【正文】 ）? n1，現(xiàn)在我們知道 ( ) ( )nnP x W x? 有 n 個(gè)不相同的實(shí)根，故 ( ) ( ) 0nnP x W x??，即 ( ) ( )nnP x W x? ，那顯然與先前只假設(shè)矛盾！故我們可以得到一個(gè)什么之精彩的結(jié)論： 所有在區(qū)間 [1,1]? 首項(xiàng)系數(shù)為 1 的 n 次多項(xiàng)式 ()nPx，滿足其最大絕對(duì)值 111max ( ) 2 nnx Px ?? ? ? ? 第二章：最大多項(xiàng)式 多項(xiàng)式的無窮范數(shù) ： 這是我們?nèi)某霈F(xiàn)的第一個(gè)高潮， 我們先回到前面 的 Chebyshev 多項(xiàng)式 ( ) c os( a r c c os( ) ) , 0 , 1 ,nT x n x n??[ 1,1]x?? 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 13 我們已經(jīng)知道1()() 2nn nTxWx ??是在所有區(qū)間在 [1,1]? 首項(xiàng)系數(shù)為 1 的 n次多項(xiàng)式 ()nPx中內(nèi)取到最小的最大值 12n? ，在這里我們可以親切地稱多項(xiàng)式1()() 2nn nTxWx ??為在單位區(qū)間 [1,1]? 上 n 次首一多項(xiàng)式中最小的多項(xiàng)式。顧名思義喂最小之多項(xiàng)式 。我們 用： [ 1 ,1 ] 11m a x ( )xd efine p p x? ? ? ?? 來定義多項(xiàng)式 p（ x） 的無窮范數(shù)。多項(xiàng)式其根的互異性是一個(gè)很自然 的假設(shè)起點(diǎn)， Chebyshev 多項(xiàng)式 （事實(shí)上整個(gè)正交多項(xiàng)式函數(shù)族）滿足這種合理的需要。稍后我們會(huì)突破 多項(xiàng)式其 根 全部是實(shí)根的限制，討論在單位 復(fù) 圓盤上的多項(xiàng)式的相關(guān)課題。 下圖 2 中很生動(dòng)形象的表示了拖動(dòng)前后新老多項(xiàng)式的性態(tài)變化 。即拖動(dòng)后的新多項(xiàng)式是獲得了更大的尺度。反之()px? 與 ()px 在區(qū)間 11( , ),ddrr?? 上 如 果 有 1( ) 0,dpr?? ? 那么()px? ()px? 對(duì)任意的 x 11( , )ddrr??? 都成立。 所以，在區(qū)間 11( , ),ddrr??中 不 存在使 ()px 和 ()px? 相交的點(diǎn) 。詳細(xì)的細(xì)節(jié)我們現(xiàn)在就開始了。 證明： 由于在區(qū)間 (,)ab 內(nèi) ()fx 與 ()gx 不 相 交， 不是 所以對(duì) 任x ( , )ab? ( ) ( )f x g x? 恒成立就是 對(duì) ( ) ( )f x g x? 恒成立。盡管是對(duì)一部分領(lǐng)域成立，但又由于先前的討論知道不是 所以對(duì)任意的 x ( , )ab? ( ) ( )f x g x? 恒 能 成立就是 對(duì) ( ) ( )f x g x?恒 能 成立 。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 17 因此我們最終得到這樣的結(jié)論：對(duì)所有的 ( , )x ab? ， ( ) ( )f x g x? 。只不過需要不等 式 的方向做一些恰當(dāng)?shù)母淖?。我們現(xiàn)在把思路理一理，回到當(dāng)初的設(shè)想，怎樣使多項(xiàng)式的范數(shù)增加 。否則可能會(huì)使多項(xiàng)式的范數(shù)要多大就有多大。因此我 們 把所有考慮的多項(xiàng)式都限制在單位區(qū)間上是有充分理由的。 為了說明我們的過程，下面幾張圖就完整的說明了多項(xiàng)式范數(shù)上升的過程。 Bernstein 多項(xiàng)式 接著上面所說的對(duì)于首一的定義在單位區(qū)間上的 n 次實(shí)多項(xiàng)式通過拖動(dòng)根都能增大其范數(shù)，在有限部后一定能得到的新的多項(xiàng)式最終都是歸于這樣的 一個(gè)集合： ( ) ( 1 ) ( 1 ) , 1 , , 1i n iip x x x i n?? ? ? ? ? 這些都是 形如 Bernstein 多項(xiàng)式。當(dāng)然我們只想關(guān)心他們最大值在什么處取到，并且是多少。由于 ()gt 和 ln[ ()]gt 具有相同的增減性，他們有相同的臨界點(diǎn)。故 ()ft 的 最 大 值 是 一 定 在 區(qū) 間 的 兩 端 點(diǎn) 之 一 處 取 得 ， 11max ( )tnft?? ?= m ax{ (1), ( 1)}f f n ?= 121() nn nnn????????，所以對(duì)任何的首一實(shí)多項(xiàng)式其根在區(qū)間 [1,1]? 且以 1,1 為其根的多 項(xiàng)式 p，其[ 1,1]p ?121( ) , 3nn n nnn?????????? 類似的我們就可以得到 1[ , ]1( ) , 3nnabb a npnnn ???????????，我們?nèi)菀子^察到如果 1ba??，則當(dāng) n?? 時(shí)， 1[ , ]1( ) 0nnabb a np nn ???????????。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 21 含 虛 根 的情況： 我們自然會(huì)想，如果放寬條件，即多項(xiàng)式有虛數(shù)根的情況（多項(xiàng)式本身還是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式），是否有與先前 相 類似的結(jié)論？當(dāng)然，我們假定多項(xiàng)式的系數(shù)全部是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 。