【正文】 earch polynomial size on the position of the influence of polynomial root, investigates the position variation of polynomial for solution of sensitivity. We Chebyshev polynomial, starting from research polynomial size on the position of the influence of polynomial root. This topic is main content on Chebyshev polynomials and Bernstein polynomial do further analysis, understand their useful important properties. Give some meaningful new problem conclusion. This thesis is one of the innovation points of polynomial number domain expansion to plurals situation. Ably from two typical polynomials, car than snow Cardiff polynomials and Bernstein polynomial embarks, derive deeper into question. Especially in drawing a numerical approach in the concept of minimum polynomials drawn to the concept of maximum polynomial after polynomial limit after certain condition deepens problem. Keywords: The biggest (minimum) infinite norm, (Max) minimum polynomials and roots disturbance, root position, Chebyshev, Bernstein 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 4 緒論 說明 是否真的存在兩個首一的七次的實多項式它們的根全部都在單位區(qū)間[1,1]? 上？事實上確實存在這樣的多項式： 一個是 7 5 37 7 7 7( ) ,4 8 6 4T x x x x x? ? ? ? ? 另一個 7 6 5 4 3 27 ( ) 5 9 5 5 9 5 1B x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 那么這兩個多項式 在圖上的巨大 的區(qū)別是什么造成的呢？ 專修數(shù)學的學生 都知道任何一個首一 的 多項式，都存在兩種標準的表達形式： 11 1 01()( ) ( )nnnniip x x a x a x aorp x x r???? ? ? ? ???? 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 5 不管什么表達形式，都需要選定 n 個系數(shù)才能確定多項式 p。 給出一些有意義 新的問題 的結論。多項式方程的求根，函數(shù)的多項式逼近等等問題是應用數(shù)學，計算數(shù)學中的一個重要研究問題，它不僅在理論上，而且在實際問題中都有重要應用。 本課題研究多項式的大小對多項式根的位置的影響， 考察多項式對于解的位置變動的敏感性。 本論文的創(chuàng)新點之一就是 對多項式的數(shù)域的擴充到復數(shù)的情況。對于第一個標準形式，我們不妨稱他為擴展形式，第二種標準形式就稱他為析因形式。 在 本文中，我們主要聚焦多項式的尺度（無窮范數(shù)）的大小 與 其根的位置關系。并且最終對 一類 多項式，我們能夠 在某種意義上 相對地說什么樣的多項式是他們同級別類型中的最大和最小多項式。然后從這些基本但又什么重要典型的多項式入手研究一般多項的范數(shù)的相對大小和怎么通過擾動根的位置關系使范數(shù)增加等一些列深刻的研究內容。 我們首先回顧一下這兩個重要多項式的重要內容。 ? ?1 ( ) c os ( 1 ) c os ( ) c os sin ( ) sin ( )nT x n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ( ) c os[ ( 1 ) ) c os( ) c os sin( ) sin( )nT x n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?c os ( 1 ) c os ( 1 ) 2 c os c osn n n? ? ? ?? ? ? ?兩 個 式 子 相 加 得 ： ? ? ? ?c o s ( 1 ) 2 c o s c o s c o s ( 1 )n n n? ? ? ?? ? ? ? 11c os ) ( ) , ( ) 2 ( ) ( )n n n nT x T x x T x T x? ??? ? ?由 （ n 我 們 可 以 得 到 由 arccosx ?? ，即 cos x?? 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 7 0( ) 1Tx? ， 1()T x x? 221( ) 2 ( ) 2 1T x xT x x? ? ? 33 2 1( ) 2 ( ) ( ) 4 3T x x T x T x x x? ? ? ? 424 3 2( ) 2 ( ) ( ) 8 8 1T x x T x T x x x? ? ? ? ? 535 4 3( ) 2 ( ) ( ) 16 20 5T x x T x T x x x x? ? ? ? ? 6 4 26 5 4( ) 2 ( ) 3 2 4 8 1 8 1T x x T x T x x x? ? ? ? ? ? 7 5 37 6 5( ) 2 ( ) ( ) 6 4 1 1 2 5 6 7T x x T x T x x x x x? ? ? ? ? ? 當然也可以把 0 1 2 7, , ,x x x x 看成未定元。 性質 2： chebyshev 多項式 ( ) c os( a rc c os )nT x n x? 是 n 次多項式 由歸納法 證明： 假設對所有小于等于 n 的 chebyshev 多項 式結論都是成立的 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 9 11( ) ( ) ( )n n nT x xT x T x????= 110()nnnnx a x a x a???? 121 2 0()nnnnb x b x b?????? = 111 2 1 0 0( ) ( )n n nn n n na x a x a b x a b??? ? ?? ? ? ? ? 由于 1,0nnab? ? ， deg（ 1()nTx? ） = 1n? 故顯然 ()nTx是 n 次多項式，故對所有 n N?? 性質 3： 契比曉夫多項式 ()nTx的最高冪 nx 項的系數(shù)為 2n 證明： 我們知道歐拉公式 cos si niei? ???? ， cos si niei? ??? ?? 故有 1cos ( )2 iiee??? ???， 1si n ( )2 iiee??? ??? 1( ) c o s ( )2 in innT x n e e??? ?? ? ?= ? ?1 ( c o s s in ) ( c o s s in )2 n i n n i n? ? ? ?? ? ? = 1 ( c o s s in ) ( c o s s in )2 nnii? ? ? ???? ? ??? 由 arccosx ?? ，即 cos x?? ， 2sin 1 x? ?? 則221 [ ( 1 ) ( 1 ) ]2 nnx i x x i x? ? ? ? ?= 2 2 2 21 [ ( (1 ) ) ( (1 ) ) ]2 nnx i x x i x? ? ? ? ?=221 [ ( 1 ) ( 1 ) ]2 nnx x x x? ? ? ? ?。 性質 5： ()nTx在 [1,1]? 中恰有 n 個不同的實根。 事實上這是顯然的： ()nTx? = cos( arccos( ))nx? = c os ( a rc c os ( ))n n x? ? =(1)n? cos( arccos )nx 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 11 ( ) c os( a r c c os( ) )nT x n x?? =( 1) ( )n nTx? ， n 為奇數(shù)時， ()nTx為奇函數(shù) n 為偶函數(shù)時， ()nTx為偶函數(shù)。即1 1 1 1( ) 0 ( ) 0m a x m a xnnxxW x P x? ? ? ? ? ?? ? ? 證明： 假設存在一個 n 次的首項系數(shù)為 1 的多項式 ()nPx比 ()nWx對 0 的偏差更小。但由于 ()nPx， ()nWx都是首項系數(shù)為 1 的 n 次多項式，故 deg（ ( ) ( )nnP x W x?