【正文】 包含 1 和 1 為多項式的 根 ， 且其余 的 根都在單位圓盤內的高次（次數(shù)大于等于 2）多項式他們的范數(shù) 的“ 上確界 ”應 為： 1[ 1 , 1 ]21 nn npnn?????????? 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 24 所以在范數(shù)意 義下，我們完全可以說對所有實系數(shù)包含 1 和 1 為其根 ， 且其余根都在單位圓盤內的高次（次數(shù)大于等于 2）多項式中他們的最大多項式為： 11, ( ) ( 1 ) ( 1 ) nnp x x x ?? ? ?，而同類中最小的多項式為：12 ( )n nTx? ，由于 ()nTx 在 1， 1 處沒有零點。而這一過程中范數(shù)一 直在 增大。其他所有的根都在單位圓盤內。為了表述的方便，我們用變量 t 代換 i ,先求函數(shù) ( ) ( ) , [1 , 1 ]t n tg t t n t t n?? ? ? ?的最值。而任意一個多項式總能通過一個變換使得問題轉化為在單位區(qū)間上去考慮問題。顯然，有 ( ) ( )f a g a??? 但這是絕對矛盾的，因為我們假設就是 ( ) ( )f a g a??? 。此外，由于 ()px ()px? 的次數(shù)已近不超過 n1，故至多有 n1 個實根，而他們就是x= ()ir i d? 這些點。因為如果沒有任何的限制，顯然我們總能使多項式的無窮范數(shù)盡可能的大，要多大有多大只要我們想那樣做的話。 我們得到不等式： 00( ) ( ) 0nnP x W x???? 11( ) ( ) 0nnP x W x???? 22( ) ( ) 0nnP x W x???? 所以對于 ( ) ( )nnP x W x? 在 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn?? ??共有 n+1 個點輪流取正負號，所以我們不難通過羅爾定理得出 ( ) ( )nnP x W x? 在 [1,1]? 中至少有 n 個 互異的 實根。 我們進過計算得到下列的表示形式 0120231340 2 451 3 561 2 4 670 3 5 711()21( 3 )41( 3 4 )81( 10 5 )161( 10 15 6 )321( 35 21 7 )128TxTx T Tx T Tx T T Tx T T Tx T T T Tx T T T T??????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 顯然 7 5 37 6 5( ) 2 ( ) ( ) 6 4 1 1 2 5 6 7T x x T x T x x x x x? ? ? ? ? ?就是先前的兩個例子之一。 現(xiàn)在 我們要回顧多項式根 的擾動的思想，利用這個去處理多項式的 范數(shù) 大小問題。多項式方程的求根，函數(shù)的多項式逼近等等問題是應用數(shù)學，計算數(shù)學中的一個重要研究問題，它不僅在理論上，而且在實際問題中都有重要應用。 在 本文中，我們主要聚焦多項式的尺度（無窮范數(shù)）的大小 與 其根的位置關系。 ? ?1 ( ) c os ( 1 ) c os ( ) c os sin ( ) sin ( )nT x n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ( ) c os[ ( 1 ) ) c os( ) c os sin( ) sin( )nT x n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?c os ( 1 ) c os ( 1 ) 2 c os c osn n n? ? ? ?? ? ? ?兩 個 式 子 相 加 得 ： ? ? ? ?c o s ( 1 ) 2 c o s c o s c o s ( 1 )n n n? ? ? ?? ? ? ? 11c os ) ( ) , ( ) 2 ( ) ( )n n n nT x T x x T x T x? ??? ? ?由 （ n 我 們 可 以 得 到 由 arccosx ?? ，即 cos x?? 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 7 0( ) 1Tx? ， 1()T x x? 221( ) 2 ( ) 2 1T x xT x x? ? ? 33 2 1( ) 2 ( ) ( ) 4 3T x x T x T x x x? ? ? ? 424 3 2( ) 2 ( ) ( ) 8 8 1T x x T x T x x x? ? ? ? ? 