【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ()nTx在 [1,1]? 中恰有 n 個(gè)不同的實(shí)根。 21cos ,2k kx n ???k=1,2 n ( ) c o s( a rc c o s( ))nT x n x? =0 ? arccos( )nx=k? 2? ， 1,2k? 。 ? arccos()x = 212kn ?? ， ? 21c o s ( ) , 1 , 22kx k nn ???? 性質(zhì) 6： ()nTx在區(qū)間 [1,1]? 中 有 n+1 個(gè)點(diǎn) c o s , 0 ,1, ,k kx k nn?? ??輪流取到最大值 1 和最大值 1。 顯 然 我 們 把 cosk kx n?? ?代入 ()nTx 中，?()nkTx? = cos ( arccos ( ))knx?=(1)k? 性質(zhì) 7： 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) ()nTx為奇數(shù)函數(shù)，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) ()nTx為偶函數(shù)。 事實(shí)上這是顯然的： ()nTx? = cos( arccos( ))nx? = c os ( a rc c os ( ))n n x? ? =(1)n? cos( arccos )nx 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 11 ( ) c os( a r c c os( ) )nT x n x?? =( 1) ( )n nTx? ， n 為奇數(shù)時(shí)， ()nTx為奇函數(shù) n 為偶函數(shù)時(shí)， ()nTx為偶函數(shù)。 性質(zhì) 8： 契比曉夫多項(xiàng)式是 [1,1]? 上帶權(quán)211 x? 的正交多項(xiàng)式。 1 2 0 .51 ( ) ( ) (1 )mnT x T x x d x?? ?? ， 1 2 0 .51 ( ) ( ) (1 )mnT x T x x d x?? ?? = 1211c o s ( a r c c o s ) c o s ( a r c c o s ) 1n m x d xx? ?? 021c o s c o s c o s ( s in ) 1 c o sx n m d?? ? ? ? ???? ??=0 cos cosm n d? ? ? ?? 當(dāng) m=n= 0 時(shí) ， ? 當(dāng) m=n? 0 時(shí)， 2? 當(dāng) m? n 時(shí)， 0 即為 [1,1]? 上帶權(quán)211 x? 的正交多項(xiàng)式。 重要定理：在 [1,1]? 上，首項(xiàng)系數(shù)為 1 的一切 n 次多項(xiàng)式 ()nPx中，1()() 2nn nTxWx ??對(duì) 0 的偏差最小。即1 1 1 1( ) 0 ( ) 0m a x m a xnnxxW x P x? ? ? ? ? ?? ? ? 證明： 假設(shè)存在一個(gè) n 次的首項(xiàng)系數(shù)為 1 的多項(xiàng)式 ()nPx比 ()nWx對(duì) 0 的偏差更小。 11 1 1 1( ) 0 ( ) 0 2m a x m a x nnnxxP x W x ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?，在性質(zhì) 6 中我們知道， ()nTx在[1,1]? 中 在 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn?? ??n+1 個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)組處輪流取到的他的最大上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 12 值 1 與最小值 1。所以在 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn?? ??處，1()() 2nn nTxWx ??輪流取得最大值 12n? 與 最小值 12n? 。 我們得到不等式： 00( ) ( ) 0nnP x W x???? 11( ) ( ) 0nnP x W x???? 22( ) ( ) 0nnP x W x???? 所以對(duì)于 ( ) ( )nnP x W x? 在 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn?? ??共有 n+1 個(gè)點(diǎn)輪流取正負(fù)號(hào)，所以我們不難通過(guò)羅爾定理得出 ( ) ( )nnP x W x? 在 [1,1]? 中至少有 n 個(gè) 互異的 實(shí)根。但由于 ()nPx， ()nWx都是首項(xiàng)系數(shù)為 1 的 n 次多項(xiàng)式，故 deg（ ( ) ( )nnP x W x? ）? n1，現(xiàn)在我們知道 ( ) ( )nnP x W x? 有 n 個(gè)不相同的實(shí)根，故 ( ) ( ) 0nnP x W x??，即 ( ) ( )nnP x W x? ，那顯然與先前只假設(shè)矛盾！故我們可以得到一個(gè)什么之精彩的結(jié)論： 所有在區(qū)間 [1,1]? 首項(xiàng)系數(shù)為 1 的 n 次多項(xiàng)式 ()nPx，滿足其最大絕對(duì)值 111max ( ) 2 nnx Px ?? ? ? ? 第二章：最大多項(xiàng)式 多項(xiàng)式的無(wú)窮范數(shù) ： 這是我們?nèi)某霈F(xiàn)的第一個(gè)高潮， 我們先回到前面 的 Chebyshev 多項(xiàng)式 ( ) c os( a r c c os( ) ) , 0 , 1 ,nT x n x n??[ 1,1]x?? 