【正文】 得最大值 12n? 與 最小值 12n? 。我們自然先要引出一個無比重要的概念。 另外一個非常重要的事實，我們對多項式的根 ， 做這樣的限制是為了使多項式在被 某 種意義下被“固定”住。 圖 2 就是兩個五次的多項式 ， 他們其他四個根沒有什么變換，其中有一個根 x=0 是被拖到了 x=。首先多項式 ()px 和 ()px? 僅僅在 x= ()ir i d? 的地方相交，并且都為 0。那么如果有 ( ) ( ),f a g a??? 則 ( ) ( ),f x g x? 對所有的x ( , )ab? 都成立。我們把這兩個多項式在 a 處 Taylor 展開就可以得到： 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!f x f a f a x a f a x a? ??? ? ? ? ? ? 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!g x g a g a x a g a x a? ??? ? ? ? ? ? 在他們兩邊同時除以 xa，并且考慮到 ( ) ( ) 0f a g a??我們能得到： ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 ! 2 !f a g af a x a g a x a?? ????? ? ? ? ? ? ? 在不等式兩邊取 極限 xa? 。更加令人振奮的是性質(zhì) 1 他還適用于有多個重根的實多項式的情況。許多標(biāo)準(zhǔn)的正交多項式都定義在單位區(qū)間內(nèi)。最終得到多項式是 一個新的多項式他就是我們所說的在范數(shù)意義下所謂的更大多項式。由于 2()nn是常數(shù)，所以問題就歸結(jié)到 ()i n ii n i ?? 的 極 值 的 問題了。 其 圖像 在坐標(biāo)軸上 顯 示為 幾乎貼著實數(shù)軸。 假設(shè) p 是一個實系數(shù)多項式且 1， 1 都是其根。用幾何的觀點來說， ()wpx? 完全是被 x? 到 w 和 w 的距離所決定的。這對復(fù)根就變成 1 和 1 了。沒有 張建軍 老師的幫助也就沒有今天的這篇論文。所以多項式的范數(shù)還可以進(jìn)一步控制其范圍。 ( ) / 2 ( ) / 211( ) 1 1 n j k n j kjk iiiip x x x x e x e x e x e???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? 我們不妨就考慮 1? 所對應(yīng)的一對共軛復(fù)根的拖動。 現(xiàn) 在 我 們 知 道[ 1,1]()wpx?= ()wpx? = 1xr?? 2xr?? 3xr?? 2nxr? ?? xw?? xw?? 。不過值得注意的是這里有一個關(guān)鍵的不同點：多項式根的拖動 的相應(yīng)結(jié)論都是針對實系數(shù)多項式其根全是實根的情況。故 ()ft 的 最 大 值 是 一 定 在 區(qū) 間 的 兩 端 點 之 一 處 取 得 ， 11max ( )tnft?? ?= m ax{ (1), ( 1)}f f n ?= 121() nn nnn????????，所以對任何的首一實多項式其根在區(qū)間 [1,1]? 且以 1,1 為其根的多 項式 p，其[ 1,1]p ?121( ) , 3nn n nnn?????????? 類似的我們就可以得到 1[ , ]1( ) , 3nnabb a npnnn ???????????，我們?nèi)菀子^察到如果 1ba??，則當(dāng) n?? 時， 1[ , ]1( ) 0nnabb a np nn ???????????。當(dāng)然我們只想關(guān)心他們最大值在什么處取到，并且是多少。 為了說明我們的過程，下面幾張圖就完整的說明了多項式范數(shù)上升的過程。否則可能會使多項式的范數(shù)要多大就有多大。只不過需要不等 式 的方向做一些恰當(dāng)?shù)母淖儭１M管是對一部分領(lǐng)域成立，但又由于先前的討論知道不是 所以對任意的 x ( , )ab? ( ) ( )f x g x? 恒 能 成立就是 對 ( ) ( )f x g x?恒 能 成立 。詳細(xì)的細(xì)節(jié)我們現(xiàn)在就開始了。反之()px? 與 ()px 在區(qū)間 11( , ),ddrr?? 上 如 果 有 1( ) 0,dpr?? ? 那么()px? ()px? 對任意的 x 11( , )ddrr??? 都成立。 下圖 2 中很生動形象的表示了拖動前后新老多項式的性態(tài)變化 。多項式其根的互異性是一個很自然 的假設(shè)起點， Chebyshev 多項式 （事實上整個正交多項式函數(shù)族）滿足這種合理的需要。顧名思義喂最小之多項式 。即1 1 1 1( ) 0 ( ) 0m a x m a xnnxxW x P x? ? ? ? ? ?? ? ? 