535 4 3( ) 2 ( ) ( ) 16 20 5T x x T x T x x x x? ? ? ? ? 6 4 26 5 4( ) 2 ( ) 3 2 4 8 1 8 1T x x T x T x x x? ? ? ? ? ? 7 5 37 6 5( ) 2 ( ) ( ) 6 4 1 1 2 5 6 7T x x T x T x x x x x? ? ? ? ? ? 當然也可以把 0 1 2 7, , ,x x x x 看成未定元。即1 1 1 1( ) 0 ( ) 0m a x m a xnnxxW x P x? ? ? ? ? ?? ? ? 證明： 假設存在一個 n 次的首項系數(shù)為 1 的多項式 ()nPx比 ()nWx對 0 的偏差更小。多項式其根的互異性是一個很自然 的假設起點， Chebyshev 多項式 （事實上整個正交多項式函數(shù)族）滿足這種合理的需要。反之()px? 與 ()px 在區(qū)間 11( , ),ddrr?? 上 如 果 有 1( ) 0,dpr?? ? 那么()px? ()px? 對任意的 x 11( , )ddrr??? 都成立。盡管是對一部分領域成立，但又由于先前的討論知道不是 所以對任意的 x ( , )ab? ( ) ( )f x g x? 恒 能 成立就是 對 ( ) ( )f x g x?恒 能 成立 。否則可能會使多項式的范數(shù)要多大就有多大。當然我們只想關心他們最大值在什么處取到，并且是多少。不過值得注意的是這里有一個關鍵的不同點：多項式根的拖動 的相應結論都是針對實系數(shù)多項式其根全是實根的情況。 ( ) / 2 ( ) / 211( ) 1 1 n j k n j kjk iiiip x x x x e x e x e x e???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? 我們不妨就考慮 1? 所對應的一對共軛復根的拖動。沒有 張建軍 老師的幫助也就沒有今天的這篇論文。用幾何的觀點來說， ()wpx? 完全是被 x? 到 w 和 w 的距離所決定的。 其 圖像 在坐標軸上 顯 示為 幾乎貼著實數(shù)軸。最終得到多項式是 一個新的多項式他就是我們所說的在范數(shù)意義下所謂的更大多項式。更加令人振奮的是性質 1 他還適用于有多個重根的實多項式的情況。那么如果有 ( ) ( ),f a g a??? 則 ( ) ( ),f x g x? 對所有的x ( , )ab? 都成立。 圖 2 就是兩個五次的多項式 ， 他們其他四個根沒有什么變換，其中有一個根 x=0 是被拖到了 x=。我們自然先要引出一個無比重要的概念。 ? arccos()x = 212kn ?? ， ? 21c o s ( ) , 1 , 22kx k nn ???? 性質 6： ()nTx在區(qū)間 [1,1]? 中 有 n+1 個點 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn?? ??輪流取到最大值 1 和最大值 1。比如一開頭就提到的 7()Tx是七次首一的 Chebyshev 多項式， 7()Bx是一個能被變形為 Bernstein 多項式。尤其在借鑒數(shù)值逼近中最小多項式的概念引出最大多項式的概念后對多項式限制一定條件后逐步深入問題。巧妙地從兩個典型的多項式，車比雪夫多項式和伯恩斯坦多項式出發(fā)，拋磚引玉地深入問題。 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 6 第一章 ： Chebyshev多項式 在探究真理的過程中我們或多或少的要涉及到兩類非常著名的多項式。 21cos ,2k kx n ???k=1,2 n ( ) c o s( a rc c o s( ))nT x n x? =0 ? arccos( )nx=k? 2? ， 1,2k? 。 知道了什么的多項式叫最小的多項式那么自然我們對于多項式就要首先明白什么叫做多項式的大？在緒論中另一個多項式顯然看起來比 7()Tx? “大” 得多。當然，我們最重要的是比較它們各自極值的變化。 引理 ()fx和 ()gx都是在區(qū)間 [, ]ab 上的多項式，這里有 ( ) ( ) 0f a g a??，上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 16 ( ) ( ) 0f b g b??，此外在我們假定在區(qū)間 [, ]ab 內部 中 ()fx和 ()gx都是不相交的。即使當這些根是向左端點或是向右端點拖動結論還是成立的。 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 19 正是因為這樣的過程使得我們最終在拖動的時候不是把這些實根拖