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 13 我們已經(jīng)知道1()() 2nn nTxWx ??是在所有區(qū)間在 [1,1]? 首項(xiàng)系數(shù)為 1 的 n次多項(xiàng)式 ()nPx中內(nèi)取到最小的最大值 12n? ，在這里我們可以親切地稱多項(xiàng)式1()() 2nn nTxWx ??為在單位區(qū)間 [1,1]? 上 n 次首一多項(xiàng)式中最小的多項(xiàng)式。 論 文 緒 論 部 分 中 提 到 的 7 5 37 7 7 7( ) ,4 8 6 4T x x x x x? ? ? ? ?就是7 5 37 6 5( ) 2 ( ) ( ) 6 4 1 1 2 5 6 7T x x T x T x x x x x? ? ? ? ? ?“單位化”而得到的。其最大值就是 172? = 164 非常小。在圖上幾乎看不出來(lái)。顧名思義喂最小之多項(xiàng)式 。 知道了什么的多項(xiàng)式叫最小的多項(xiàng)式那么自然我們對(duì)于多項(xiàng)式就要首先明白什么叫做多項(xiàng)式的大？在緒論中另一個(gè)多項(xiàng)式顯然看起來(lái)比 7()Tx? “大” 得多。我們自然先要引出一個(gè)無(wú)比重要的概念。對(duì)于 任何 一個(gè)多項(xiàng)式 p（ x）。我們 用： [ 1 ,1 ] 11m a x ( )xd efine p p x? ? ? ?? 來(lái)定義多項(xiàng)式 p（ x） 的無(wú)窮范數(shù)。也就是對(duì)多項(xiàng)式的大小有了一個(gè)定量的估計(jì)。 起初我們?yōu)榱搜芯康男枰獙?duì)多項(xiàng)式做了一些合理的規(guī)定，接下來(lái)所要考慮的多項(xiàng)式 ()px 是實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式且其所有的根都是在 [, ]ab 上的。并且他們互不相等，且 ( ) ( ) 0p a p b??，滿足 ab=0。多項(xiàng)式其根的互異性是一個(gè)很自然 的假設(shè)起點(diǎn)， Chebyshev 多項(xiàng)式 （事實(shí)上整個(gè)正交多項(xiàng)式函數(shù)族）滿足這種合理的需要。最近有關(guān)這些函數(shù)這方面有趣且有用的結(jié)果都可在【 1,2,3,5,12】找到。 另外一個(gè)非常重要的事實(shí)，我們對(duì)多項(xiàng)式的根 ， 做這樣的限制是為了使多項(xiàng)式在被 某 種意義下被“固定”住。因?yàn)槿绻麤](méi)有任何的限制，顯然我們總能使多項(xiàng)式的無(wú)窮范數(shù)盡可能的大，要多大有多大只要我們想那樣做的話。稍后我們會(huì)突破 多項(xiàng)式其 根 全部是實(shí)根的限制，討論在單位 復(fù) 圓盤上的多項(xiàng)式的相關(guān)課題。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 14 多項(xiàng)式其根的拖動(dòng)（擾動(dòng)） 一個(gè)非常漂亮的定理 關(guān)于一個(gè)實(shí)系數(shù)都是相異的實(shí)根多項(xiàng)式臨界點(diǎn)的是我們的開(kāi)始的地方。在【 1】中有非常非常詳細(xì)的討論，安德魯 先生 證明了多項(xiàng)式根拖動(dòng)的一些定理 ： 如果我們對(duì)實(shí)系數(shù)都是相異的實(shí)根的多項(xiàng)式的一些內(nèi)部的根在一個(gè)方向上進(jìn)行移動(dòng)，每個(gè)被移動(dòng)的根的距離都不超過(guò) ? ，那么多項(xiàng)式所有的臨界點(diǎn)都會(huì)向右方移動(dòng)，并且移動(dòng)的最大距離都少于 ? 。 在 僅僅拖動(dòng)一個(gè)具體的根的時(shí)候?qū)?被拖動(dòng)前的多項(xiàng)式和被拖動(dòng)后的新多項(xiàng)式 進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)在原先的多項(xiàng)式和拖動(dòng)后形成的新多項(xiàng)式的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)了一些比較有趣的現(xiàn)象和性質(zhì)。 下圖 2 中很生動(dòng)形象的表示了拖動(dòng)前后新老多項(xiàng)式的性態(tài)變化 。當(dāng)然，我們最重要的是比較它們各自極值的變化。 圖 2 就是兩個(gè)五次的多項(xiàng)式 ， 他們其他四個(gè)根沒(méi)有什么變換，其中有一個(gè)根 x=0 是被拖到了 x=。 我們最終發(fā)現(xiàn)，他是在 一個(gè)根被拖動(dòng)的情況下，被拖動(dòng)前的原多項(xiàng)式的極大極小值反而比拖動(dòng)后的小。即拖動(dòng)后的新多項(xiàng)式是獲得了更大的尺度。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 15 性質(zhì) 1.：設(shè)1( ) ( ),niip x x r????這里的 1 2 3 ,nr r r r? ? ? ?為其多項(xiàng)式的相異的實(shí)根，在他們其中選一個(gè)內(nèi)部的根，稱他為 ,( )ir i d? dr ，我們把他向右拖動(dòng) ? 個(gè)單位， 其中 ? 滿足 10 ddrr? ?? ? ? 。那么拖動(dòng)后得到的新的多項(xiàng)式 ( ) ( ) ( ) ,ididp x x r x r? ??? ? ? ??那么1( ) ) ,niip x x r????與( ) ( ) ( ) ,ididp x x r x r? ??? ? ? ?? 有下列一些關(guān)系。 a． 如果 x? 1dr? ，那么這里 ()px? ()px? （ 當(dāng)且僅當(dāng)在他們的公共