不過值得注意的是這里有一個(gè)關(guān)鍵的不同點(diǎn)：多項(xiàng)式根的拖動(dòng) 的相應(yīng)結(jié)論都是針對(duì)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式其根全是實(shí)根的情況。這里的單位圓盤是 { : 1}D z C z? ? ?（顯然是不包括其邊界的）假定 p 至少有一個(gè)虛根 且他 虛部 是非零的 （即不是純虛數(shù)）。 現(xiàn) 在 我 們 知 道[ 1,1]()wpx?= ()wpx? = 1xr?? 2xr?? 3xr?? 2nxr? ?? xw?? xw?? 。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 22 上圖就是沿著 w 與 x? 連線方向移動(dòng)的過程（向 圓盤的 邊界移動(dòng)） 這個(gè)時(shí)候我們可以得到： [ 1 , 1 ] [ 1 , 1 ]( ) ( )ww wwp p x p x p????? ?? ? ? 這就是 說 對(duì)于這樣的多項(xiàng)式一定存在 另一個(gè)和他同類型的實(shí)多項(xiàng)式，他有更大的范數(shù)，此外當(dāng)我們把在圓盤內(nèi)的復(fù)根向圓盤的邊界移動(dòng)時(shí)范數(shù)會(huì)盡可能得大。 ( ) / 2 ( ) / 211( ) 1 1 n j k n j kjk iiiip x x x x e x e x e x e???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? 我們不妨就考慮 1? 所對(duì)應(yīng)的一對(duì)共軛復(fù)根的拖動(dòng)。 上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 23 這個(gè)過程可以對(duì)其他的共軛的復(fù)根進(jìn)行 , 使得多 項(xiàng)式最終變成如下形式： ( ) ( 1) ( 1)i n ip x x x ?? ? ?， ,2, 1in??現(xiàn)在已經(jīng)到極致了，不可能再拖動(dòng)了。所以多項(xiàng)式的范數(shù)還可以進(jìn)一步控制其范圍。感謝我的 輔導(dǎo)員 ，謝謝 她 在 這些 年中 對(duì) 我們所做的一切， 她 不求回報(bào)，無私奉獻(xiàn)的精神很讓我感動(dòng)，再次向她 表示由衷的感謝 。沒有 張建軍 老師的幫助也就沒有今天的這篇論文。并且問題回到了前面所出現(xiàn)的情況。這對(duì)復(fù)根就變成 1 和 1 了。這就和我們當(dāng)初 對(duì)全部是實(shí)根的情況很類似，那么 在 這 些 形式的多項(xiàng)式中 哪 個(gè)多項(xiàng)式的范 數(shù) 最 大 ？ 我 們 還 是 觀 察 根 的 位 置 。用幾何的觀點(diǎn)來說， ()wpx? 完全是被 x? 到 w 和 w 的距離所決定的。其他我們分別稱為 1 2 2, , ,nr r r? 這樣1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )wnp x p x x r x r x r x w x w?? ? ? ? ? ? ?，存在 [ 1, ]x??? 使得1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x p x x r x r x r x w x w?? ? ? ? ? ? ?在 x? 處達(dá)到最大值。 假設(shè) p 是一個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式且 1， 1 都是其根。我們還假定所有的根的模都不超過 1。 其 圖像 在坐標(biāo)軸上 顯 示為 幾乎貼著實(shí)數(shù)軸。( ) [ l n ( ) ] {l n [ ( ) ] } l n l n ( ) l n , [ 1 , 1 ]t n t tf t g t t n t t n t t nnt?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??。由于 2()nn是常數(shù)，所以問題就歸結(jié)到 ()i n ii n i ?? 的 極 值 的 問題了。這樣的多項(xiàng)式有許多有趣的性質(zhì)。最終得到多項(xiàng)式是 一個(gè)新的多項(xiàng)式他就是我們所說的在范數(shù)意義下所謂的更大多項(xiàng)式。先找出多項(xiàng)式的臨界點(diǎn)（使范數(shù)達(dá)到最大處的 x）然后就可以使向靠近的兩個(gè)端點(diǎn)處 逐漸拖動(dòng)根的位置。許多標(biāo)準(zhǔn)的正交多項(xiàng)式都定義在單位區(qū)間內(nèi)。就是一句話使多項(xiàng)式變得更加大。更加令人振奮的是性質(zhì) 1 他還適用于有多個(gè)重根的實(shí)多項(xiàng)式的情況。對(duì)于 1dxr?? 也是相類似的。我們把這兩個(gè)多項(xiàng)式在 a 處 Taylor 展開就可以得到： 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!f x f a f a x a f a x a? ??? ? ? ? ? ? 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!g x g a g a x a g a x a? ??? ? ? ? ? ? 在他們兩邊同時(shí)除以 xa，并且考慮到 ( ) ( ) 0f a g a??我們能得到： ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 ! 2 !f a g af a x a g a x a?? ????? ? ? ? ? ? ? 在不等式兩邊取 極限 xa? 。）我們不是一般性，不