時候， 招聘教師基本都是解析幾何課，講橢圓的性質啊，講軌跡等等。像橢圓的 對稱性，不是靠觀察 得出 關于 x 軸對稱， 再去證明 關于 x 軸對稱，關于 y 軸對稱 而應該是 通過方程 尋找 橢圓 的 特點。他說，首先拿出預習中用描點法畫出橢圓 22125 16xy??所示的圖形，同時呢，計算機給出作圖過程，糾正學生作圖中存在的問題。那么，既然已經知道 2()23f ? ?? ，也就知道一個自變量等于函數值已經知道了，那我就要知道 23? 和 2? ，這倆自變量是什么關系。 例題 4 32()f x ax bx cx d? ? ? ?的 圖象 如圖所示，則 b 的值一定（ ） A．等于 0 B．大于 0 C．小于 0 D．小于或等于 0 像類似這樣的問題吧， 學生還是可能會算 ，算的做法是什么呢？ (0) 0f ? ，(2) 0f ? ， ( 2) 0f ??， 然后 就開始算，其實這樣做是不科學的，因為 (2)f 和 ( 2)f ?的符號 并不能刻畫這個函數的單調性， 函數 極值不一定受它影響 ， 可能 (2)f 甚至是正的，極值根本沒改變 。你看到單調性，你不是看熱鬧，你是要看極值，看極值點，看 內部的東西。既然是奇函數的話 ，就可以利用對稱性幫助我們畫圖， 讓學生體會到研究函數性質的價值在哪里。其實如果你要從性質的角度來