【正文】 0 02 097 152 01 0 8 0 8 0 0 00 5 0 20 0 16 0 01 0 18 0 48 0 32 00 7 0 56 0 112 0 64????????? 線性方程組的系數(shù)矩陣的行列 式不等于零，故系數(shù)矩陣為非退化的。 性質(zhì) 2 告訴我們 ()nTx的最高項(xiàng)的次數(shù)為 n。 21cos ,2k kx n ???k=1,2 n ( ) c o s( a rc c o s( ))nT x n x? =0 ? arccos( )nx=k? 2? ， 1,2k? 。 性質(zhì) 8： 契比曉夫多項(xiàng)式是 [1,1]? 上帶權(quán)211 x? 的正交多項(xiàng)式。 11 1 1 1( ) 0 ( ) 0 2m a x m a x nnnxxP x W x ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?，在性質(zhì) 6 中我們知道， ()nTx在[1,1]? 中 在 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn?? ??n+1 個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)組處輪流取到的他的最大上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 12 值 1 與最小值 1。 論 文 緒 論 部 分 中 提 到 的 7 5 37 7 7 7( ) ,4 8 6 4T x x x x x? ? ? ? ?就是7 5 37 6 5( ) 2 ( ) ( ) 6 4 1 1 2 5 6 7T x x T x T x x x x x? ? ? ? ? ?“單位化”而得到的。 知道了什么的多項(xiàng)式叫最小的多項(xiàng)式那么自然我們對于多項(xiàng)式就要首先明白什么叫做多項(xiàng)式的大？在緒論中另一個(gè)多項(xiàng)式顯然看起來比 7()Tx? “大” 得多。也就是對多項(xiàng)式的大小有了一個(gè)定量的估計(jì)。最近有關(guān)這些函數(shù)這方面有趣且有用的結(jié)果都可在【 1,2,3,5,12】找到。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 14 多項(xiàng)式其根的拖動(dòng)（擾動(dòng)） 一個(gè)非常漂亮的定理 關(guān)于一個(gè)實(shí)系數(shù)都是相異的實(shí)根多項(xiàng)式臨界點(diǎn)的是我們的開始的地方。當(dāng)然，我們最重要的是比較它們各自極值的變化。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 15 性質(zhì) 1.：設(shè)1( ) ( ),niip x x r????這里的 1 2 3 ,nr r r r? ? ? ?為其多項(xiàng)式的相異的實(shí)根，在他們其中選一個(gè)內(nèi)部的根，稱他為 ,( )ir i d? dr ，我們把他向右拖動(dòng) ? 個(gè)單位， 其中 ? 滿足 10 ddrr? ?? ? ? 。 我們不用太大的篇幅來證明這個(gè)問題，但是最最關(guān)鍵的幾點(diǎn)還是要逐一 給出的。有一個(gè)重要的事實(shí)， 任何兩個(gè)多項(xiàng)式在公共根所構(gòu)成的區(qū)間中一定不相交。 引理 ()fx和 ()gx都是在區(qū)間 [, ]ab 上的多項(xiàng)式，這里有 ( ) ( ) 0f a g a??，上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 16 ( ) ( ) 0f b g b??，此外在我們假定在區(qū)間 [, ]ab 內(nèi)部 中 ()fx和 ()gx都是不相交的。 （不然假 ()fx在一些點(diǎn)上 ( ) ( )f x g x? ，在其它一些情況上 ( ) ( )f x g x? ，則根據(jù)連續(xù)函數(shù)中 rolle 定理他們在區(qū)間 (, )ab 一定會(huì)有等值的交點(diǎn)，顯然與我們先前的假定直接矛盾。故 顯然 ( ) ( )f x g x? 對所有的 x ( , )ab? 都成立。 我們回過身來，仔細(xì)地分析 p? 與 p 我問就可以的 出性質(zhì) 1，我們發(fā)現(xiàn) 111( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( )nij ijnd i ij i j i dp x x rp x x r x r x r? ?? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? 對任意的 id? ，我們有 ,( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )i i d i jj d ii i d i jj d ip r r r r rp r r r r r? ???? ? ? ?? ? ? ? ??? 如果 ,id? 則就有 ( ) ( )( ) ( )iip r p rp x p x??????對所有的 1dxr?? 成立。即使當(dāng)這些根是向左端點(diǎn)或是向右端點(diǎn)拖動(dòng)結(jié)論還是成立的?