【正文】 0 02 097 152 01 0 8 0 8 0 0 00 5 0 20 0 16 0 01 0 18 0 48 0 32 00 7 0 56 0 112 0 64????????? 線性方程組的系數(shù)矩陣的行列 式不等于零，故系數(shù)矩陣為非退化的。 性質 2 告訴我們 ()nTx的最高項的次數(shù)為 n。 21cos ,2k kx n ???k=1,2 n ( ) c o s( a rc c o s( ))nT x n x? =0 ? arccos( )nx=k? 2? ， 1,2k? 。 性質 8： 契比曉夫多項式是 [1,1]? 上帶權211 x? 的正交多項式。 11 1 1 1( ) 0 ( ) 0 2m a x m a x nnnxxP x W x ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?，在性質 6 中我們知道， ()nTx在[1,1]? 中 在 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn?? ??n+1 個交錯點組處輪流取到的他的最大上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 12 值 1 與最小值 1。 論 文 緒 論 部 分 中 提 到 的 7 5 37 7 7 7( ) ,4 8 6 4T x x x x x? ? ? ? ?就是7 5 37 6 5( ) 2 ( ) ( ) 6 4 1 1 2 5 6 7T x x T x T x x x x x? ? ? ? ? ?“單位化”而得到的。 知道了什么的多項式叫最小的多項式那么自然我們對于多項式就要首先明白什么叫做多項式的大？在緒論中另一個多項式顯然看起來比 7()Tx? “大” 得多。也就是對多項式的大小有了一個定量的估計。最近有關這些函數(shù)這方面有趣且有用的結果都可在【 1,2,3,5,12】找到。 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 14 多項式其根的拖動（擾動） 一個非常漂亮的定理 關于一個實系數(shù)都是相異的實根多項式臨界點的是我們的開始的地方。當然，我們最重要的是比較它們各自極值的變化。 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 15 性質 1.：設1( ) ( ),niip x x r????這里的 1 2 3 ,nr r r r? ? ? ?為其多項式的相異的實根，在他們其中選一個內部的根，稱他為 ,( )ir i d? dr ，我們把他向右拖動 ? 個單位， 其中 ? 滿足 10 ddrr? ?? ? ? 。 我們不用太大的篇幅來證明這個問題，但是最最關鍵的幾點還是要逐一 給出的。有一個重要的事實， 任何兩個多項式在公共根所構成的區(qū)間中一定不相交。 引理 ()fx和 ()gx都是在區(qū)間 [, ]ab 上的多項式，這里有 ( ) ( ) 0f a g a??，上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 16 ( ) ( ) 0f b g b??，此外在我們假定在區(qū)間 [, ]ab 內部 中 ()fx和 ()gx都是不相交的。 （不然假 ()fx在一些點上 ( ) ( )f x g x? ，在其它一些情況上 ( ) ( )f x g x? ，則根據(jù)連續(xù)函數(shù)中 rolle 定理他們在區(qū)間 (, )ab 一定會有等值的交點，顯然與我們先前的假定直接矛盾。故 顯然 ( ) ( )f x g x? 對所有的 x ( , )ab? 都成立。 我們回過身來，仔細地分析 p? 與 p 我問就可以的 出性質 1，我們發(fā)現(xiàn) 111( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( )nij ijnd i ij i j i dp x x rp x x r x r x r? ?? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? 對任意的 id? ，我們有 ,( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )i i d i jj d ii i d i jj d ip r r r r rp r r r r r? ???? ? ? ?? ? ? ? ??? 如果 ,id? 則就有 ( ) ( )( ) ( )iip r p rp x p x??????對所有的 1dxr?? 成立。即使當這些根是向左端點或是向右端點拖動結論還是成立的?，F(xiàn)在就可以利用性質1 的結論去具體操作把一個具體的多項式增加他的范數(shù)。 只要我們向無窮遠處拖動便可。對于任給的一個多項式 ()px ，是否 存 在一個多項式和他的類型完全一致的多項式 ()qx （首一的定義在單位區(qū)間上的 n 次 含有n 個互異實根的 實多項式），使得多項式 ()qx 滿足： [ 1,1] [ 1,1]( ) ( )q x p x???呢？ 要回答這個問題只要利用我們前面的性質 1 就直接可以得出操作的方法。 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 19 正是因為這樣的過程使得我們最終在拖動的時候不是把這些實根拖向 1 就是把實根拖到 +1 那里。 , ( ) ( / ) (1 )i i n ii n nB t f i n C t t ???。 11( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )i n i i n iip x i x x n i x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? = 11( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) ( ) ( 1 ) ]i n ix x i x n i x? ? ?? ? ? ? ? ? ? 11( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) ( ) ( 1 ) ]i n ix x i x n i x? ? ?? ? ? ? ? ?=0 ? ? ( 1) ( )( 1)i x n i x? ? ? ?=0， ? 2i inxc n??? 因此 [ 1,1] ()i i ip p c? ? 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 20 ()iipc = 2211i n ii n i nnn ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?= 2( ) ( )n i n ii n in ?? 我們關 心的是哪一個 i 能夠使范數(shù)達到最大。問題轉化 為 求 ( ) l n ( ) l n [ ( ) ] l n ( ) l n ( ) , [ 1 , 1 ]t n tf t g t t n t t t n t n t t n?? ? ? ? ? ? ? ? ?的最大值，以 及 臨 界 點 。從這里我們知道了隨著多項式的次數(shù) n 很大時， p 幾乎為零。所以，根據(jù)多項式的理論，這樣的多項式的虛根一定是成對出現(xiàn)的。對于有虛根的情況，不管是一個（對）根，還是許多個（對）虛根的情況顯然就不能包括在內了。我們不妨設他為 w a ib?? 因此， w a ib?? 也是多項式 p 的一個 根。 這里()wpx? 被作為復數(shù)的模，但其實 ()wpx? 確是 一個無可辯駁的實數(shù)。最終導致所有的復根都在單位圓周上，所有的實根都在 1 或 1 上面。很明顯我們 1? 從 :0 ?? 時。范數(shù)已經(jīng)最大了。 11 [ 1 , 1 ]11 1 2 12 2 c os ( )2nnnnnnpnnn??? ?????? ? ????? 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 25 致 謝 在完成本 論文的過程中 在此論 文撰寫過程中，要特別感謝我的導師 張建軍 的指導與督促，同時感謝 他 的諒解與包容。 謝謝我的父母，沒有他們辛勤的付出也就沒有我的今天，在這一刻，將最崇高的敬意獻給你們！ 參考文獻 【 1】 B. Anderson, Polynomial Root Dragging, Amer. Math. Monthly 100 (1993), 864865. 【 2】 B. Anderson, Where the Inection Points of a Polynomial May Lie,Math Magazine 70 (1997), 3239. 【 3】 P. Andrews, Where Not to Find the Critical Points of a Polynomial Variation on a Putnam Theme, Amer. Math. Monthly 102 (1995), 155158. 【 4】 P. Borwein and T. Erd elyi, Polynomials and Polynomial Inequalities,Springer 1995. 【 5】 J. C. Mason and D. C. Handsb, Chebyshev Polynomials, CRC Press， 2020. 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 26