【正文】 包含 1 和 1 為多項(xiàng)式的 根 ， 且其余 的 根都在單位圓盤內(nèi)的高次（次數(shù)大于等于 2）多項(xiàng)式他們的范數(shù) 的“ 上確界 ”應(yīng) 為： 1[ 1 , 1 ]21 nn npnn?????????? 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 24 所以在范數(shù)意 義下，我們完全可以說對(duì)所有實(shí)系數(shù)包含 1 和 1 為其根 ， 且其余根都在單位圓盤內(nèi)的高次（次數(shù)大于等于 2）多項(xiàng)式中他們的最大多項(xiàng)式為： 11, ( ) ( 1 ) ( 1 ) nnp x x x ?? ? ?，而同類中最小的多項(xiàng)式為：12 ( )n nTx? ，由于 ()nTx 在 1， 1 處沒有零點(diǎn)。而這一過程中范數(shù)一 直在 增大。其他所有的根都在單位圓盤內(nèi)。為了表述的方便，我們用變量 t 代換 i ,先求函數(shù) ( ) ( ) , [1 , 1 ]t n tg t t n t t n?? ? ? ?的最值。而任意一個(gè)多項(xiàng)式總能通過一個(gè)變換使得問題轉(zhuǎn)化為在單位區(qū)間上去考慮問題。顯然，有 ( ) ( )f a g a??? 但這是絕對(duì)矛盾的，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)就是 ( ) ( )f a g a??? 。此外，由于 ()px ()px? 的次數(shù)已近不超過 n1，故至多有 n1 個(gè)實(shí)根，而他們就是x= ()ir i d? 這些點(diǎn)。因?yàn)槿绻麤]有任何的限制，顯然我們總能使多項(xiàng)式的無窮范數(shù)盡可能的大，要多大有多大只要我們想那樣做的話。 我們得到不等式： 00( ) ( ) 0nnP x W x???? 11( ) ( ) 0nnP x W x???? 22( ) ( ) 0nnP x W x???? 所以對(duì)于 ( ) ( )nnP x W x? 在 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn?? ??共有 n+1 個(gè)點(diǎn)輪流取正負(fù)號(hào)，所以我們不難通過羅爾定理得出 ( ) ( )nnP x W x? 在 [1,1]? 中至少有 n 個(gè) 互異的 實(shí)根。 我們進(jìn)過計(jì)算得到下列的表示形式 0120231340 2 451 3 561 2 4 670 3 5 711()21( 3 )41( 3 4 )81( 10 5 )161( 10 15 6 )321( 35 21 7 )128TxTx T Tx T Tx T T Tx T T Tx T T T Tx T T T T??????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 顯然 7 5 37 6 5( ) 2 ( ) ( ) 6 4 1 1 2 5 6 7T x x T x T x x x x x? ? ? ? ? ?就是先前的兩個(gè)例子之一。 現(xiàn)在 我們要回顧多項(xiàng)式根 的擾動(dòng)的思想，利用這個(gè)去處理多項(xiàng)式的 范數(shù) 大小問題。多項(xiàng)式方程的求根，函數(shù)的多項(xiàng)式逼近等等問題是應(yīng)用數(shù)學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要研究問題，它不僅在理論上，而且在實(shí)際問題中都有重要應(yīng)用。 在 本文中，我們主要聚焦多項(xiàng)式的尺度（無窮范數(shù)）的大小 與 其根的位置關(guān)系。 ? ?1 ( ) c os ( 1 ) c os ( ) c os sin ( ) sin ( )nT x n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ( ) c os[ ( 1 ) ) c os( ) c os sin( ) sin( )nT x n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?c os ( 1 ) c os ( 1 ) 2 c os c osn n n? ? ? ?? ? ? ?兩 個(gè) 式 子 相 加 得 ： ? ? ? ?c o s ( 1 ) 2 c o s c o s c o s ( 1 )n n n? ? ? ?? ? ? ? 11c os ) ( ) , ( ) 2 ( ) ( )n n n nT x T x x T x T x? ??? ? ?由 （ n 我 們 可 以 得 到 由 arccosx ?? ，即 cos x?? 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 7 0( ) 1Tx? ， 1()T x x? 221( ) 2 ( ) 2 1T x xT x x? ? ? 33 2 1( ) 2 ( ) ( ) 4 3T x x T x T x x x? ? ? ? 424 3 2( ) 2 ( ) ( ) 8 8 1T x x T x T x x x? ? ? ? ? 535 4 3( ) 2 ( ) ( ) 16 20 5T x x T x T x x x x? ? ? ? ? 6 4 26 5 4( ) 2 ( ) 3 2 4 8 1 8 1T x x T x T x x x? ? ? ? ? ? 