，F(xiàn)在就可以利用性質(zhì)1 的結(jié)論去具體操作把一個(gè)具體的多項(xiàng)式增加他的范數(shù)。 只要我們向無窮遠(yuǎn)處拖動(dòng)便可。對于任給的一個(gè)多項(xiàng)式 ()px ，是否 存 在一個(gè)多項(xiàng)式和他的類型完全一致的多項(xiàng)式 ()qx （首一的定義在單位區(qū)間上的 n 次 含有n 個(gè)互異實(shí)根的 實(shí)多項(xiàng)式），使得多項(xiàng)式 ()qx 滿足： [ 1,1] [ 1,1]( ) ( )q x p x???呢？ 要回答這個(gè)問題只要利用我們前面的性質(zhì) 1 就直接可以得出操作的方法。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 19 正是因?yàn)檫@樣的過程使得我們最終在拖動(dòng)的時(shí)候不是把這些實(shí)根拖向 1 就是把實(shí)根拖到 +1 那里。 , ( ) ( / ) (1 )i i n ii n nB t f i n C t t ???。 11( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )i n i i n iip x i x x n i x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? = 11( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) ( ) ( 1 ) ]i n ix x i x n i x? ? ?? ? ? ? ? ? ? 11( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) ( ) ( 1 ) ]i n ix x i x n i x? ? ?? ? ? ? ? ?=0 ? ? ( 1) ( )( 1)i x n i x? ? ? ?=0， ? 2i inxc n??? 因此 [ 1,1] ()i i ip p c? ? 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 20 ()iipc = 2211i n ii n i nnn ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?= 2( ) ( )n i n ii n in ?? 我們關(guān) 心的是哪一個(gè) i 能夠使范數(shù)達(dá)到最大。問題轉(zhuǎn)化 為 求 ( ) l n ( ) l n [ ( ) ] l n ( ) l n ( ) , [ 1 , 1 ]t n tf t g t t n t t t n t n t t n?? ? ? ? ? ? ? ? ?的最大值，以 及 臨 界 點(diǎn) 。從這里我們知道了隨著多項(xiàng)式的次數(shù) n 很大時(shí)， p 幾乎為零。所以，根據(jù)多項(xiàng)式的理論，這樣的多項(xiàng)式的虛根一定是成對出現(xiàn)的。對于有虛根的情況，不管是一個(gè)（對）根，還是許多個(gè)（對）虛根的情況顯然就不能包括在內(nèi)了。我們不妨設(shè)他為 w a ib?? 因此， w a ib?? 也是多項(xiàng)式 p 的一個(gè) 根。 這里()wpx? 被作為復(fù)數(shù)的模，但其實(shí) ()wpx? 確是 一個(gè)無可辯駁的實(shí)數(shù)。最終導(dǎo)致所有的復(fù)根都在單位圓周上，所有的實(shí)根都在 1 或 1 上面。很明顯我們 1? 從 :0 ?? 時(shí)。范數(shù)已經(jīng)最大了。 11 [ 1 , 1 ]11 1 2 12 2 c os ( )2nnnnnnpnnn??? ?????? ? ????? 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 25 致 謝 在完成本 論文的過程中 在此論 文撰寫過程中，要特別感謝我的導(dǎo)師 張建軍 的指導(dǎo)與督促，同時(shí)感謝 他 的諒解與包容。 謝謝我的父母，沒有他們辛勤的付出也就沒有我的今天，在這一刻，將最崇高的敬意獻(xiàn)給你們！ 參考文獻(xiàn) 【 1】 B. Anderson, Polynomial Root Dragging, Amer. Math. Monthly 100 (1993), 864865. 【 2】 B. Anderson, Where the Inection Points of a Polynomial May Lie,Math Magazine 70 (1997), 3239. 【 3】 P. Andrews, Where Not to Find the Critical Points of a Polynomial Variation on a Putnam Theme, Amer. Math. Monthly 102 (1995), 155158. 【 4】 P. Borwein and T. Erd elyi, Polynomials and Polynomial Inequalities,Springer 1995. 【 5】 J. C. Mason and D. C. Handsb, Chebyshev Polynomials, CRC Press， 2020. 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 26