【正文】 得最大值 12n? 與 最小值 12n? 。我們自然先要引出一個(gè)無(wú)比重要的概念。 另外一個(gè)非常重要的事實(shí)，我們對(duì)多項(xiàng)式的根 ， 做這樣的限制是為了使多項(xiàng)式在被 某 種意義下被“固定”住。 圖 2 就是兩個(gè)五次的多項(xiàng)式 ， 他們其他四個(gè)根沒(méi)有什么變換，其中有一個(gè)根 x=0 是被拖到了 x=。首先多項(xiàng)式 ()px 和 ()px? 僅僅在 x= ()ir i d? 的地方相交，并且都為 0。那么如果有 ( ) ( ),f a g a??? 則 ( ) ( ),f x g x? 對(duì)所有的x ( , )ab? 都成立。我們把這兩個(gè)多項(xiàng)式在 a 處 Taylor 展開(kāi)就可以得到： 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!f x f a f a x a f a x a? ??? ? ? ? ? ? 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!g x g a g a x a g a x a? ??? ? ? ? ? ? 在他們兩邊同時(shí)除以 xa，并且考慮到 ( ) ( ) 0f a g a??我們能得到： ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 ! 2 !f a g af a x a g a x a?? ????? ? ? ? ? ? ? 在不等式兩邊取 極限 xa? 。更加令人振奮的是性質(zhì) 1 他還適用于有多個(gè)重根的實(shí)多項(xiàng)式的情況。許多標(biāo)準(zhǔn)的正交多項(xiàng)式都定義在單位區(qū)間內(nèi)。最終得到多項(xiàng)式是 一個(gè)新的多項(xiàng)式他就是我們所說(shuō)的在范數(shù)意義下所謂的更大多項(xiàng)式。由于 2()nn是常數(shù)，所以問(wèn)題就歸結(jié)到 ()i n ii n i ?? 的 極 值 的 問(wèn)題了。 其 圖像 在坐標(biāo)軸上 顯 示為 幾乎貼著實(shí)數(shù)軸。 假設(shè) p 是一個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式且 1， 1 都是其根。用幾何的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)， ()wpx? 完全是被 x? 到 w 和 w 的距離所決定的。這對(duì)復(fù)根就變成 1 和 1 了。沒(méi)有 張建軍 老師的幫助也就沒(méi)有今天的這篇論文。所以多項(xiàng)式的范數(shù)還可以進(jìn)一步控制其范圍。 ( ) / 2 ( ) / 211( ) 1 1 n j k n j kjk iiiip x x x x e x e x e x e???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? 我們不妨就考慮 1? 所對(duì)應(yīng)的一對(duì)共軛復(fù)根的拖動(dòng)。 現(xiàn) 在 我 們 知 道[ 1,1]()wpx?= ()wpx? = 1xr?? 2xr?? 3xr?? 2nxr? ?? xw?? xw?? 。不過(guò)值得注意的是這里有一個(gè)關(guān)鍵的不同點(diǎn)：多項(xiàng)式根的拖動(dòng) 的相應(yīng)結(jié)論都是針對(duì)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式其根全是實(shí)根的情況。故 ()ft 的 最 大 值 是 一 定 在 區(qū) 間 的 兩 端 點(diǎn) 之 一 處 取 得 ， 11max ( )tnft?? ?= m ax{ (1), ( 1)}f f n ?= 121() nn nnn????????，所以對(duì)任何的首一實(shí)多項(xiàng)式其根在區(qū)間 [1,1]? 且以 1,1 為其根的多 項(xiàng)式 p，其[ 1,1]p ?121( ) , 3nn n nnn?????????? 類似的我們就可以得到 1[ , ]1( ) , 3nnabb a npnnn ???????????，我們?nèi)菀子^察到如果 1ba??，則當(dāng) n?? 時(shí)， 1[ , ]1( ) 0nnabb a np nn ???????????。當(dāng)然我們只想關(guān)心他們最大值在什么處取到，并且是多少。 為了說(shuō)明我們的過(guò)程，下面幾張圖就完整的說(shuō)明了多項(xiàng)式范數(shù)上升的過(guò)程。否則可能會(huì)使多項(xiàng)式的范數(shù)要多大就有多大。只不過(guò)需要不等 式 的方向做一些恰當(dāng)?shù)母淖?。盡管是對(duì)一部分領(lǐng)域成立，但又由于先前的討論知道不是 所以對(duì)任意的 x ( , )ab? ( ) ( )f x g x? 恒 能 成立就是 對(duì) ( ) ( )f x g x?恒 能 成立 。詳細(xì)的細(xì)節(jié)我們現(xiàn)在就開(kāi)始了。反之()px? 與 ()px 在區(qū)間 11( , ),ddrr?? 上 如 果 有 1( ) 0,dpr?? ? 那么()px? ()px? 對(duì)任意的 x 11( , )ddrr??? 都成立。 下圖 2 中很生動(dòng)形象的表示了拖動(dòng)前后新老多項(xiàng)式的性態(tài)變化 。