證明： 假設(shè)存在一個 n 次的首項系數(shù)為 1 的多項式 ()nPx比 ()nWx對 0 的偏差更小。 性質(zhì) 5： ()nTx在 [1,1]? 中恰有 n 個不同的實根。 ? ?1 ( ) c os ( 1 ) c os ( ) c os sin ( ) sin ( )nT x n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ( ) c os[ ( 1 ) ) c os( ) c os sin( ) sin( )nT x n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?c os ( 1 ) c os ( 1 ) 2 c os c osn n n? ? ? ?? ? ? ?兩 個 式 子 相 加 得 ： ? ? ? ?c o s ( 1 ) 2 c o s c o s c o s ( 1 )n n n? ? ? ?? ? ? ? 11c os ) ( ) , ( ) 2 ( ) ( )n n n nT x T x x T x T x? ??? ? ?由 （ n 我 們 可 以 得 到 由 arccosx ?? ，即 cos x?? 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 7 0( ) 1Tx? ， 1()T x x? 221( ) 2 ( ) 2 1T x xT x x? ? ? 33 2 1( ) 2 ( ) ( ) 4 3T x x T x T x x x? ? ? ? 424 3 2( ) 2 ( ) ( ) 8 8 1T x x T x T x x x? ? ? ? ? 535 4 3( ) 2 ( ) ( ) 16 20 5T x x T x T x x x x? ? ? ? ? 6 4 26 5 4( ) 2 ( ) 3 2 4 8 1 8 1T x x T x T x x x? ? ? ? ? ? 7 5 37 6 5( ) 2 ( ) ( ) 6 4 1 1 2 5 6 7T x x T x T x x x x x? ? ? ? ? ? 當(dāng)然也可以把 0 1 2 7, , ,x x x x 看成未定元。然后從這些基本但又什么重要典型的多項式入手研究一般多項的范數(shù)的相對大小和怎么通過擾動根的位置關(guān)系使范數(shù)增加等一些列深刻的研究內(nèi)容。 在 本文中，我們主要聚焦多項式的尺度（無窮范數(shù)）的大小 與 其根的位置關(guān)系。 本論文的創(chuàng)新點之一就是 對多項式的數(shù)域的擴(kuò)充到復(fù)數(shù)的情況。多項式方程的求根，函數(shù)的多項式逼近等等問題是應(yīng)用數(shù)學(xué)，計算數(shù)學(xué)中的一個重要研究問題，它不僅在理論上，而且在實際問題中都有重要應(yīng)用。 關(guān)鍵詞 ： 最大（最?。o窮范數(shù)、（最大）最小多項式 、根的擾動、根的位置關(guān)系 、 Chebyshev、 Bernstein 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 3 ABSTRACT Polynomial problem of research is an ancient but very meaningful questions, it is in the modern mathematics plays an important role. Polynomial equation extract roots, function of polynomial approximation etc problem is applied mathematics, putational mathematics one of the important research problems, it not only theoretically, but in actual problem in all have important applications. This topic research polynomial size on the position of the influence of polynomial root, investigates the position variation of polynomial for solution of sensitivity. We Chebyshev polynomial, starting from research polynomial size on the position of the influence of polynomial root. This topic is main content on Chebyshev polynomials and Bernstein polynomial do furthe