【正文】 r analysis, understand their useful important properties. Give some meaningful new problem conclusion. This thesis is one of the innovation points of polynomial number domain expansion to plurals situation. Ably from two typical polynomials, car than snow Cardiff polynomials and Bernstein polynomial embarks, derive deeper into question. Especially in drawing a numerical approach in the concept of minimum polynomials drawn to the concept of maximum polynomial after polynomial limit after certain condition deepens problem. Keywords: The biggest (minimum) infinite norm, (Max) minimum polynomials and roots disturbance, root position, Chebyshev, Bernstein 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 4 緒論 說明 是否真的存在兩個首一的七次的實多項式它們的根全部都在單位區(qū)間[1,1]? 上？事實上確實存在這樣的多項式： 一個是 7 5 37 7 7 7( ) ,4 8 6 4T x x x x x? ? ? ? ? 另一個 7 6 5 4 3 27 ( ) 5 9 5 5 9 5 1B x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 那么這兩個多項式 在圖上的巨大 的區(qū)別是什么造成的呢？ 專修數學的學生 都知道任何一個首一 的 多項式，都存在兩種標準的表達形式： 11 1 01()( ) ( )nnnniip x x a x a x aorp x x r???? ? ? ? ???? 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 5 不管什么表達形式，都需要選定 n 個系數才能確定多項式 p。 現在 我們要回顧多項式根 的擾動的思想，利用這個去處理多項式的 范數 大小問題。這兩類多項式在多項式家族中擁有非常重要的 廣泛 的應用和的令人驚奇的性質。 我們進過計算得到下列的表示形式 0120231340 2 451 3 561 2 4 670 3 5 711()21( 3 )41( 3 4 )81( 10 5 )161( 10 15 6 )321( 35 21 7 )128TxTx T Tx T Tx T T Tx T T Tx T T T Tx T T T T??????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 顯然 7 5 37 6 5( ) 2 ( ) ( ) 6 4 1 1 2 5 6 7T x x T x T x x x x x? ? ? ? ? ?就是先前的兩個例子之一。 顯 然 我 們 把 cosk kx n?? ?代入 ()nTx 中，?()nkTx? = cos ( arccos ( ))knx?=(1)k? 性質 7： 當 n 為奇數時 ()nTx為奇數函數，當 n 為偶數時 ()nTx為偶函數。 我們得到不等式： 00( ) ( ) 0nnP x W x???? 11( ) ( ) 0nnP x W x???? 22( ) ( ) 0nnP x W x???? 所以對于 ( ) ( )nnP x W x? 在 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn?? ??共有 n+1 個點輪流取正負號，所以我們不難通過羅爾定理得出 ( ) ( )nnP x W x? 在 [1,1]? 中至少有 n 個 互異的 實根。對于 任何 一個多項式 p（ x）。因為如果沒有任何的限制，顯然我們總能使多項式的無窮范數盡可能的大，要多大有多大只要我們想那樣做的話。 我們最終發(fā)現，他是在 一個根被拖動的情況下，被拖動前的原多項式的極大極小值反而比拖動后的小。此外，由于 ()px ()px? 的次數已近不超過 n1，故至多有 n1 個實根，而他們就是x= ()ir i d? 這些點。相類似的當 ( ) ( )f a g a??? ，則 ( ) ( ),f x g x? 對所有的x ( , )ab? 都成立 。顯然，有 ( ) ( )f a g a??? 但這是絕對矛盾的，因為我們假設就是 ( ) ( )f a g a??? 。具體的證明與先前的幾乎沒有什么實質性的不同，我們這次就做一省略。而任意一個多項式總能通過一個變換使得問題轉化為在單位區(qū)間上去考慮問題。并且 我們如果僅 從 多項式 根的拖動 理論 的角度來說已經達到 這個多項式范數的 極致了。為了表述的方便，我們用變量 t 代換 i ,先求函數 ( ) ( ) , [1 , 1 ]t n tg t t n t t n?? ? ? ?的最值。 我們在緒論中的 7()Tx? 顯然就可以算這個例子。其他所有的根都在單位圓盤內。我們移動 w （ 自然 w同時也被移動 ， w 和 w總是對稱的 ） ，使 w 與 x? 的距離增 大 ，（同時 w與 x? 的距離也在增 大 ） 則 ()wpx? 也隨之增大。而這一過程中范數一 直在 增大。求學歷程是艱苦的，但又是快樂的?，F在我們可以在更加廣泛的范圍內說出我們的結論了： 結論 ： 對所有實系數包含 1 和 1 為多項式的 根 ， 且其余 的 根都在單位圓盤內的高次（次數大于等于 2）多項式他們的范數 的“ 上確界 ”應 為： 1[ 1 , 1 ]21 nn npnn?????????? 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 24 所以在范數意 義下，我們完全可以說對所有實系數包含 1 和 1 為其根 ， 且其余根都在單位圓盤內的高次（次數大于等于 2）多項式中他們的最大多項式為： 11, ( ) ( 1 ) ( 1 ) nnp x x x ?? ? ?，而同類中最小的多項式為：12 ( )n nTx? ，由于 ()nTx 在 1， 1 處沒有零點。 從 幾 何 特 征 來 看 ，( ) / 2 ( ) / 211( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )n j k n j kiiiijp x x x e x e x e x e???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?固定所有的根除了一對共軛的虛根， 我們可以再一次看見如何增大范數的。固定這個 x? ， 當 然 除 了 w 和 w 其 他 的 根 也 不 能 移 動 。我們這樣做的原因完全是為了對應的 先前多項式其 根全是實根的情況。由()ft? =0? 2nt? （這是唯一的臨界點）， 2nt? 時， ( ) 0ft? ? ， 2nt? ， ( ) 0ft? ? 。 他們的極值也有許多形式【 8】。這將使范數增大。 上海大學畢業(yè)設計 (論文 ) 18 增大范數： 在前面的過程中，我們需要去設置一些合理的限制關于多項式的零點。 當然對于向左拖動一個根也是有相應 的結論的。由于 ( ) ( ) 0f a g a??，即直接可得( ) ( )f x g x? 。當然，稍后我們將利用這兩個多項式的 Taylor 展開的方法來嚴格證明這些看似非常簡單的事實。 a． 如果 x? 1dr? ，那么這里 ()px? ()px? （ 當且僅當在他們的公共根上取等號 ） b． 如果 x? 1dr? ，那么這里 ()px? ()px? （ 當且僅當在他們的公共根上取等號 ） c． 最后 要指出的是多項式 ()px? 與 ()px 在區(qū)間 11( , ),ddrr??上如果 有1( ) 0,dpr?? ? 那么 ()px? ()px? 對任意的 x 11( , )ddrr??? 都成立。 在 僅僅拖動一個具體的根的時候對 被拖動前的多項式和被拖動后的新多項式 進行比較后發(fā)現在原先的多項式和拖動后形成的新多項式的關系中發(fā)現了一些比較有趣的現象和性質。并且他們互不相等，且 ( ) ( ) 0p a p b??，滿足 ab=0。在圖上幾乎看不出來。 重要定理：在 [1,1]? 上，首項系數為 1 的一切 n 次多項式 ()nPx中，1()() 2nn nTxWx ??對 0 的偏差最小。 對于形如 11 1 0() nnnnf x a x a x a x a??? ? ? ?的