多項(xiàng)式其根的互異性是一個(gè)很自然 的假設(shè)起點(diǎn)， Chebyshev 多項(xiàng)式 （事實(shí)上整個(gè)正交多項(xiàng)式函數(shù)族）滿足這種合理的需要。顧名思義喂最小之多項(xiàng)式 。即1 1 1 1( ) 0 ( ) 0m a x m a xnnxxW x P x? ? ? ? ? ?? ? ? 證明： 假設(shè)存在一個(gè) n 次的首項(xiàng)系數(shù)為 1 的多項(xiàng)式 ()nPx比 ()nWx對(duì) 0 的偏差更小。 性質(zhì) 5： ()nTx在 [1,1]? 中恰有 n 個(gè)不同的實(shí)根。 ? ?1 ( ) c os ( 1 ) c os ( ) c os sin ( ) sin ( )nT x n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ( ) c os[ ( 1 ) ) c os( ) c os sin( ) sin( )nT x n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?c os ( 1 ) c os ( 1 ) 2 c os c osn n n? ? ? ?? ? ? ?兩 個(gè) 式 子 相 加 得 ： ? ? ? ?c o s ( 1 ) 2 c o s c o s c o s ( 1 )n n n? ? ? ?? ? ? ? 11c os ) ( ) , ( ) 2 ( ) ( )n n n nT x T x x T x T x? ??? ? ?由 （ n 我 們 可 以 得 到 由 arccosx ?? ，即 cos x?? 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 7 0( ) 1Tx? ， 1()T x x? 221( ) 2 ( ) 2 1T x xT x x? ? ? 33 2 1( ) 2 ( ) ( ) 4 3T x x T x T x x x? ? ? ? 424 3 2( ) 2 ( ) ( ) 8 8 1T x x T x T x x x? ? ? ? ? 535 4 3( ) 2 ( ) ( ) 16 20 5T x x T x T x x x x? ? ? ? ? 6 4 26 5 4( ) 2 ( ) 3 2 4 8 1 8 1T x x T x T x x x? ? ? ? ? ? 7 5 37 6 5( ) 2 ( ) ( ) 6 4 1 1 2 5 6 7T x x T x T x x x x x? ? ? ? ? ? 當(dāng)然也可以把 0 1 2 7, , ,x x x x 看成未定元。然后從這些基本但又什么重要典型的多項(xiàng)式入手研究一般多項(xiàng)的范數(shù)的相對(duì)大小和怎么通過(guò)擾動(dòng)根的位置關(guān)系使范數(shù)增加等一些列深刻的研究?jī)?nèi)容。 在 本文中，我們主要聚焦多項(xiàng)式的尺度（無(wú)窮范數(shù)）的大小 與 其根的位置關(guān)系。 本論文的創(chuàng)新點(diǎn)之一就是 對(duì)多項(xiàng)式的數(shù)域的擴(kuò)充到復(fù)數(shù)的情況。多項(xiàng)式方程的求根，函數(shù)的多項(xiàng)式逼近等等問(wèn)題是應(yīng)用數(shù)學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要研究問(wèn)題，它不僅在理論上，而且在實(shí)際問(wèn)題中都有重要應(yīng)用。 關(guān)鍵詞 ： 最大（最?。o(wú)窮范數(shù)、（最大）最小多項(xiàng)式 、根的擾動(dòng)、根的位置關(guān)系 、 Chebyshev、 Bernstein 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 3 ABSTRACT Polynomial problem of research is an ancient but very meaningful questions, it is in the modern mathematics plays an important role. Polynomial equation extract roots, function of polynomial approximation etc problem is applied mathematics, putational mathematics one of the important research problems, it not only theoretically, but in actual problem in all have important applications. This topic research polynomial size on the position of the influence of polynomial root, investigates the position variation of polynomial for solution of sensitivity. We Chebyshev polynomial, starting from research polynomial size on the position of the influence of polynomial root. This topic is main content on Chebyshev polynomials and Bernstein polynomial do furthe