7 5 37 6 5( ) 2 ( ) ( ) 6 4 1 1 2 5 6 7T x x T x T x x x x x? ? ? ? ? ? 當(dāng)然也可以把 0 1 2 7, , ,x x x x 看成未定元。即1 1 1 1( ) 0 ( ) 0m a x m a xnnxxW x P x? ? ? ? ? ?? ? ? 證明： 假設(shè)存在一個(gè) n 次的首項(xiàng)系數(shù)為 1 的多項(xiàng)式 ()nPx比 ()nWx對(duì) 0 的偏差更小。多項(xiàng)式其根的互異性是一個(gè)很自然 的假設(shè)起點(diǎn)， Chebyshev 多項(xiàng)式 （事實(shí)上整個(gè)正交多項(xiàng)式函數(shù)族）滿足這種合理的需要。反之()px? 與 ()px 在區(qū)間 11( , ),ddrr?? 上 如 果 有 1( ) 0,dpr?? ? 那么()px? ()px? 對(duì)任意的 x 11( , )ddrr??? 都成立。盡管是對(duì)一部分領(lǐng)域成立，但又由于先前的討論知道不是 所以對(duì)任意的 x ( , )ab? ( ) ( )f x g x? 恒 能 成立就是 對(duì) ( ) ( )f x g x?恒 能 成立 。否則可能會(huì)使多項(xiàng)式的范數(shù)要多大就有多大。當(dāng)然我們只想關(guān)心他們最大值在什么處取到，并且是多少。不過值得注意的是這里有一個(gè)關(guān)鍵的不同點(diǎn)：多項(xiàng)式根的拖動(dòng) 的相應(yīng)結(jié)論都是針對(duì)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式其根全是實(shí)根的情況。 ( ) / 2 ( ) / 211( ) 1 1 n j k n j kjk iiiip x x x x e x e x e x e???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? 我們不妨就考慮 1? 所對(duì)應(yīng)的一對(duì)共軛復(fù)根的拖動(dòng)。沒有 張建軍 老師的幫助也就沒有今天的這篇論文。用幾何的觀點(diǎn)來說， ()wpx? 完全是被 x? 到 w 和 w 的距離所決定的。 其 圖像 在坐標(biāo)軸上 顯 示為 幾乎貼著實(shí)數(shù)軸。最終得到多項(xiàng)式是 一個(gè)新的多項(xiàng)式他就是我們所說的在范數(shù)意義下所謂的更大多項(xiàng)式。更加令人振奮的是性質(zhì) 1 他還適用于有多個(gè)重根的實(shí)多項(xiàng)式的情況。那么如果有 ( ) ( ),f a g a??? 則 ( ) ( ),f x g x? 對(duì)所有的x ( , )ab? 都成立。 圖 2 就是兩個(gè)五次的多項(xiàng)式 ， 他們其他四個(gè)根沒有什么變換，其中有一個(gè)根 x=0 是被拖到了 x=。我們自然先要引出一個(gè)無比重要的概念。 ? arccos()x = 212kn ?? ， ? 21c o s ( ) , 1 , 22kx k nn ???? 性質(zhì) 6： ()nTx在區(qū)間 [1,1]? 中 有 n+1 個(gè)點(diǎn) c o s , 0 ,1, ,k kx k nn?? ??輪流取到最大值 1 和最大值 1。比如一開頭就提到的 7()Tx是七次首一的 Chebyshev 多項(xiàng)式， 7()Bx是一個(gè)能被變形為 Bernstein 多項(xiàng)式。尤其在借鑒數(shù)值逼近中最小多項(xiàng)式的概念引出最大多項(xiàng)式的概念后對(duì)多項(xiàng)式限制一定條件后逐步深入問題。巧妙地從兩個(gè)典型的多項(xiàng)式，車比雪夫多項(xiàng)式和伯恩斯坦多項(xiàng)式出發(fā)，拋磚引玉地深入問題。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 6 第一章 ： Chebyshev多項(xiàng)式 在探究真理的過程中我們或多或少的要涉及到兩類非常著名的多項(xiàng)式。 21cos ,2k kx n ???k=1,2 n ( ) c o s( a rc c o s( ))nT x n x? =0 ? arccos( )nx=k? 2? ， 1,2k? 。 知道了什么的多項(xiàng)式叫最小的多項(xiàng)式那么自然我們對(duì)于多項(xiàng)式就要首先明白什么叫做多項(xiàng)式的大？在緒論中另一個(gè)多項(xiàng)式顯然看起來比 7()Tx? “大” 得多。當(dāng)然，我們最重要的是比較它們各自極值的變化。 引理 ()fx和 ()gx都是在區(qū)間 [, ]ab 上的多項(xiàng)式，這里有 ( ) ( ) 0f a g a??，上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 16 ( ) ( ) 0f b g b??，此外在我們假定在區(qū)間 [, ]ab 內(nèi)部 中 ()fx和 ()gx都是不相交的。即使當(dāng)這些根是向左端點(diǎn)或是向右端點(diǎn)拖動(dòng)結(jié)論還是成立的。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 19 正是因?yàn)檫@樣的過程使得我們最終在拖動(dòng)的時(shí)候不是把這些實(shí)根拖